第6章 功能关系

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本章核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	深刻理解公式中物理量的意义	168
2	如何用三个式子通解机车启动问题	171
3	针对运动全过程，如何运用动能定理解题	174
4	上抛下落动能定理独立方程原理	178
5	联立独立方程组求解绳杆连接体问题	182
6	如何理解“功是能量转化的量度”	185
7	传送带	188

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 168-194 页。第六章先完成整章结构化重写：功的位移判定、机车启动三方程、全过程动能定理、上抛下落独立方程、绳杆连接体、能量转化、传送带。后续可继续把每道原题逐题补成“题干-图像-答案-复盘”。

01. 深刻理解公式中物理量的意义

原书第168页：功是力在位移方向上的积累

功的定义不是“力乘距离”，而是力在对应位移方向上的积累：

$$W=Fs\cos \theta$$

几个同类的“点乘式”要放在一起理解：

公式	物理含义	关键夹角
$W=Fs\cos \theta$	力做功	力与位移
$P=Fv\cos \theta$	瞬时功率	力与速度
$\Phi =BS\cos \theta$	磁通量	磁感应强度与面积法线
$U=Ed\cos \theta$	匀强电场电势差	电场与位移

功的正负只看 $\theta$：

夹角范围	做功性质	典型含义
$0^{\circ }\le \theta <90^{\circ }$	正功	该力促进运动，动能可能增大
$\theta =90^{\circ }$	不做功	力只改变方向或提供约束
$90^{\circ }<\theta \le 180^{\circ }$	负功	该力阻碍运动，动能可能减小

原书第168-169页：公式里的 $s$ 到底是谁的位移

这是本专题最容易错的点。做功公式里的 $s$ 不能机械理解成“物体走过的路程”。

场景	$s$ 应取什么	常见结论
单个外力对物体做功	力的作用点相对地面的位移	拉绳问题要看绳端或绳长变化
重力、弹力、电场力、万有引力等保守力	初末位置决定的位移或高度差	与路径无关
滑动摩擦力对单个物体做功	接触点所在物体相对地面的位移	常写 $W_f=-fs$
系统内一对滑动摩擦力总功	两物体相对位移	$W_{f,\text{总}}=-f{s}_{\text{相对}}$
摩擦生热	相对路程	$Q=f{s}_{\text{相对}}$

叠块模型中，如果上、下两物块发生相对滑动，摩擦力对两个物块分别做功。把两个物块作为系统时，内摩擦力的总功等于负的摩擦生热：

$$W_{f1}+W_{f2}=-f(s_2-s_1)=-f{s}_{\text{相对}},Q=f{s}_{\text{相对}}$$

这也是后面传送带模型的根。

原书第169-170页：绳端位移和物体位移不一定相同

通过滑轮拉物体时，恒力 $F$ 做功最好转化到“绳自由端位移”上：

$$W_F=F\Delta l$$

若定滑轮距水平面高为 $h$，物体从 $A$ 到 $B$，细绳与水平面的夹角由 $\alpha$ 变为 $\beta$，则斜绳长度分别为：

$$l_A=\frac{h}{\sin \alpha },l_B=\frac{h}{\sin \beta }$$

拉力做功为：

$$W_F=F(l_A-l_B)=F\left(\frac{h}{\sin \alpha }-\frac{h}{\sin \beta }\right)$$

大招句：遇到滑轮、绳长变化、力的作用点不是物体本身时，先写“自由端走了多少”，再算功。

02. 如何用三个式子通解机车启动问题

原书第171页：两类启动图像

机车启动的核心方程只有三个：

$$P=Fv,F-f=ma,W_{\text{牵}}-fs=\Delta E_k$$

恒定功率启动：

$$F=\frac{P}{v},a=\frac{P/v-f}{m}$$

随着速度增大，牵引力减小，加速度减小，直到 $a=0$，达到最大速度：

$$v_m=\frac{P}{f}$$

恒定加速度启动：

$$F=f+m{a}_0,P=(f+m{a}_0)v$$

功率随速度线性增大。达到额定功率 $P_m$ 的时刻：

$$v_1=\frac{P_m}{f+m{a}_0},t_1=\frac{v_1}{a_0},x_1=\frac{v_1^2}{2a_0}$$

之后转入恒功率、加速度减小的加速阶段。

原书第171-172页：关键词映射三方程

题目关键词	立刻写的式子	用途
最大速度、匀速	$F=f,P=F{v}_m$	求额定功率、阻力或 $v_m$
匀加速阶段	$F-f=m{a}_0,P=F{v}_1$	求转折速度、转折时间
总时间、总位移	$W_{\text{牵}}-fs=\Delta E_k$	跨过程求整体量

恒加速度后接恒功率时，若从静止出发，常用整体式：

$$(f+m{a}_0)x_1+P_m(t-t_1)-fs=\frac{1}{2}m{v}^2$$

其中 $s$ 是总位移，$x_1$ 是匀加速阶段位移。

原书第172-173页：典型题入口

提升重物、汽车额定功率、动车组启动，本质都是同一张表。

类型	处理方式	答案形式
起重机匀加速到额定功率，再匀速	先用匀速求 $P_m=mg{v}_m$，再用 $P_m=(mg+ma)v_1$	$t_1=v_1/a$
汽车恒功率行驶	$v_m=P/f$，全过程用 $Pt-fs=\Delta E_k$	可求路程
阻力与速度成正比	匀速时 $P=k{v}^2$	功率变为 $\lambda P$，速度变为 $\sqrt{\lambda }v$

