第4章 曲线运动

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本章核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	如何考察曲线运动的成因	105
2	如何解决运动的分解	108
3	解决运动的合成问题	112
4	解决小船过河三小问题	114
5	掌握平抛运动基础公式	117
6	怎样通过平抛技巧方法——轨迹方程解题	120
7	怎样通过平抛技巧方法——角度方程解题	122
8	平抛中的动能定理“分解”问题	124
9	如何理解并找出斜面平抛问题的解题规律	126
10	最大射程问题	129
11	平抛运动实验数据分析	130
12	平抛运动相遇问题	131
13	用公式解决二维平面直线运动	132
14	竖直平面圆周运动	134

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 105-137 页。第四章已完成结构化精修；后续可继续给高频题补原图复刻、错题卡和二刷题组。

01. 如何考察曲线运动的成因

原书第105页：曲线运动的成因

直线运动和曲线运动的根本差别，不是速度大小变不变，而是速度方向与合外力方向的关系。

• 速度方向与合外力方向在同一直线上：做直线运动。
• 速度方向与合外力方向不在同一直线上：做曲线运动。

判断轨迹常用口诀：

速度合力夹轨迹，凹侧方向指向力。

速度方向沿轨迹切线；合力方向指向轨迹凹侧；轨迹大致夹在速度方向与合力方向之间。

原书第106页：恒力反向后的运动轨迹

物体在恒力 $F$ 作用下沿曲线运动，到某点后突然把力变为 $-F$。判断后续轨迹：

1. 先画该点瞬时速度方向，沿原曲线切线。
2. 再画反向后的合力方向。
3. 新轨迹仍夹在速度与新合力之间，且向新合力一侧弯曲。

原书答案：C。

“沿原曲线返回”通常错误，因为速度方向不会瞬间反向；力变了，只改变之后速度的变化趋势。

原书第107页：恒力作用下动能如何变化

质点原来做匀速直线运动，后来受一恒力。动能变化看合力与速度夹角：

• 合力始终与速度成锐角：动能一直增大。
• 合力先与速度成钝角，速度可能减到零，再反向增大。
• 若合力与初速度有垂直分量，速度沿合力反方向的分量可减小到零，但垂直分量仍在，动能出现非零最小值。

