板块模型

一、识别题眼

木板上放木块、粗糙接触、物块相对木板滑动、木板足够长、从板上滑下、共同运动、摩擦生热，基本就是板块模型。

第一动作：先假设共同运动，再检验静摩擦够不够。

方法入口：整体隔离法 负责求共同加速度和所需摩擦，临界假设法 负责判断是否达到最大静摩擦。

二、两种状态

状态	条件	方程特点
相对静止	静摩擦能提供所需加速度	两者共同加速度，$f\le {\mu }_{s}N$
相对滑动	静摩擦不够或已有相对速度	两者加速度不同，$f={\mu }_{k}N$

三、三段判断

阶段	要问的问题	方程动作
假设共同运动	如果上下块一起走，需要多大摩擦？	整体求 $a$，隔离上块求 $f_{\text{需}}$
临界判断	所需摩擦是否超过最大静摩擦？	比较 $
相对滑动	若滑动，谁加速大？多久共速或滑出？	分别列 $a_m,a_M$，再写相对位移

板块题最容易把“静摩擦足够时的共同运动”和“滑动摩擦时的相对运动”混在同一套方程里。每换一次状态，就要重新画受力图。

四、解题流程

1. 判断外力作用在上块还是下板。
2. 假设二者一起运动，整体求加速度。
3. 隔离上块，算所需静摩擦。
4. 与最大静摩擦比较：若够，假设成立；若不够，进入相对滑动。
5. 相对滑动时分别列牛二，再用相对位移判断是否滑出或共速。

五、常用关系

共同运动：

$$a=\frac{F}{m+M}$$

上块所需摩擦：

$$f=ma$$

相对滑动时：

$$a_m=\frac{f}{m},a_M=\frac{F-f}{M}$$

相对位移：

$$\Delta x_{相对}=x_m-x_M$$

摩擦生热：

$$Q=f\cdot |\Delta x_{相对}|$$

六、典型例题（带答案）

题目：质量 $m$ 的小块放在质量 $M$ 的木板上，地面光滑。对木板施加水平力 $F$，小块与木板间最大静摩擦为 $\mu mg$。求二者能一起运动的条件。

答案：若共同运动，整体加速度

$$a=\frac{F}{M+m}$$

小块需要摩擦力

$$f=ma=\frac{mF}{M+m}$$

共同运动要求

$$\frac{mF}{M+m}\le \mu mg$$

所以

$$F\le \mu g(M+m)$$

七、滑动后的二刷模板

如果已经发生相对滑动，二刷时必须写清四个量：

上块加速度：
木板加速度：
共速时间或滑出时间：
相对位移：

常用关系：

$$\Delta x_{\text{相对}}=\Delta x_{\text{上块}}-\Delta x_{\text{木板}}$$

摩擦生热只看相对位移：

$$Q=f_k|\Delta x_{\text{相对}}|$$

如果题目问“木板至少多长”，本质就是求临界相对位移。

八、易错点

• 一上来就写 $f=\mu N$，没有判断是否相对滑动。
• 只看小块位移，不看相对位移。
• 木板足够长和滑下木板两种题意混淆。
• 摩擦对系统做功与摩擦生热混同。

九、训练小题组（带答案）

1. 共同运动最大拉力

题目：小块 $m=1kg$ 放在木板 $M=3kg$ 上，地面光滑，二者间最大静摩擦为 $5N$。水平力拉木板，求二者共同运动时 $F$ 的最大值。

答案：共同运动时

$$a=\frac{F}{M+m}$$

小块所需摩擦

$$f=ma=\frac{mF}{M+m}$$

要求 $f\le 5N$：

$$\frac{F}{4}\le 5$$

所以

$$F\le 20N$$

2. 生热公式

题目：小块与木板发生相对滑动，摩擦力大小 $f$，相对位移为 $\Delta x$，摩擦生热是多少？

答案：

$$Q=f|\Delta x|$$

相对位移不是小块对地位移，也不是木板对地位移。

3. 假设法

题目：为什么板块题常先假设共同运动？

答案：共同运动时两个物体加速度相同，可以先整体求 $a$，再隔离小块求所需静摩擦。通过与最大静摩擦比较，就能判断假设是否成立。

十、关联入口

• 03-牛顿运动定律
• 整体隔离法
• 临界假设法
• 06-功能关系
• 力学易错点