2021 湖南“复兴号”题的关键：四节动力车厢总额定功率为 $4P$，阻力 $f=kv$，最大速度满足：

$$4P=k{v}_m^2$$

若总功率为 $2.25P$，匀速速度为：

$$v=\sqrt{\frac{2.25P}{k}}=\frac{3}{4}{v}_m$$

若以额定功率从静止启动到最大速度，用动能定理：

$$4Pt-W_f=\frac{1}{2}m{v}_m^2$$

所以克服阻力做功：

$$W_f=4Pt-\frac{1}{2}m{v}_m^2$$

本题对应答案：C、D。

03. 针对运动全过程，如何运用动能定理解题

原书第174-175页：全过程动能定理

动能定理的优势是“只盯初末状态，不追问中间细节”：

$$\sum W=\Delta E_k=\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2$$

标准步骤：

1. 选研究对象：单体还是系统。
2. 定过程：从哪个状态到哪个状态。
3. 列所有做功：重力、弹力、摩擦力、拉力、电场力等。
4. 只写初末动能：中间速度不用管。
5. 检查位移：摩擦力尤其要看路径长度或相对位移。

原书第175-177页：多段斜面与减速带

多段斜面不要逐段求速度，直接全过程：

$$mg\Delta h-W_f=\Delta E_k$$

以“上下两段滑道，两个高度均为 $h$，倾角分别为 $45^{\circ }$ 和 $37^{\circ }$，底端恰好静止”为例：

$$2mgh-\mu mg\cos 45^{\circ }\cdot \frac{h}{\sin 45^{\circ }}-\mu mg\cos 37^{\circ }\cdot \frac{h}{\sin 37^{\circ }}=0$$

即：

$$2mgh-\mu mgh(\cot 45^{\circ }+\cot 37^{\circ })=0$$

用 $\cot 45^{\circ }=1,\cot 37^{\circ }=\frac{4}{3}$，得：

$$\mu =\frac{2}{1+4/3}=\frac{6}{7}$$

减速带类题目也同理：每经过一个减速带损失机械能，连续多段就写总能量账。若题目说“第 30 个后相邻区间平均速度相同”，说明之后每一段重力做功与减速带损失能量达到周期平衡。

04. 上抛下落动能定理独立方程原理

原书第178-181页：为什么不能只列全过程

上抛下落常见陷阱：从底端出发又回到底端，重力全过程做功为 0，但摩擦力上下都做负功。只列全过程会丢掉“最高点”这个关键状态。

正确做法是分过程列独立方程。

沿粗糙斜面上滑到最高点再下滑回底端，设上滑距离为 $s$：

上滑：

$$0-\frac{1}{2}m{v}_0^2=-mgs\sin \theta -\mu mgs\cos \theta$$

下滑：

$$\frac{1}{2}m{v}^2-0=mgs\sin \theta -\mu mgs\cos \theta$$

两式相减或相加，可以分别提取重力势能变化和摩擦损耗。

原书第180页：2013 海南题的能量比思路

物体沿 $30^{\circ }$ 粗糙斜坡上滑。某位置处动能减少 $18\text{ J}$，机械能减少 $3\text{ J}$。

在该段过程中：

$$W_f=-3\text{ J}$$

动能减少 $18\text{ J}$，所以重力做功对应的势能增加为：

$$\Delta E_p=18-3=15\text{ J}$$

因此摩擦损耗与重力势能增加的比值为：

$$E_{\text{损}}:\Delta E_p=3:15=1:5$$

初动能为 $120\text{ J}$，上滑到最高点时：

$$120=\Delta E_p+\frac{1}{5}\Delta E_p$$

得 $\Delta E_p=100\text{ J}$，上滑摩擦损耗 $20\text{ J}$。下滑回底端时重力释放 $100\text{ J}$，摩擦仍损耗 $20\text{ J}$，故返回底端动能：

$$E_k=100-20=80\text{ J}$$

答案：$80\text{ J}$。

05. 联立独立方程组求解绳杆连接体问题

原书第182-184页：见几个物体，写几个动能定理

绳杆连接体不要急着“整体化”。如果题目问某个杆力、绳力做功，或者两物体速度方向不同，就要把每个物体的能量方程分开写。

基本套路：

步骤	要做什么
1	对物体 1 写动能定理
2	对物体 2 写动能定理
3	写速度关联式
4	写位移或几何关联式
5	联立消去杆力、绳力或中间速度

常见结构：

$$m_{1}gh-W_T=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$$ $$W_T=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$$

再由约束关系补：

$$v_2=v_1\cos \theta \text{或}{v}_1=v_2$$

大招句：整体方程负责“总能量”，独立方程负责“分配到谁身上”。

06. 如何理解“功是能量转化的量度”

原书第185-187页：什么力做功，就追踪什么能

“功是能量转化的量度”可以整理成一张表。

做功的力	常见能量变化	公式入口
重力	重力势能与动能互化	$W_G=-\Delta E_p$
弹簧弹力	弹性势能与动能互化	$W_{\text{弹}}=-\Delta E_{p\text{弹}}$
电场力	电势能与动能互化	$W_{\text{电}}=-\Delta E_p$
滑动摩擦力	机械能转化为内能	$Q=f{s}_{\text{相对}}$
外拉力	外界输入机械能	$W_F$ 进系统能量账
安培力	机械能与电能、热能转化	结合电磁感应能量守恒

对系统写能量关系时，可以用：

$$W_{\text{外力}}=\Delta E_k+\Delta E_p+Q+\Delta E_{\text{其他}}$$

对单体写动能定理时，则仍然坚持：

$$\sum W=\Delta E_k$$

两种写法不是矛盾，而是看账本的角度不同。

07. 传送带

原书第188-190页：水平传送带模型

水平传送带要同时算三件事：物块位移、传送带位移、相对位移。

物块初速度为 0，传送带速度为 $v$，动摩擦因数为 $\mu$。物块加速度：

$$a=\mu g$$

若传送带足够长，物块能够与传送带共速：

$$t_0=\frac{v}{\mu g},s_{\text{物}}=\frac{v^2}{2\mu g},s_{\text{带}}=\frac{v^2}{\mu g}$$