所以可能出现“一直增大”“先减到零再增大”“先减到非零最小再增大”，不可能“先增大到最大再减小”。

原书例题结论：A、B、D。

静电除尘器轨迹题同样用这一口诀：粉尘带负电，电场力方向与电场线反向，轨迹向受力一侧弯，原书答案：A。

02. 如何解决运动的分解

原书第108页：绳杆类速度分解

绳杆模型最容易犯的错，是把速度直接分解成水平、竖直。真正要按“运动效果”分解：

• 沿绳/杆方向的分速度：改变绳长或杆端距离。
• 垂直绳/杆方向的分速度：使绳或杆摆动。

同一根不可伸长轻绳上，沿绳方向速度分量相等。

若小船速度 $v$ 与绳成角 $\theta$，绳端收绳速度为 $v_{\parallel }$，则：

$$v_{\parallel }=v\cos \theta$$

因此：

$$v=\frac{v_{\parallel }}{\cos \theta }$$

原书第109页：跨滑轮两物体速度关系

两物体由同一根绳连接，绳与两物体速度方向夹角分别为 $\alpha ,\beta$。沿绳速度相等：

$$v_A\cos \alpha =v_B\cos \beta$$

所以：

$$v_B=\frac{v_A\cos \alpha }{\cos \beta }$$

原书例 1 答案：D。

例 2 中，水平拉动 $B$ 匀速，绳与水平夹角减小，$\cos \theta$ 增大，悬挂物体沿绳速度增大，说明悬挂物体向上加速，绳拉力大于重力。

原书答案：A。

原书第110-111页：一般运动分解与做功

不是绳杆题时，先找“合运动方向”。合外力方向往往指向速度改变的方向，分解时要围绕运动效果，而不是机械拆水平竖直。

定滑轮拉光滑水平面物体前进 $s$，拉力方向与水平成角 $\theta$ 且两段绳同时做功。可以从两种角度理解：

• 合力做功；
• 两段绳端沿绳方向位移分别做功。

原书例 4 答案：C、D。

03. 解决运动的合成问题

原书第112页：相对速度公式

二维运动合成的核心公式：

$${\vec{v}}_{A/B}+{\vec{v}}_{B/地}={\vec{v}}_{A/地}$$

也可写成：

$${\vec{v}}_{A/地}={\vec{v}}_{A/B}+{\vec{v}}_{B/地}$$

它适用于速度，也适用于加速度。做题时先把“相对谁”说清楚，再画矢量三角形。

原书第112页：玻璃切割机

玻璃板以速度 $u$ 向前运动，割刀速度大小为 $v$。要切出矩形，割刀相对玻璃的速度必须垂直玻璃运动方向。

因此割刀对地速度要分解为：

• 沿玻璃运动方向的分量：等于玻璃速度 $u$；
• 垂直玻璃运动方向的分量：用于实际切割。

若割刀速度与垂直切割方向夹角为 $\theta$，则：

$$v\sin \theta =u$$

切割时间由玻璃宽度除以割刀相对玻璃的垂直分速度：

$$t=\frac{d}{\sqrt{v^2-u^2}}$$

原书第113页：垂直传送带

工件从甲传送带进入乙传送带后，速度相对乙带可分解为：

• 沿乙带方向的相对速度；
• 垂直乙带方向的相对速度。

摩擦力方向总是与相对运动方向相反。分析到“相对乙带刚停止侧向滑动”时，就是侧向相对速度变为零的时刻。此类题用相对速度系最清爽。

04. 解决小船过河三小问题

原书第114-115页：三类最小值

小船过河题本质是速度矢量合成：

$${\vec{v}}_{\text{船/水}}+{\vec{v}}_{\text{水/地}}={\vec{v}}_{\text{船/地}}$$

三小问题：

问法	最优策略	结论
最短时间	船头垂直河岸	$t_{\min }=d/v_{\text{船/水}}$
最短位移	合速度尽量垂直河岸；若船速小于水速，用切线法	能垂直到对岸时，位移为河宽
最小船速	已定对地路线，船速矢量与水速矢量垂直时最小	$v_{\min }=v_{\text{水}}\sin \theta$

注意：题目说“小船速度”通常指船相对水的速度，除非明确说“对地速度”。

原书第115页：去程垂直船头，回程垂直路线

去程船头垂直河岸，是最短时间模型；回程路线垂直河岸，是最短位移模型。两个时间表达式不同，结合题给时间比即可求静水船速。

原书例 1 答案：B。

原书第116页：两船是否相遇

甲乙两船同时渡河，船头与河岸夹角相同，划船速度大小相同。两船垂直河岸方向的有效速度相等，所以渡河时间相等。

再看平行河岸方向，两船相向靠近，因此会在中途相遇。

原书答案：C。

05. 掌握平抛运动基础公式

原书第117页：平抛的独立方程

平抛运动：物体以水平初速度 $v_0$ 抛出，仅受重力。

水平方向：

$$x=v_{0}t,v_x=v_0$$

竖直方向：

$$y=\frac{1}{2}g{t}^2,v_y=gt$$

合速度：

$$v=\sqrt{v_0^2+(gt{)}^2}$$

速度偏转角：

$$\tan \theta =\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}$$

轨迹方程：

$$y=\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

原书第118页：水平水管出水

水从离地高 $h=1.8\text{ m}$ 的管口水平射出，速度 $v=2.0\text{ m/s}$，管口截面积 $S=2.0{\text{ cm}}^2$。

空中飞行时间：

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.6\text{ s}$$

空中水柱长度：

$$L=vt=1.2\text{ m}$$

空中水体积：

$$V=SL=2.4\times 10^{-4}{\text{ m}}^3$$

这类流体题本质是“取一小段水柱做平抛”，稳定后空中体积等于截面积乘水平长度。

原书第119页：热气球投物与频闪照片

热气球投物题要分开两个系统：

• 物资：水平抛出后做平抛。
• 热气球：投出物资后质量变小，浮力不变，合力变为向上，做匀加速运动。

频闪照片题抓两个量：

• 相邻曝光时间间隔；
• 竖直方向连续相等时间位移差 $\Delta y=g{T}^2$。

平抛实验里，水平速度通常由：

$$v_0=\frac{\Delta x}{T}$$

求出。

06. 怎样通过平抛技巧方法：轨迹方程解题

原书第120页：轨迹方程的使用场景

平抛轨迹方程适合处理“轨迹与某条线、某个面、某个几何边界相交”的问题。

核心方程：

$$y=\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

若抛出点不在坐标原点，就把坐标换成相对抛出点的位移：

$$y-y_0=\frac{g}{2v_0^2}(x-x_0{)}^2$$

典型入口：

• 平抛落到斜面：联立 $y=x\tan \theta$。
• 平抛击中圆弧/坑壁：把点的圆几何坐标代入。
• 带电粒子在匀强电场中偏转：若竖直方向为类平抛，也可写抛物线。

