临界假设法

一、大招一句话

先假设某种状态成立，算出维持这个状态需要的条件，再和物理极限比较。

临界题最怕一上来就换模型。正确顺序是：先让题目停在“刚好”的边界上，再用边界条件把范围卡出来。

假设成立 -> 列方程 -> 求需求 -> 比极限 -> 决定状态

本页和 整体隔离法 配套使用：整体隔离负责求“需要多大力”，临界假设负责判断“这个力够不够、状态会不会变”。

二、题眼识别

看到下面词语，先不要急着代公式，先问“哪个约束快失效了”：

题眼	可能临界	常写条件
“刚好不滑”“最大外力”	静摩擦到极限	$f=f_{\max }=\mu N$
“刚好离开”“恰不脱离”	支持力消失	$N=0$
“绳刚好不松”	绳拉力消失	$T=0$
“恰能通过最高点”	圆周最高点临界	$N=0$ 或 $T=0$
“最小速度”“最大高度”	能量与约束同时临界	机械能方程 + 临界力方程
“不相对滑动”	所需静摩擦不超过最大静摩擦	$

临界条件不是额外背诵，而是来自力的性质：支持力不能拉，绳不能推，静摩擦不能无限大。

三、核心图谱

临界假设法的五步：

1. 假设：假设不滑、不离开、不松弛、刚好通过。
2. 建模：按假设状态画受力图，确定加速度方向。
3. 列式：用牛顿第二定律、能量守恒或圆周运动方程。
4. 求需求：求所需摩擦力、支持力、拉力、速度或外力。
5. 比极限：与 $f_{\max }$、$N=0$、$T=0$ 等比较；若不满足，就换成新状态重新列式。

四、临界条件表

情境	假设状态	需求量	极限条件	失败后模型
水平板块不滑	上下块同加速度	所需静摩擦 $f$	$	f
斜面上物块不滑	相对斜面静止	沿面静摩擦	$	f
接触面不分离	物体仍贴合	支持力 $N$	$N=0$	脱离后做抛体或自由运动
轻绳不松	绳始终拉紧	拉力 $T$	$T=0$	绳松后约束消失
竖直圆周过最高点	能保持圆周约束	最高点向心力	$N=0$ 或 $T=0$	掉落或离轨
弹簧连接分离	两物体仍接触	接触弹力 $N$	$N=0$	分离后各自运动

五、典型模型

模型 1：板块不相对滑动的最大外力

水平地面光滑，木板 $M=2\text{ kg}$ 上放小物块 $m=1\text{ kg}$，二者间 $\mu =0.3$。水平力 $F$ 拉木板，取 $g=10{\text{ m/s}}^2$。求不相对滑动的最大 $F$。

先假设不滑，二者共同加速：

$$a=\frac{F}{M+m}$$

隔离物块，物块只靠静摩擦获得加速度：

$$f=ma=m\frac{F}{M+m}$$

最大静摩擦：

$$f_{\max }=\mu mg$$

临界时：

$$m\frac{F}{M+m}=\mu mg$$

所以：

$$F_{\max }=(M+m)\mu g=3\times 0.3\times 10=9\text{ N}$$

答案： $F_{\max }=9\text{ N}$。

注意这里不能一开始就写 $f=\mu mg$。只有在“最大外力”“刚好不滑”的临界点，静摩擦才取最大值。

模型 2：竖直圆周最高点

轻绳拴小球在竖直平面内做圆周运动，半径为 $R$。问小球恰能通过最高点时，最高点速度至少多大。

最高点受力方向指向圆心。恰能通过时绳刚好不松：

$$T=0$$

向心力由重力提供：

$$mg=m\frac{v^2}{R}$$

所以：

$$v_{\min }=\sqrt{gR}$$

若是光滑圆轨道内侧最高点，临界条件同样是 $N=0$，结果仍为 $\sqrt{gR}$。但若是轻杆约束，杆既能拉又能推，最高点临界就不再是 $v=\sqrt{gR}$，要按杆力正负重新判断。

关联模型：竖直圆周模型。

模型 3：接触分离与失重

物块放在升降台上，升降台竖直向下加速 $a$。若物块仍与台面接触：

$$mg-N=ma$$

所以：

$$N=m(g-a)$$

当 $a$ 增大到 $g$ 时：

$$N=0$$

这就是物块刚好离开台面的临界。若 $a>g$，台面需要“向下拉住”物块才能保持接触，但支持力不能拉，所以假设失败，物块进入自由下落状态。

模型 4：弹簧分离

弹簧连接或压缩接触题常见两个临界：

• 弹簧力是否突变：理想弹簧形变量瞬时不变，所以弹簧力瞬时不变。
• 接触是否分离：两物体间支持力降到 $N=0$ 时分离。

做这类题，先在分离前把两个物体当成仍接触的系统或分别隔离；求出接触力 $N$ 随位置或时间的表达式；再令 $N=0$ 找分离点。不要凭直觉说“弹簧恢复原长就分离”，很多题的分离点并不在原长处。

六、范围题的写法

临界题经常要求“范围”，建议用三行表达：

假设状态：不滑 / 不离开 / 绳不松
维持条件：所需 f、N、T、v
成立范围：需求量不超过物理极限

例如板块不滑：

$$|f_{\text{需}}|\le \mu N$$

如果化简得到：

$$F\le F_{\max }$$

就说明 $F$ 在这个范围内假设成立；超过后进入相对滑动模型。

七、常见陷阱

陷阱	错误写法	正确处理
静摩擦直接取最大	$f=\mu N$	先求 $f_{\text{需}}$，临界才等于最大值
支持力写成负数	$N<0$ 仍继续算	$N=0$ 是边界，之后脱离
绳力写成负数	$T<0$	绳松，约束消失
圆周最高点混淆绳杆	都写 $v_{\min }=\sqrt{gR}$	轻绳/轨道看 $T,N=0$；轻杆可推可拉
假设失败不换模型	超过范围仍用同加速度	改为滑动、离轨、松绳后的新方程

八、教师备课讲法

导入

先问学生：“静摩擦力是不是一定等于 $\mu N$？”让学生用板块题算出所需摩擦，再把外力逐渐增大，逼近 $f_{\max }$。这样临界条件不是背出来的，而是自然长出来的。

板书主线

物理约束有边界
支持力不能为负
绳子不能为负
静摩擦不能无限大
临界题 = 假设 + 边界

课堂追问

1. 为什么“刚好不滑”才能写 $f=\mu N$？
2. 如果计算出 $N<0$，物理图像是什么？
3. 轻绳和轻杆在最高点的临界为什么不同？
4. 板块开始相对滑动后，摩擦力方向是否一定不变？

当堂训练顺序

1. 水平板块最大外力。
2. 斜面上物块不滑的加速度范围。
3. 升降台失重分离。
4. 轻绳竖直圆周最高点。
5. 弹簧压缩释放后的分离位置。

九、错题归因

错因	典型表现	回炉入口
不会找临界对象	不知道隔离哪一块	整体隔离法
把临界条件写错	$N=mg$、$T=mg$ 乱写	本页“临界条件表”
静摩擦范围意识弱	先写 $f=\mu N$	板块模型
圆周最高点混乱	绳、杆、轨道一套公式	竖直圆周模型
超出范围不换模型	仍沿用原假设方程	牛顿第二定律错题归因

十、关联入口

• 教材主线：04-运动和力的关系
• 配套大招：整体隔离法
• 大招章节：03-牛顿运动定律
• 题型模型：板块模型、竖直圆周模型、弹簧模型
• 经典题型：牛顿第二定律经典题型清单
• 错题归因：牛顿第二定律错题归因