相对位移：

$$s_{\text{相对}}=s_{\text{带}}-s_{\text{物}}=\frac{v^2}{2\mu g}$$

摩擦生热：

$$Q=\mu mg{s}_{\text{相对}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

电动机多做功：

$$W_{\text{电机}}=f{s}_{\text{带}}=m{v}^2=\Delta E_k+Q$$

这就是水平传送带最经典的结论：物块增加的动能和产生的热量相等，电动机多做功是二者之和。

原书第190-193页：倾斜传送带模型

倾斜传送带多了重力沿斜面的分量。

若传送带向上运动，物块相对带面向下滑，摩擦力沿斜面向上：

$$a=\mu g\cos \theta -g\sin \theta$$

物块机械能增加来自摩擦力做功：

$$f{s}_{\text{物}}=\Delta E_k+\Delta E_p$$

摩擦生热仍然看相对位移：

$$Q=f{s}_{\text{相对}}$$

电动机多做功：

$$W_{\text{电机}}=\Delta E_k+\Delta E_p+Q$$

注意：倾斜传送带里，摩擦力不一定“只发热”。它可能一边给物块增加机械能，一边因为相对滑动产生热。

原书第194页：黑色痕迹长度

煤块与传送带都从静止开始。传送带以加速度 $a_0$ 加速到 $v$ 后匀速，煤块最大加速度为 $\mu g$。

若：

$$a_0\le \mu g$$

煤块不相对滑动，黑色痕迹长度为 0。

若：

$$a_0>\mu g$$

第一阶段传送带加速到 $v$：

$$t_1=\frac{v}{a_0},s_{\text{带1}}=\frac{v^2}{2a_0},s_{\text{煤1}}=\frac{\mu g{v}^2}{2a_0^2}$$

第二阶段传送带匀速，煤块继续加速到 $v$：

$$t_2=\frac{v-\mu g{t}_1}{\mu g}$$

两段相对位移相加，黑色痕迹长度为：

$$L=\frac{v^2(a_0-\mu g)}{2\mu g{a}_0}$$

这个公式的核心不是背，而是记住：黑痕就是最大相对位移。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 深刻理解公式中物理量的意义

原书第168页

第六簞功能关系 一 ` 深刻理解公式中物理量的意义 、做功是力在位移方向上的积累。 如图所示》物体在与水平方向夹角为的拉力 F 作用下，位移为定义做功 = 。 s 。 。 一、高中物理含 。结（点乘类公式） U ： cos 电压公式） 尹：两“ 。恸率公式） 0： cos 磁通量公式） ： cos 做功公式） E ， F ，猻 B, S 均为矢量，以上公式是利用矢量点乘来进行计算 一、当夹角。不同时，功的正负: = 90。 ，力不做功 180。冫口 > 90。 ，力做负功 四、对公式中的 s 进行分析 如何区分 S 是位移还是路程 （1)当与路径无关的力（如重力，弹力，电场九分子间作用力，万有引力等保守力）做功时， s 指 位移，做功转化为相应的势能。 〈2）当与路径有关的力（如摩擦力，安培力等耗散力）做功时， S 表示路程。做功会转化为相应热 能。 2·如何区分 s 是对地面的位移还是相对位移 （ D 当外力对一个物体（或一个系统）做功时， s 指相对地面。 （2）当一个物体是由系统内力做功时， s 指相对彼此。 1

原书第169页

如叠块模型中， 对 1、2 物块，摩擦力做功: 歹 2 一 将两式相加，由上双状态图看出： 歹总一尹/2 2 2 2 此时系统内力即摩擦力，做的功等于摩擦力乘以两物块相对位移 do 3·如何区分 s 是物体位移还是力的作用点位移 在轮滑模型中物体位移和力的作用点的位移不同。例如，通过动滑轮拉动物体上升，根据初中所学力 的作用点走过的距离是物体上升距离的两倍。 例 1。如图所示，用恒力 F 通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置拉到位置 B ，物体 可视为质点，定滑轮距水平面高为，物体在位置屋、 B 时，细绳与水平面的夹角分别为和求绳的 拉力 F 对物体做的功。 〖解析〗 在角度由。变为的过程中，由于无法通过： FSco 计算， 故需要转换为绳的自由端，即力的作用点来求解。 绳长自由端的变化量为酝 = Sina Sinß 故 = 尹仨一一 sma sinß

原书第170页

例 2·如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒 定的拉力 F 拉绳，使滑块从 A 点起由静止开始上升，若从点上升至点和从 B 点上升至 C 点的过程 中拉力 F 做的功分别为、 ，图中 C,则一定有 〖解析〗 本题仍可将拉力做功转换为绳的自由端做功问题。 设滑轮处为点仂做出三角形 CO 的中位线羽，为中点，如图所示。 =F(OA-OB) = F （ OB 一 00 D 为中点，得 DO ： 2 0 一 OB 故

OB ，则 OB—OC 2 故曆 > ．

02. 如何用三个式子通解机车启动问题

原书第171页

飞如何用三个式子通解机车启动问题 、机车启动的两种形式 (1)以恒定功率启动 由功率公式及牛顿第二定律得 由上述两式分析可得，随着机车速度增大，牵引力减小，加速度减小，故机车做加速度减小的加速运 动，直至加速度为 0》此时速度达到最大值。 其 v 图像如图所示。 0）以恒定加速度启动 由功率公式、牛顿第二定律及运动学公式得 线性关系，随着时间增大，功率达到最大值，此后运动行为同以 恒定功率行为。故机车以恒定加速度启动问题包含两个过程: ．匀加速运动 @加速度逐渐减小的加速运动 其 v-t 图像如图所示。 、关键词类独立方程讲解 (1)当题目中出现“最大速度” 、 “匀速”时:列: = 一 因为物体的加速度为 0，其所受合外力也为 0，故列： F=f= 0）当题目中出现“匀加速阶段时间”时，列尹“一（ “ + 刀 匀加速阶段最后时刻，物体功率达到最大。 F 一歹 = “ ，化简得：伽。 + 刀刎， v = 故物体匀加速启动时间’ ： 伽。 + 刀口