原书第120-121页：忘记抛出点的平抛实验

若只知道重锤线方向和轨迹上两个点 $A,B$，可设抛出点为未知原点。把两点坐标分别代入轨迹方程，联立消去未知原点高度，即可求 $v_0$。

这类题不要强行“找槽口”，而是把未知槽口坐标当参数，用两个轨迹点联立。

原书第121页：坑壁、越野坑与带电粒子轨迹

半圆坑壁、摩托车越坑、带电粒子轨迹，本质都是：

1. 写出运动轨迹方程；
2. 写出目标边界的几何方程；
3. 联立求交点、半径、速度或能量比。

摩托车越坑题中，速度由动能决定：

$$v=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}$$

再代入平抛方程求落点。带电粒子题中，偏转方向由电场力方向决定，轨迹弯向受力一侧。

07. 怎样通过平抛技巧方法：角度方程解题

原书第122页：速度偏角与位移偏角

平抛中有两个角：

• 速度偏角 $\theta$：速度方向与水平方向夹角；
• 位移偏角 $\alpha$：位移方向与水平方向夹角。

它们满足：

$$\tan \theta =\frac{gt}{v_0}$$ $$\tan \alpha =\frac{y}{x}=\frac{gt}{2v_0}$$

所以：

$$\tan \theta =2\tan \alpha$$

看到“速度方向”“垂直撞上”“夹角为 $90^{\circ }$”这类词，优先想到角度方程。

原书第122页：反向水平抛出两小球

同一点同时向相反方向水平抛出两球，初速度分别为 $v_1,v_2$。

速度垂直：

$$(v_1,gt)\cdot (-v_2,gt)=0$$ $$t=\frac{\sqrt{v_1{v}_2}}{g}$$

位移垂直：

$$(v_{1}t,\frac{1}{2}g{t}^2)\cdot (-v_{2}t,\frac{1}{2}g{t}^2)=0$$ $$t=\frac{2\sqrt{v_1{v}_2}}{g}$$

位移垂直所需时间是速度垂直的两倍。

原书第123页：垂直撞斜面

物体平抛后垂直撞到倾角为 $\theta$ 的斜面，碰撞瞬间速度方向与斜面法线平行，因此速度偏角为：

$${\theta }_v=90^{\circ }-\theta$$

由：

$$\tan {\theta }_v=\frac{gt}{v_0}$$

得：

$$t=\frac{v_0}{g\tan \theta }$$

若问竖直下落距离与水平位移之比，就是位移偏角的正切：

$$\frac{y}{x}=\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan {\theta }_v=\frac{1}{2\tan \theta }$$

