竖直圆周模型
一、识别题眼
竖直平面内圆周运动、绳拉小球、轻杆带小球、圆轨道、过最高点、恰好通过最高点，都是竖直圆周模型。
本模型第一判断：最高点约束类型不同，临界速度不同。
二、绳模型与杆模型
| 模型 | 最高点受力 | 临界条件 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 轻绳/外轨 | 重力 + 拉力向下 | ||
| 轻杆/内外均可约束 | 杆可拉可推 | 也可能通过 | 无 最小速率要求 |
| 内轨道 | 支持力指向圆心 | 临界同绳模型 |
三、第一方程
最高点径向：
最低点径向：
若从最低点到最高点没有非保守力做功：
四、典型例题（带答案）
题目：小球系在轻绳一端在竖直平面内做圆周运动，半径 。若恰好通过最高点，最高点速度是多少？最低点至少速度是多少？
答案：最高点恰好通过时 ：
由机械能守恒：
所以
五、变式模型
1. 内轨道模型
小球在光滑圆轨道内侧运动，最高点支持力指向圆心，临界时：
所以同绳模型：
2. 杆模型
轻杆可拉可推，最高点方程可以写成：
若 ，杆对球可能向上支持；若 ，杆对球向下拉。
3. 能量联立
竖直圆周题常常不是单纯圆周题，而是：
能量方程求最高点速度
径向方程判断能否过最高点两类方程缺一不可。
六、典型例题补充（带答案）
例 1：最低点拉力
题目：轻绳小球在最低点速度为 ，求绳拉力。
答案：
最低点：
所以：
例 2：杆最高点静止
题目：轻杆带小球刚到最高点且速度为零，杆对球作用力方向如何？
答案：最高点速度为零，所需向心力为零。重力向下，因此杆必须对球施加向上的支持力，大小等于 ，使合力为零。
七、易错点
- 把轻杆模型也套 。
- 最高点向心力方向弄反。
- 最低点支持力误写成 。
- “恰好通过”没有翻译成临界条件。