原书第172页

〈3）当题目中出现“总时间”和“总位移”时， 列动能定理:一“2 一一）2：一）一总一一 2）从加赫刂劬定 由”一图像如图所示 加还齔 P ：佃什； P*t 设物体匀加速运动的时间为‰ ，加速到速度为的时间为 由初末状态动能定理及运动学公式得 1 2 化简得一俨一一何加）2：一）一（总一一“加 2） ，故共总位移总或总时间即可求得。 例 1.用电机将重为 m=8kg 的重物从静止开始提升兕 m ，己知绳子拉力为 120N ，重物以恒定加速度 启动，上升过程中的最大速度为巧 s ，求上升的总时间。 〖大招解法〗题目中出现“最大速度” 、 “总时间、总位移”列 讲义资料添。 获取最新网讠 g 1 一 2 韧 2 代入数据》联立求解得： ：7，75s 1 2 以上方法是直接根据关键词映射到方程上面的最直接的大招方法，可在平时做题时训练使用。如果 考试时，可将上述式子的推导过程（见前文）还原在卷面上》示范如下： 〖考场书面写法〗 设重物匀加速启动的时间为，重物运动的总时间为。 当重物到达最大速度时。由功率公式得衫冖 F—mg ·120 一 80 =5m/s2 重物在加速过程中，由牛顿第二定律得： 8 在匀加速运动阶段，由功率公式得 P ： ： ‰ 1 2 代入数据可得 = 7·75g 《

原书第173页

例 2· 〈2009 四川）图示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量 5 × 103 的重物竖直 吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度俨 0，2 s2，当起重机输出功率达到其允 许的最大值时，保持该功率直到重物做 L02 的匀速运动。取 10 黿不计额外功。求 （1)起重机允许输出的最大功率。 （2）重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第 2 秒末的输出功率。 例 3· （2009 上海）质量为 5 × 103kg 的汽车在产 0 时刻速度 = 10 s ，随后以尸 = 6 × 104w 的额定功 率沿平直公路继续前进，经 7 达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为 2 巧 × 103N 。求： 〈1)汽车的最大速度 vm; （2）汽车在 72s 内经过的路程。 04 d) FF•Y ， = m 例 4。 （2020 天津）复兴号动车在世界上首次实现速度 350 妇自动驾驶功能，成为我国高铁自主创 新的又一重大标志性成果。一列质量为的动车，初速度为衫 0，以恒定功率 p 在平直轨道上运动，经时 间达到该功率下的最大速度 vm ，设动车行驶过程所受到的阻力 F 保持不变。动内（ ） yuX A.做匀加速直线运动 c.牵引力的功率’的、 ·无水驾牵引力做功”一“ 1 2 c ：由孬腮萄： P=F•Vm ’ 丆 bC 例 5。 （2021 湖南） “复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为的动车 组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受 的阻力与其速率成正比（ ： ，为常量动车组能达到的最大速度为。下列说法正确的是（ ） A.动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 B.若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 C,若四节动力车厢输出的总功率为 225P ，则动车组匀速行驶的速度为一 D.若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一 过程中该动车组克服阻力做的功为一一 上二缸。 F= “ + - e•Få 月 乞， C ：终醚小：

03. 针对运动全过程，如何运用动能定理解题

原书第174页

飞针对运动全过程《如何运用动能定理解题 、动能定理的公式数学推导 设某质量为的物体在合外力尹的作用下做初速度为的匀加速直线运动，运动的总路程为&末 速度为。 由牛顿第二定律及运动学公式得： @俨一％2 = 20s 将．代入@可得动能定理式一”2 = 。 其中等式左边为动能变化，等式右边为合外力所做的功。 公式可转换为文字即“外力所做功的和等于动能的变化” ，该式是动能定理类题目的根基。 一、动量定理的推导 类似的，设某质量为的物体在合外力 F 的作用下做初速度为鞫的匀加速亳，3 动的总路程 为 so 1 = 此时该过程由牛顿第二定律及运动学公式得 同样将@亻弋入@，可得动量定理式“一“ 。一。 等式左边称为动量变化，等式右边称为冲量。 通过上述推导，可以看出，动能定理及动量定理非常类似，但是有以下几点需要注意。 、注意事项 (1)动能定理式为标量式，任何直线、平面均可使用，无方向性，而动量定理式为矢量式，有方向性。 例如在平抛运动的过程中，设某物体以初速度鞫被水平抛出，末速度为朽下落的高度为运动时 间为 1 动能定理式可直接写为一“2 一一％ ：砂， 2 因为动量是矢量，故动量定理式不可直接写为： “一”0 = 泐，应该是矢量差。

原书第175页

（2）动能定理类问题分成三种题型 ．全过程动能定理 @上抛下落动能定理 O 绳杆连接体动能定理 本讲重点介绍全过程动能定理，解题方法为“不以模型分过程，而以方程分过程” 。 例 1·某质量为的物体在力 F 作用下沿一斜面向上运动，面长为 S ，动摩擦因数为声，当物体 运动到斜面中点时撤掉力物体可恰好运动到斜面最高点，求力 F 的大小。 〖解析〗利用全过程动能定理得 0—O=—FS—mgSsin9， 9 解得 F ：2 忉 + 2 即可。 上例体现全过程动能定理解题方法一“不以模型分过程，而以方程分过程” 例 2· （2009 宁夏）冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意如图。比赛时，运动员 从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆 心 0。为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减 小。设冰壶与冰面间的动摩擦因数为司·008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减少至声 2，004·在某次比赛 中，运动员使冰壶 c 在投掷线中点处以 2 耐 S 的速度沿虚线滑出。为使冰壶 c 能够氵好到达圆心 0 点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？ （纟取 19《 ：加信 犭尺取不’ 气 = · S