原书例 3 答案：B。

08. 平抛中的动能定理“分解”问题

原书第124页：所谓“分动能”的本质

动能是标量，物理上不能真正分解成“水平动能”和“竖直动能”。但在二维独立运动中，可以在数学上对某一方向写类似动能定理的式子。

平抛竖直方向：

$$v_y^2=2gy$$

乘以 $\frac{1}{2}m$：

$$\frac{1}{2}m{v}_y^2=mgy$$

这不是说存在“竖直动能”这个新物理量，而是竖直方向运动学方程的能量形式。

原书第124页：电场中水平减速，竖直落入圆筒

水平电场使带电小球水平速度减为零，且小球无碰撞进入竖直圆筒。此时可拆成：

• 水平方向：电场力做功抵消初始水平动能；
• 竖直方向：只有重力做功，决定末速度和末动能。

若最后没有水平速度，则全过程末动能可直接由竖直下落的重力做功求出。

原书第125页：平抛轨迹与光滑轨道重合

同一条轨迹上：

• 平抛物体在某点速度由初速度和下落高度共同决定；
• 光滑轨道上无初速下滑的物体速度只由下落高度决定。

所以同一高度处，平抛物体速度通常更大，因为它还保留了初始水平速度。

若某点位移线与竖直方向夹角为 $45^{\circ }$，则可用 $\tan {\theta }_v=2\tan \alpha$ 快速求速度分量关系。

09. 如何理解并找出斜面平抛问题的解题规律

原书第126页：落在斜面上的平抛

斜面倾角为 $\theta$，从斜面顶端水平抛出并落回斜面。

落点满足：

$$y=x\tan \theta$$

代入平抛方程：

$$\frac{1}{2}g{t}^2=v_{0}t\tan \theta$$

得总飞行时间：

$$t=\frac{2v_0\tan \theta }{g}$$

原书第126-128页：斜面平抛七个结论

1. 运行时间

$$t=\frac{2v_0\tan \theta }{g}$$

2. 重力平均功率

竖直末速度 $v_y=gt$，重力瞬时功率 $P=mg{v}_y$，平均功率为末态瞬时功率的一半：

$$\bar{P}=\frac{1}{2}mg{v}_y$$

3. 速度方向与斜面夹角恒定

落点在同一斜面上时，位移偏角恒为 $\theta$，所以速度偏角满足：

$$\tan {\theta }_v=2\tan \theta$$

速度与斜面夹角也恒定。

4. 何时离斜面最远

把运动分解为沿斜面与垂直斜面。垂直斜面方向是类竖直上抛，最远时垂直斜面的速度为零：

$$t_{\max }=\frac{v_0\sin \theta }{g\cos \theta }=\frac{v_0\tan \theta }{g}$$

正好是总飞行时间的一半。

5. 离斜面最远距离

$$d_{\max }=\frac{(v_0\sin \theta {)}^2}{2g\cos \theta }$$

6. 投影线段比例

沿斜面方向初速度不为零，相等时间内位移比不再是 $1:3:5$，但仍可用 $v-t$ 图像面积比较。

7. 落地速度沿斜面分量

用沿斜面方向匀加速方程，初速度分量为 $v_0\cos \theta$，加速度分量为 $g\sin \theta$。

原书例 1 结论：落在同一斜面上，竖直位移比等于斜面距离比；速度与斜面夹角恒定。答案：C。

10. 最大射程问题

原书第129页：二次函数极值

平抛最大射程常把水平距离写成某个变量的函数，再用二次函数求极值。

常见形式：

$$x=v_{x}t$$

其中 $v_x$ 往往由动能定理得到，$t$ 由下落高度得到。最后 $x^2$ 通常是关于某高度或半径的二次函数。

原书第129页：半圆轨道最高点水平飞出

物块从半圆轨道底端以速度 $v$ 进入，从最高点水平飞出。设轨道半径为 $R$。

到最高点由动能定理：

$$v_{\text{顶}}^2=v^2-4gR$$

从高度 $2R$ 平抛落地：

$$t=2\sqrt{\frac{R}{g}}$$

射程：

$$x=2\sqrt{\frac{R}{g}}\sqrt{v^2-4gR}$$

所以：

$$x^2=\frac{4v^2}{g}R-16R^2$$

当：

$$R=\frac{v^2}{8g}$$

射程最大。原书答案：B。

11. 平抛运动实验数据分析

原书第130页：频闪照片三件事

平抛实验数据题通常求：

1. 闪光时间间隔 $T$；
2. 平抛初速度 $v_0$；
3. 某点速度大小。

竖直方向用逐差法：

$$\Delta y=g{T}^2$$

水平方向：

$$v_0=\frac{\Delta x}{T}$$

某点竖直速度可用中间时刻思想：

$$v_{yB}=\frac{y_{\text{后}}-y_{\text{前}}}{2T}$$

最后：

$$v_B=\sqrt{v_0^2+v_{yB}^2}$$

12. 平抛运动相遇问题

原书第131页：二维相遇

平抛相遇必须同时满足两个方向：

$$x_1=x_2$$ $$y_1=y_2$$

并且是同一时刻。与一维追及相比，平抛相遇多了一个竖直方向约束。

原书第131页：高低两球相遇

甲球高，乙球低，两球水平抛出。乙要击中甲：

• 竖直方向：甲必须先抛出，因为甲下落时间更长；
• 水平方向：乙抛出较晚却要赶上，乙水平速度应更大。

所以条件为：甲比乙早抛出，且 $v_{\text{甲}}<v_{\text{乙}}$。

原书答案：D。

斜面相遇题则把平抛物体的落点坐标与斜面匀速物体的位置同时写出，联立水平、竖直或沿斜面坐标。原书例 3 答案：C。

13. 用公式解决二维平面直线运动

原书第132页：见一方向写一组

二维平面运动本质仍是独立方程：

见一段写一组，见一物写一组，见一方向写一组。

对一般二维运动，常把运动分解到 $x,y$ 两个方向：

$$x=v_{0x}t+\frac{1}{2}{a}_x{t}^2,v_x=v_{0x}+a_{x}t$$ $$y=v_{0y}t+\frac{1}{2}{a}_y{t}^2,v_y=v_{0y}+a_{y}t$$

