传送带问题

一、识别题眼

水平或倾斜传送带、皮带速度恒定、物块轻放、相对滑动、共速、黑痕、摩擦生热、到达另一端速度，都是传送带模型。

第一动作：分阶段，找共速点，算相对位移。

二、水平传送带

物块轻放到速度为 $v$ 的水平传送带上：

• 若物块初速度小于传送带速度，摩擦力使物块加速。
• 加速到与传送带共速后，若无其它水平外力，摩擦力变为零。
• 若传送带不够长，物块可能未共速就离开。

加速度：

$$a=\mu g$$

共速时间：

$$t=\frac{v-v_0}{\mu g}$$

物块加速位移：

$$x=\frac{v^2-v_0^2}{2\mu g}$$

三、倾斜传送带

倾斜传送带要比较重力沿斜面分力和摩擦力：

$$mg\sin \theta \text{与}\mu mg\cos \theta$$

物块可能上滑、下滑、共速后继续匀速、共速后再相对滑动，必须按受力方向分阶段。

四、能量与热量

摩擦生热不是摩擦力对某一个物体做的功，而是

$$Q=f\cdot \Delta x_{相对}$$

其中 $\Delta x_{相对}$ 是物块和传送带之间的相对位移。

五、典型例题（带答案）

题目：物块从静止轻放在速度为 $v$ 的水平传送带上，动摩擦因数为 $\mu$，传送带足够长。求物块达到共速前的位移和相对位移。

答案：物块加速度 $a=\mu g$。共速时间

$$t=\frac{v}{\mu g}$$

物块位移

$$x_{物}=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{v^2}{2\mu g}$$

传送带位移

$$x_{带}=vt=\frac{v^2}{\mu g}$$

相对位移

$$\Delta x=x_{带}-x_{物}=\frac{v^2}{2\mu g}$$

六、易错点

• 共速后仍然认为一定有摩擦力。
• 只算物块位移，不算传送带位移。
• 把摩擦生热写成 $f{x}_{物}$。
• 倾斜传送带不分阶段，摩擦方向一直不变。

七、训练小题组（带答案）

1. 是否共速

题目：水平传送带速度 $v=4m/s$，物块从静止轻放，$\mu =0.2$，$g=10m/s^2$。若传送带长 $3m$，物块离开前能否共速？

答案：物块加速度

$$a=\mu g=2m/s^2$$

共速所需位移

$$x=\frac{v^2}{2a}=\frac{16}{4}=4m$$

传送带只有 $3m$，所以离开前不能共速。

2. 黑痕长度

题目：物块从静止轻放到足够长水平传送带上，传送带速度 $v$，物块达到共速前黑痕长度是多少？

答案：黑痕长度等于相对位移：

$$\Delta x=x_{\text{带}}-x_{\text{物}}=\frac{v^2}{2\mu g}$$

3. 热量判断

题目：传送带题中摩擦生热为什么不是 $f{x}_{\text{物}}$？

答案：生热来自接触面相对滑动，应该用

$$Q=f\Delta x_{\text{相对}}$$

其中 $\Delta x_{\text{相对}}$ 是物块相对传送带的位移。

八、关联入口

• 06-功能关系
• 板块模型
• 力学易错点