原书第176页

例 3· 〈2016 浙江）如图所示为一滑草场。某条滑道由上下两段高均为‰与水平面倾角分别为 45。和 37。的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为声。质量为的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下 滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端（不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失， s 37。 = 0·6， s37。 = 0·8） 。则（觴） 6 A.动摩擦因数一 7 B.载人滑草车最大速度为 C.载人滑草车克服摩檫力做功为 D.载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为—g ·3 例 4· （2016 新课标 2）轻质弹簧原长为 21,将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5 的 物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 IO 现将该弹簧水平放置，一 4 点，另一 端与物块尹接触但不连接。是长度为 5/的水平導犟丿光；圆轨道 00 相切，半 圆的直径羽竖直，如图所就翡数“ 、用外力推动物块 P ，将弹簧压缩至 长度 l,然，礤·昴晃嚣动，重力加速度大小为 go 〈1)若 p 的质量为，求 P 到达 B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到上的位置与 B 点间的距离 0）若 P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求 p 的质量的取值范围。 不啵图刂苌回 诩严 微信搜索公众号

原书第177页

例 5· （2021 全国甲）如图，一倾角为 9 的光滑斜面上有 50 个减速带（图中未完全画出） ，相邻减速 带间的距离均为减速带的宽度远小于一质量为的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带 L 处由静止释放。己知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第 30 个减速带后》在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第 50 个减速带后立刻进入与斜面光滑连接 的水平地面，继续滑行距离 s 后停下。己知小车与地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为纟。 〈1）求小车通过第 30 个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能； （2）求小车通过前 30 个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能《 〈3）若小车在前 30 个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能， 则 L 应满足什么条件？ 〈无动力）小车 减、带

04. 上抛下落动能定理独立方程原理

原书第178页

四、上抛下落动能定理独立方程原理 、解题原理 在“上抛下落”的运动过程中》通常列全过程动能定理不能求解题目，此时我们可以“分过程”列动 能定理。以 2009 年全国 2 卷高考真题为例，推导出独立方程必要性。 例廴以初速度竖直向上抛出一质量为的小物体。假定物块所受的空气阻力歹大小不变。己知 重力加速度为 g ，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（ ） A. C. 2 歹 《解析〗 一歹 喏一歹 2 B. 2g （1 柯一） D.

• 歹
• 歹 设物体上升的最大高度为 h,落地时速度为街若利用全过程动能定理，可得 2 在该式中出现了两个未知数，方程无法解出。 这也充分体现了全过程动能定理类问题“不以馋型坌浒严而以荔’的思想。 故本题需要分别列出！禦乪跹是独方 0，得 获取最新网’ 联立方程，解得 = 0 一一忉％2：一冽一角 1 2 一歹 喏 + 歹 故答案选 A ，通过两个独立方程，便可解出两个未知数。 例 2。某质量为的小球做竖直上抛运动，其初动能为，上升最大高度为，返回至地面时，其 动能为；今将小球初动能变为 2 马，上升的最大高度记为鸟，下落至地面时的动能记为，小球运动 过程中存在空气阻力 2 微信搜索公众号

原书第179页

〖解析〗 分别写出上抛下落两个过程的动能定理独立方程，对于过程一 ．0 一 EI ：乛禹一 @駡一 0：一角 对于过程二· OO 一 2 马 = @2方3 一 0 一 联立 OO 式和@@式，可得： ， E3 一 2。 同理，可以通过本题的方法得到如下结论： 无论空气或斜面中是否存在摩擦，若初动能变为原来的倍，则 ．物体运动的高度变为原来的倍 @物体返回时的动能变为原来的宛倍 O 摩擦力所做的功变为原来的倍 O 重力所做的功‰变为原来的倍（仅单过程） O 物体返回时的速度渺变为原来的倍 之所以会有如下的结论，我力做功与重力做功比’ 。 见下文推网 、斜面摩擦力做功的重要特点 对于一个动摩擦因数为声，与地面夹角为六高度为的斜面， 在物体下滑过程中，列出重力与摩檫力做功公式，得 = mghsin9 sin9 n 化简得一： / gcos9 声 故得到斜面摩擦力做功的重要特点訁，即重力做功与摩擦力做功的比值为定值，与运动的距 离无关。

原书第180页

例 3。 （2013 海南）一质量忉的物体以 v 20 s 的初速度从倾角为 30。的斜坡底端沿斜坡向上 运动。当物体向上滑到某一位置时，其动能减少了 AE 18J ，机械能减少了 AE=3J,不计空气阻力，重力 加速度 10，求物体返回斜坡底端时的动能。 〖大招解法〗根据题意，物体的初动能为一一“02 = 120J ， 物块滑到某一位置时，动能减小了 AE 尸 18J ，动能的变化等于合外力做功，则 机械能减少了 AE=3J,机械能减少等于摩擦力做功，则 =3J ， 可 了 +WG 18 6 = 18J 。 故当物体运动到最高点时，动能减少 120J ，根据，故机能减少 20J ，即摩擦力做功为 20J 。 当物体返回底部时的动能为 E ：120 一羽：80J ： 例 4· （2009 山东）图示为某探宄活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为 30。 ，质量为 M 的 木箱与轨道的动摩擦因数为卫。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为的货物装入木箱，然后木 箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好 被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ） A. m=M B. = 2 亻 0 木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度 D.在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能-化簧能 C ： 例 5· （2016 全国 1)如图，一轻弹簧原长为》其一端固定在倾角为 37。的固定直轨道 AC 的底端 处，另一端位于直轨道上 B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为巨 R 的光滑圆弧轨道相切于 c 点，7R ，从 c 、 D 均在同一竖直面内。质量为的小物块 P 自 c 点由静止开始下滑，最低到达 1 霆点〈未画出） ，随后 p 沿轨道被弹回，最高点到达 F 点 4，己知与直轨道间的动摩擦因数： 4 3 4 重力加速度大小为 go （取血 37。 = 一， s37。 5 5 （ I)求 P 第一次运动到 B 点时速度的大小； （2）求 p 运动到霆点时弹簧的弹性势能。 飞;l 毵忙《卜 = 骓 复怡引刊 BF 护《 《 微信搜索