如果有相遇或无碰撞通过管口，还要补几何约束。

原书第132-133页：重电叠加场

小球受重力和电场力，水平、竖直方向运动性质不同：

• 竖直方向：通常只受重力，做自由落体或竖直匀变速；
• 水平方向：受电场力，可能做匀加速或匀减速；
• 若要求无碰撞进入竖直管，进入管口时水平速度应满足方向约束。

处理顺序：

1. 先分段：进入电场前、电场中、电场后。
2. 每段按 $x/y$ 两方向列独立方程。
3. 再用速度方向、动能关系、边界高度等条件联立。

2017 新课标 II 带电小球穿过电场区域题的关键，是两球在电场中竖直方向运动相同，水平方向一加速一减速；并利用“M 在电场中做直线运动”转化为合速度与合力共线。

14. 竖直平面圆周运动

原书第134页：竖直圆周的三类器材

竖直圆周是变速圆周运动，通常把向心力方程和动能定理结合。

三类最高点条件：

模型	最高点约束	过最高点条件
绳、槽、外轨	不能提供向下支持，只能拉/压向圆心	$v_{\text{高}}\ge \sqrt{gR}$
杆、管、环	可拉可压，最高点可由杆/管支持	$v_{\text{高}}\ge 0$
圆拱	只能提供向上支持，过快会飞离	$v_{\text{高}}\le \sqrt{gR}$ 才不飞离

口诀：

求力就用向心力，向心力就用动能定理。

原书第135页：上下两点向心力差

小球从最高点到最低点，只有重力做功：

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{低}}^2-\frac{1}{2}m{v}_{\text{高}}^2=mg(2R)$$

所以：

$$\frac{m{v}_{\text{低}}^2}{R}-\frac{m{v}_{\text{高}}^2}{R}=4mg$$

结论：绳管类模型，上下两点向心力相差 $4mg$。

若除重力外还有其他力做功，则把其他功加入动能定理，向心力差随之改变。

原书第136页：2022 全国甲滑雪大跳台

运动员从高处无阻力滑到圆弧最低点 $c$，要求对滑雪板压力不超过自身重力的 $k$ 倍。

最低点向心力：

$$N-mg=\frac{m{v}^2}{R}$$

由动能定理：

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$$

又 $N\le kmg$，联立求 $R$ 的最小值。原书答案：D。

原书第136-137页：圆轨道最高点压力限制

光滑圆轨道半径 $R$，物块从高度 $h$ 静止释放，要求能过最高点且最高点压力不超过 $5mg$。

恰能过最高点：

$$mg=\frac{m{v}_{\text{高}}^2}{R}$$ $$mgh=mg(2R)+\frac{1}{2}m{v}_{\text{高}}^2$$

得：

$$h_{\min }=\frac{5}{2}R$$

最高点压力为 $5mg$：

$$5mg+mg=\frac{m{v}_{\text{高}}^2}{R}$$

得 $v_{\text{高}}^2=6gR$，再由动能定理：

$$h_{\max }=5R$$

所以：

$$\frac{5}{2}R\le h\le 5R$$

光滑大圆环最低点题，从最高点静止滑到最低点，速度满足 $v^2=4gR$，最低点支持力 $N=5mg$，大环对轻杆的拉力为 $Mg+5mg$，原书答案：C。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 如何考察曲线运动的成因

原书第105页

第四章 、如何考察曲线运动的成因 （二）曲线运动成因 曲线运动 直线运动成因：速度方向、受力方向在同一条直线上 曲线运动成因：速度方向、受力方向不在一条直线上。 （二）判断曲线运动轨迹 口诀： ‘噠度合力夹轨迹，凹侧方向指向力” 。 如图所示，便于区分“凹侧”与“凸侧” 轨迹夹在速度方向与合力方向之间，并且合力指向轨迹的凹侧。 （三）粗略画出曲线运动轨迹 某曲线运动轨迹如图所示， 则点处速度必沿曲线切线方向，合力指向轨迹凹侧，但无法确定具体方向，故仅可粗略画出曲线 运动轨迹。 若需要精准分析运动轨迹，则在考试中会以电场为基础模型，结合电场线方向进行考察。 （四）从运动的合成与分解的角度理解轨迹的凹侧 一物体初速度与合力方向如图所示 将合力分解为、 ，物体在水平方向和竖直方向均作匀加速运动，即物体在向右运动过程中，向 上有一个运动的趋势。此时物体的运动轨迹夹在速度和合力之间，合力处在轨迹的凹侧。