原书第181页

例 6· （2021 全国乙）一篮球质量为狲：0•6kg ，一运动员使其从距地面高度为禹 = 1，8m 处由静止自由 落下，反弹高度为： l.2m 。若使篮球从距地面的高度由静止下落，并在开始下落的同时向下 拍球、球落地后反弹的高度也为 1，5m 。假设运动员拍球时对球的作用力为恒力，作用时间为’ ：0．20s ；该 篮球每次与地面碰撞前后的动能的比值不变。重力加速度大小取 g ：10 S2，不计空气阻力。求: 〈1）运动员拍球过程中对篮球所做的功； 〈2）运动员拍球时对篮球的作用力的大小。 代入 叫弗：瓠是处泊放 4fJ 、香料添加微信· 丿、

05. 联立独立方程组求解绳杆连接体问题

原书第182页

五飞联立独立方程组求解绳杆连接体问题 、绳杆连接多物体的独立方程理论 绳杆连接体类动能定理问题的解题方法一一“见一物体写汾个动能定 即对每一个物体进行受力分析，并写出其动能定理立方程，需要注意的是连接物体的绳和杆作为 内力对系统不做功。 这类题目的传統做法是按照能量守恒定律（或机械能守恒定理）求解，其本质是单体独立方程的化简合并，但对于复 杂题目的分析仍建议学生采用动能定理的独立方程法解决问题，毕竟增加一个方程可以帮助多解一个未知数。 例 1。在动摩檫因数为#的桌面上，一轻绳通过定滑轮连着质量分别为和的两物体，现有一个 大小为尹的拉力使运动距离为问此时灵和 B 的速度各是多少。 〖解析〗分别对物体和 B 进行受力分析，设轻绳的拉力为 T ，记轻绳拉力做功为， ．香添加微信 由于和 B 连接在同一条轻绳上，故： ， 获取最新 2 2E 一 2 声关 L 一 2 g 联立方程组，可解得 = 一 羽 + 孬 虽然该题也可直接写出系统的能量守恒式，即 利用这种方法也可解出答案，但这种方法在解决复杂的运动过程时对系统的分析将会变得困难，尤 其是内力做功的判断等，在此依然建议学生使用动能定理的独立方程法解决问题。

原书第183页

我们总结一下本专题独立方程的解题步 物体 1 动能定理 物体 2 动能定理 关联速度 例 2·某一半径为的光滑半圆轨道的右方有一质量为 M 的小球 M ，通过一个轻绳与一质量为的 小球相连，小球均可视为质点，忽略摩檫及空气阻力，问当小球滑至轨道底部，轻绳伸直时，两小 球的速度与分别是多少。 《解析〗 小球 M 滑至底部时，速度方向不与绳子方向平行，如图所示进行分解， 可得出此时两小球速度大小的关系为 cos 一 4 设轻绳拉力对两物体做的功为，当 M 下落高度为 R 时，需注意，绳长变化为轭 R ， 则小球上升高度为 分别列出 M 和的动能定理独立方程及关联方程，得 崦 R 一：一 M2 VMCOS—=v 4 4 灭一 4 R 联立方程组，解得

• 2M 2MgR 一 2‰呕 R
• 2M 例 3· 〈20 巧新课标(I)如图，滑块 b 的质量均为口套在固定直杆上，与光滑水平地面相距 b 放在地面上， 、 b 通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，口、 b 可视为质点，重力加速度大小为 go 则 A. 。落地前，轻杆对 b 一直做正功 B.落地时速度大小为 c.癆下落过程中，其加速度大小始终不大于 g D.落地前，当。的机械能最小时， b 对地面的压力大小为以

原书第184页

〖解析〗 A 、 B:滑块。落地时，设轻杆对滑块做功为，此时。的速度为，方向竖直向下， b 的速度为 ，方向水平向右，故两滑块的速度关系为咗 c 一 = c 0， 2 〖老王提醒〗由于无法确定轻杆对做正功或者负功，故先通过列出 b 动能定理杆一一，则可判断轻杆对 b 做 正功。对 0 做负功。 分别列出滑块。和 b 的独立方程及关联方程》得 1 1 2 2 VaCOS 一 = COSO 2 联立解得， ：0， ： ，157 故轻杆对滑块 b 先做正功后做负功，对滑块。先做负功后做正功，故选项 A 错误， B 正确： C:在。下落过程中，轻杆对。先做负功后做正功，当轻杆对滑块。做正功时， 轻杆对滑块磊的拉力方向沿杆向下，则此时。的加速度大于 g,故 C 错误： 轻杆对滑块。做负功最多，此时滑块。的机械能少井甲咩力 ` 仅夔作劑，故 D 正确。 及无水讲义阻 〖答案〗 BD 可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球。和 bo 。球质量 为静置于地面；球质量为 3 用手托住，高度为，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放后， 。 可能达到的最大高度为） C. B. l.5h D.2· 微信搜索公众号

06. 如何理解“功是能量转化的量度”