原书第106页

例 1。如图所示，物体在恒力 F 作用下沿曲线从运动到，这时突然使它所受的力反向而大小不变 〈即由 F 变为一，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ） A.物体可能沿曲线运动 B.物体可能沿直线运动 C.物体可能沿曲线蜘运动 D.物体可能沿原曲线由 B 返回 〖解析〗 根据“速度合力夹轨迹，凹侧方向偏向力” ，作出粗略的受力方向示意图， 即恒力方向在轨迹的下方。到达 B 点后，力的大小不变方向相反，作出粗略的速度与受力方向示 意图， 故 C 正确； 设一力方向与 b 轨迹平行，如图所示 当物体运动到 B 点时，速度方向与受力方向共线》则物体做直线运动，将 A 点初速度分解为水平方 向与竖直方向，由于物体始终存在竖直速度，故不可能做直线运动，则 B 错误。 〖答案〗 C

原书第107页

例 2· （20H 新课标）一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的 动能可能 3 叻 A.一直增大 B.先逐渐减小至零，再逐渐增大 c.先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小 D.先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大 巪]郴· ：亠，觚 例 3· （2010 新课标）静电除尘器是目前普遍采用的一种高效除尘器·某除尘器模型的收尘板是很长的 条形金属板，图中直线劢为该收尘板的横截面·工作时收尘板带正电，其左侧的电场线分布如图所示礻粉 尘带负电，在电场力作用下向收尘板运动，最后落在收尘板上·若用粗黑曲线表示原来静止于 p 点的带电 粉尘颗粒的运动轨迹，下列 4 幅图中可能正确的是（忽略重力和空气阻力） （ A ） 7 最新网讠 曲 b 例 4。一物体由静止开始下落一小段时间后突然受一恒定水平风力的影响，一段时间后风突然停止， 地面观察者看到物体的运动轨迹可能是下图中的哪一个？ 〈 ） C. 就急噲：是创孬。一 § 伟一忉向一逇巛》 散狲 0 一夙铷曷 讷壶就饷孬：

02. 如何解决运动的分解

原书第108页

飞如何解决运动的分解 、绳杆类分解方法 模型：如图通过定滑轮使得小船靠岸时，绳端水平速度为轻绳与水平夹角为。 ，求小船的运动速 度。 常见错误方法：将速度分解为水平和竖直方向，其中作为小船的运动速度。 错因分析;竖直速度”会使小船向上运动》明显不符合实际。 因此，在这种物体与轻绳、轻杆连接的模型中: 物体的速度应分解为沿绳〈杆）和垂直于绳（杆）的两个分量。 ，发无水 “ 。量具有各自效果： 沿绳（杆）速度分量:使轻绳长度发生改变，可记为 v,庐 垂直于绳（杆）速度分量应使绳子摆动可记为。 因此在该模型中，小船的速度 COSC 以运动效果爾度验证分析，当小船由状态运动到 B 状态时使得轻绳发生摆动，使得绳长发生 变化 1 佣

原书第109页

、总结 对于绳、杆类速度分解的特点老 1、速度分解为沿绳和垂直于绳两个分量 2、沿绳的速度必相等 〖老王提醒〗要区分力的分解和速度分解》 例如在小船模型扎轻绳的拉力可以分解为水平和直方向，其中 由于速度改变的方向往往是物体加速的方向》即物体的合外力方向。 因此在找合运动或运动分解时首先确定合外力的方向，而合外力的方向往往就是合运动的方向。 例 1. B 两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体以的速度向右匀速运 动，当绳被拉成与水平面夹角分别是、时，如图所示。物体 B 的运动速度吻为（绳始终有拉力） （ 〉 VlSl.na A. S1na C. cosß COSC B. sin COSC 《解析〗如图将和 B 的速度分解为沿轻绳和垂直于轻绳方向， 因为轻绳长度不发生变化，故沿着轻绳方向速度相等， 加微信 获取最新网讠 V COSC 所以：0，解得：亠一一，故 D 正确 cosß 例 2·如图所示，物体和 B 质量均为且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮， B 放在水平面 上，关与悬绳竖直，用力 F 拉 B 沿水平面向左匀速运动过程中，绳对的拉力（ ） A.大于 B..总等于 0 一定小于 D.以上三项都不正确 〖解析〗设 B 的速度为，轻绳与水平夹角为 0，如图将其速度分解为沿绳和垂直于绳方向，为 沿绳速度，则 = ，其中不变，角度减小， cosa 增大。所以物体的速度一直增大，即做 加速运动，加速度方向向上，所以轻绳对拉力大于，故 A 正确。