原书第185页

如何理解“功是能量转化的量度’ ’ 一“功是能量转化的量度” 即什么力做了多少功就会有相应的能量发生转化。 下面的表告诉我们，具体都有哪些力做功，又分别转化为了什么能。 一、功能转换表 姒心与諗嘰 获取最 功 重力做功 弹力做功 电场力做功‰ 万有引力做功 子力做功 摩擦力做功 宀培力做头： 合外力做功 能 重力势能一 AE “ 弹性势能一 AE 扁 电势能一盹 引力势能一 AE, 分子势能一酚子 热量一 0/ 添加黾 动能 机械能机 除重力、弹力等力做功、弹 注： （1)重力，弹力，电场力，万有引力，分子之间的力称为“保守力” ，做功与路径无关；摩擦力，安 培力称为“耗散力” 。 （2） ^ 表示变化，即末状态减初状态，厶为正表示增加， ^ 为负表示减少。 、功能原理解题方法 通过动能定理，列出 + + + ， · ， + ： “将文字“式子化” ，再将式子转回为文字。 功能原理通常以文字的形式考察“功”和“能”之间的转化，故选项中的式子一般不需要展开，只需要将 式子转换为文字。 四、关于机械能是否包含弹性势能的结论 若问题中的研宄对象不含弹簧，则在计算其机械能增量时不包含弹性势能，此时弹簧属于外力做珈 若问题的研宄对象是一个带有弹簧的系统，则在计算其机械能增量时应包含弹性势能。

原书第186页

例 1·如图所示，在一均匀磁场中，某通电导体棒下方连接弹簧，其上方存在一拉力 F ，使导体棒竖 直向上运动，空气中存在空气阻九间拉力和弹簧弹力做功分别转化为哪种能量。 〖解析〗 写出导体棒运动过程中的动能定理，得 根据功能转换表，得 G 掸安了 故 + ： 々 + AE, “ + + 0 尸 故用文字表达为： “拉力和弹簧弹力做功分别转化为导体棒增加的机械能和装置产生的热能。 ” 例 2·一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支薦所做的功等 水讲止以增加量 A.物体势能的增加量 的增加量 D.物体动能的增加量加上克服重力做的功 根据功能转换表，得 除重力、弹力等力做功、 机械能一 Qf 故支持力对物体所做的功就是物体机械能的改变量，故选 CDO 微信搜索公众号

原书第187页

例 3· 〈2013 山东）如图所示，楔形木块 abc 固定在水平面上，粗糙斜面劢和光滑斜面阮与水平面 的夹角相同，顶角 b 处安装一定滑轮。质量分别为 M 、0 的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑 轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，在两 滑块沿斜面运动的过程中〈0） A.两滑块组成系统的机械能守恒 Be 重力对 M 做的功等于 M 动能的增加 C.轻绳对做的功等于忉机械能的增加 D.两滑块组成系统的机械能损失等于 M 克服摩擦力做的功 例 4· （2m4 海南）如图，质量 7 糙桌面上。初始时用力压住 b 使 b 静止，撤去此压力后， 。开 始运动， 》下降的过程中， b 始终未离开桌面。在此过程中〈 ） A.的动能小于 b 的动能 B.两物体机械能的变化量相等 c.口的重力势能的减小量等于两物体总动能的增加量 D.绳的拉力对所做的功与对 b 所做的功的代数和为零 *$b;斯一 WfbZ 斯·叼栌弱 P ：緔沙对亻枷 微信搜索公众号

07. 传送带

原书第188页

七、传送带 、水平传送带模型怠结 在本讲中我们通过模型中多个问题进行总结： 例 1·如图所示，传送带保持以/舌的速度顺时针转动》现将一质量 = 0.5 的物体从离皮带很 近的。点轻轻地放上，设物体与皮带间的动摩擦因数 = 0·1， b 间的距离 = 2·5． 〈1)物体从。点运动到 b 点所经历的时间为多少？ 〈2）欲用最短时间把工件从。处传到 b 处，求传送带的运行速度至少多大？ （3）滑动摩擦力对传送带做的功为多大？ （4）滑动摩擦力对物件做的功多大？ （5）物件增加的动能是多大？ 〈6）整个过程中系统产生的内能是多少？ （7）由于传输该物体》电动机多做的功为多少？ 〖解析〗 〈 I)法假设物体可以与传送带共速； 传 则共速时间： 由匀变速公式得： ：一 2 = 0．5 <L 物与传送带不共速：则物体始终在传送带上加速， 由运动学公式得： ：恒： ，得喙： / s 声 g ：1／ s2 比较得喙 > ，故假设不成立〈物体不可能加速到比传送带的速度还大） ，物体最终与传送带共速。 则物体在传送带上传输的总时间 = ` 2·5 一 0·5 代入数据得： t.总：1 + 〖老王总结〗 假设共速法：判断 S 物 设不共速法：判断喙 1 S 物 > 不共速 S 物 < 共速 喙 > ：共速 喙 < ：不共速 微信搜索公众号

原书第189页

〈2）最短时间 0 使物体始终加速 则由运动学公式： ： 、 ： （3）摩擦力只有在发生相对滑动时才对传送带做功： 则考传：一丆·斗〈注意摩擦力做负功） 代入数据得：传：一 g 叩传· t ：刁．5 丿 （4）同理物：歹· S 物（注意摩擦力做正功） ”添加微信 获取最新网谋及无 由图像不难看出物体与传送带共速时， ：2S 物 代入数据得：物： g ’ 2 〈5）由动能定理得： ：物 丿．物 代入数据得： 一 = 0 竟 5 丿 2 （6）系统产生热：摩擦力对系统做功 0：歹· （ s 传一 S 物） ：0，25 了， 解得传：物 = 一 20