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正确。也可如图借助添加滑轮来理解。 船 、一般的运动分解方法 例 3·如图，人沿平宣的河岸以速度行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进》此过程 中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为。 ，船的速率为（ ） 。岸 A. vsina C. COSC B. Sln D. COSC 〖解析〗根据： “合外力的方向往往就是合运动的方向” ，由题意得合外力方向就是人行走速度方向》 所以速度就是合速度，如图将其分解为沿绳和垂直于绳的两个分量，则船的速率为” “故 D 俯视图 船 丿 接下来，我们举例讲解一下非绳杆类的题型，给同学们提供一些思维拓展。 例 4·如图所示，一恒力 F 通过一定滑轮拉物体沿光滑水平面前进了，在运动过程中， F 与水平方 向保持孕角，则拉力 F 对物体做的功为〈 ） A.屙 cos 孕 c.屙（1 + 刃 B ·2Fscos9· D.2R s 2 〖解析〗方法一：物芨恭芻蠡曼力分析得拉力的合力为’ ’ 。一， 艹又最新网 1 9 物体 7 向位移为合力与位移的夹角为一 2 则由做功公式得：2F “一巧· “乛故选项 D 正确， 结合二倍角公式-一 2 2 一一 1，可得出选项 C 正确。 二从运动的合成与分解角度理解， 3 9 2Fcos— 2 物体水平位移为将其分解为沿绳方向垂直于绳方向的两个分量，则沿绳方向位移为 s 诏， 故 0 段绳拉力做功为“釓 b 段绳拉力做功为猕， 则拉力 F 对物体做的功为（1 + “刃， 结合二倍角公式 c 。诏一 2c 佣 2 一一 1，可得出选项 D 正确 故 CD 正确。 微信搜索

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例 5·如图两互不垂直的轻杆在同一平面内运动，速度分别为速度方向垂直于杆。当两杆相 交时，记交点为 M 》夹角为试求交点的运动速度。 为了便于理解，此处不使用运动的合成与分解，采用小量分析法。即在很小的时间差内，求出交 点的位移，则可以得出交点的速度。 设在内，两杆位移分别为酉和，交点 M 运动到 M 《位置，如图所示，利用几何关系，则 S1n CM= sma 通过余弦定理口 2 =b2+c2-2bcosA,得 × COS sma sma smc 所以交点的运动速度为 2 sma 获取最新 1

• V 一 2 V cosa 化简得： sma

03. 解决运动的合成问题

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、解决运动的合成问题 、运动合成的方法论 1、根据伽利略的二维平面相对运动转换问题，得 相对速度 + 牵连速度对速度 2、可将上面的表达式具象为两物体。和 b 在同一平面内运动，则两物体的运动关系可以表示为： 相对 b 速度 + b 相对地面速度一。相对地面速度 该方法可形象的记忆为 在此表达式中，均为矢量相加，其对象可以是速度，也可是加速度，即‰ + = 。 。 3、例如一小车速度水平前进，雨滴以速度竖直落下，则雨滴相对车的速度是多少？ 根据运动合成的表达式可列出对车 + 渺地一 一衫爾对地， 雨对车 1 获取不 例 1．宽的成形玻璃以 2 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速度为 10 耐 s ， 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则: 〈 I)金刚割刀的轨道应如何控制？ 〈2）切割一次的时间多长？ 〖解析〗速度合成如图所示，记玻璃的速度为地金刚刀的速度为地，记”刀地与”的夹角为， 根据运动合成可列出表达式：了一“ 刀琅地 = 刀地， 割下的玻璃板都是矩形，所以玻的方向应垂直于玻璃， 他犭认明动 L 結 刀玻 切割一次需要的时间为 ` ：

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例 2· 〈2014 江苏）如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为。 小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为。乙的宽度足够大， 重力加速度为 go （1)若乙的速度为求工件在乙上侧向（垂直于乙的运动方向）滑过的距离 s ； （2）若乙的速度为加 0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小 〈3）保持乙的速度 2 鞫不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此反复。若 每个工件的质量均为除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗均不计，求驱动乙的电动机的平均输 出功率》 。 由勒鷗辰噁向廊孬相时驴 № 断 0 萝一 分巪 0 冫勹“ 9 传送带乙囗 传送带甲 0 萨 ax•t

04. 解决小船过河三小问题

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四、解决小船过河三小问题 小船渡河总结为“求三类问题的最小值” ，分别如下: 、求最小过河时间 记河岸宽为六船速方向与垂直于岸边的方向的夹角为，那么渡河时间为 其中“ - 。为实际有效的渡河速度。 船对水 COSC ．船对水 ．时地 如图，当为 0。时（即速度方向与河岸垂直时),时间最小为 、求最小过河距离 船对水 加微信： 岫禹加：0 上 鈔船对尥 水地 0）当 y 船对水孓” “地时，以 y 船为半径，如图作圆》 当”酬地所在作用线与圆相切时，过河距离最小，记贶和渺“地的夹角为 水对地 此时最小过河距离为 Sin 船对水 微信搜索