原书第190页

（7） 〖能量角度〗电动机多做的功一物块增加的动能 + 摩擦产生的热 额： + 0 一 2 = 20 = 0·5 丿 〖做功角度〗电动机多做的功：传送带克服摩擦力做的功 ： ：2 物：2 = 20 代入数据得額：0·5J :反向传送带 如图所示，当物体以 v 物冲上反向传送带，传送带足够长，求物体返回时的速度。 讨论： ．如果 v 物 > 渺传，则”返：传。 @如果 < “传，则”返： v 物。 然严飠 3。 、 “ 。 〖老王总结〗关键是分析减速到零后的返回过程，要注意 v 返一定不超 〖从下向上传〗如图所示，传送带与地面倾角 = 30。 ，传送带以 v= lm/s 的速度顺时针转动，在传 3 送带下端 a 处无初速的放一个质量为 = 0·5 的物体，它与传送带之间的动摩擦因数 = ， a 、心间 的距离 L = 2·5，则 〈 D 物体从下到上所经历的时间为多少？ （2）滑动摩擦力对传送带做的功为多大？ （3）滑动摩擦力对物件做的功多大？ （4）在物体加速过程中增加的机械能是多少？ （5）整个过程中系统产生的内能是多少？ （6）在物体加速过程中电动机多做的功是多少？ 〖解析〗 法假设物体可以与传送带共速： Step1:由牛顿定律可得: gc 佣 30。一 gs 30。 解得: = 2，5/ 1 佣 2

g s3 俨

mgsin300

原书第191页

传 = 0，4s 则共速时间：东 = 1 2 = 0·2；故 < L ，则物体可以与传送带共速。 由匀变速公式得: = 共 2 法二:假设物体与传送带不共速，则物体始终在传送带上加速: 由运动学公式得:喙一、 ，得： 则物体在传送带上传输的总时间一东 2 巧一 0·2 = 33 忑 代入数据得: = 1 + 1 5 冽/比较得 > ，故假设不成立。 2 物 传 0）滑动摩擦力在块带发生相对滑动时对传送带做功： 则传 = 一歹传（注意摩擦力做负功） 代入数据得：传：一 g s30。 · v,传·东 一料添加微信 〈3）同理物：歹， S 物（ 获取最新网谋 由图像不难看出物体与传送带共速时， ：2S 物：2S 相 代入数据得：物：声 gcos30。 · S 物一 0·75J （4） /物 =AE 机：一衫 2 + g ：0·75 丿 〖老王提醒]电动机多做的功一物块增加的机械能 + 摩擦产生的热 ：一 2 物 = 一 20 · ，0：一 v2 + ：0，7 丷

原书第192页

（5）系统产生热 = 摩擦力对系统做功 传：2S 物：2S 相 则 0：一（物 + 传）一 s 传—S 物） ：0·7 丷 〖老王总结〗相比于水平传送带，加速阶段摩擦力做功转化为物体的机械能。额 关系依然成立，但需要考虑过程中也增加了重力势能。 ：2 物 = 20 = 》2 倍 《从上向下传〗如图所示，传送带与地面倾角 e= 37。 ，从 a 到 b 长度仁 16m ，传送带以衫 = 1 的 速度逆时针转动。在传送带上端 a 处无初速地放一个质量为司·5kg 的物体，它与传送带之间的动摩擦 因数 = 0·5。求物体从处运动到 b 处所需时间是多少？ 〖解析〗 一一．物块沿传送带方向受力情况如下： mgsin9 Step1:由牛顿定律可得 mgsin9+gmgcos9=mq 代入数据得：刍：10 × s 37。十 0·5 × 1 哂及无水 《浒碍祛带共速： S 2 = 则共速时矶 1 2 由匀变速公式得 5 物， 故 s 物 < 0 物体可以与传送带共速。 声 > 共速 难程二:判断物块是否与传送带共速下滑:当 由题可得： = 0·5， t 鈕 9 = 0，75； · · · < 六故物块与传送带不共速下滑。 物块与传送带共速后摩擦力方向向上： 微信搜索 mgsinO

原书第193页

St 叩 1：由牛顿定律可得：冽 gsin 一声 gco ： ‰ 代入数据得： ：10 × s 37。一 0·5 × 10 × cos37。 = 2/2 2 St 2：由运动学公式可得：5 物 2：2 + 一癆 2 = 1 S 物 2：一 S 代入数据得： 1 一 × 2z22 + 10z2 = 11 2 解得： t2：1 t2 总 = + = 2s 一 1〈舍去） 故物体从处运动到 b 处所需时间为 2s 例 1.如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率匀速向右运动。 质量为的滑块从传送带右端以水平向左的速率 > 边〉滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右 端。就上述过程，下列判断正确的有〈 ） A.滑块返回传送带右端时的速率为坳 435 D.此程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为一 + 叼 2 亠》

原书第194页

例 2。水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点） ，煤块与传送带之间的动摩擦因数为粼。初 始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度‰开始运动，当其速度达到后，便以此 速度做匀速运动。经过一段时间》煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。 求此黑色痕迹的长度。 例 3· （2021 辽宁）机场地勤工作人员利用传送带从飞机上卸行李。如图所示，以恒定速率，6 s 运行的传送带与水平面间的夹角 = 37。 ，转轴间距 3·95m 。工作人员沿传送方向以速度 1．6 s 从 传送带顶端推下一件小包裹〈可视为质点） 。小包裹与传送带间的动摩擦因数，8。取重力加速度 g=10m/s2, si 7。还， c0s37。 = 0·8．求： （1)小包裹相对传送带滑动时加速度的大小鱼 （2）小包裹通过传送带所需的时间唟 〔最新网课及 ：翰靠逯徊， 、 f 白上 阻晡屑刂司轭亠萨 = 叼《 L 多 = 忄昷 S V2