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、求最小渡河速度 己知的方向和对地的大小和方向，当小船从 A 点出发到达河对岸的 B 点时，求最小的渡河速 度。 记对地和”地的夹角为，由几何关系可知当与“相互垂直时， “船取得最小为 sma 0 一水对地 刁水地 〖老王强调〗题目中的通常提到小船的速度，就是指相对水流的速度，这里并不特指是相对于静水还是动水。 例 le 有一条两岸平直，河水均匀流动、流速恒为 v 的大河》小明驾着小船渡河，去程时船头朝向始 终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为船在静水中的速度大小相 同，则小船在静水中的速度大小 A. 2 〖解析〗 B. 2 Ce 2 D. 2 河岸垂直，为最小过河时间问题，过河时间为 71： 对水 回程时行驶路线与河岸垂直，为最小过河距离问题，过河时间为： v 水对地 ，故 B 正确。 2 其中贶：衫，又有生：解得对水 〖答案〗 B

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例 2·如图所示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河，分别是甲乙两船的出发点，两船头 与河岸均成 a 角，甲船船头恰好对准点的正对岸 P 点，经过冖段时间乙船恰好到达 p 点，如果划船速 度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是〈 ） A.甲船也能到达正对岸 B.甲船渡河时间一定短 c.两船相遇在胛直线上的某点（非尹点） D.渡河过程中两船不会相遇 〖解析〗 A.通过乙船的运动不难看出，水流速度向右，而甲的船头刚好对准点，故合速度必然向右偏》所 以甲不可能到达正对岸，故 A 错误； B.甲乙的速度方向与河岸夹角相等，即过河有效速度（垂直分速度）相等》所以过河时间应当相等， 故 B 错误； c.方法一恶利用运动的分解，将甲乙速度分解为平行于河岸与垂直于河岸，垂直于河岸方向两者相 对静止，平行于河岸方向两者相向行驶，所以两船必会在中途相遇； 方法二：通过运动的合成，将甲乙的速度进行合成可以得出乙 河岸，如图 所示，故乙相对甲水平向左运动，而二者初 获取最新网谋及无水 误。 甲“ ： ：乙 〖答案〗 c 微信搜索公众号 两者必定相遇，故 C 正确， D 错 《 ，乙甲

05. 掌握平抛运动基础公式

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五、掌握平抛运动基础公式 、平抛模型描述 定义：物体以速度水平抛出，在仅受重力作用下的运动行为叫做平抛运动。 2·运动分解：水平方向的匀速运动，竖直方向的自由落体运动。 (1)分解速度可得： 水平速度： ％ 竖直速度 =gt 合速度： （叼 2 + (gt)2 ，其中为速度与水平方向夹角，称为速度偏转角。 C2Y 分解位移可 水平位移： 竖直位移丿：一 g 产 合位移：寻 2％ 3。独立方程与轨迹方程: = vot 平抛运动独立方程岑： 1 2 在平抛运动中，速度三角形与位移 三角形所有的方程均可由独立方程推导出，因此独立方程是关键。

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例 I.一水平放置的水管，距地面高 = 1.8 管内横截面积 S = 2·0“2。有水从管口处以不变的速度 v = 2·0 冠 s 源源不断地沿水平方向射出》设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散 开。取重力加速度 g= 1/ s2,不计空气阻力。求水流稳定后在空中有多少立方米的水。 《解析〗 本题属于流体问题，运用建模思想，取极薄圆柱水体作为研宄对象。 设水体在空中做平抛运动经历时间为 由运动学公式： ：一 2 代入数据得： ’ = 0· 空中水流在水平方向上总长度 L = 叨，空中水流总体积／ = 。 代入数据得： ／ ：2 × 0，6 × 2x10：2，4 × 10“ 例 2。 〈20 巧新课标 1)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为和， 中间球网高度为朊发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球， 发射点距台面高度为 3 不计空气的作用，重力加速度大小为争若乒乓球的发射速率在某范围内，通 过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则的最大取值范围是〈冫〉 A. 2 6 6 么嘉亠 C. 2 6 蠡燧劊鈿匐備褐图 B ， D. 微信搜索公众号 1（叫 + g 6 2

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例 3。 （2021 山东）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面的高处，现将质量为的物 资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为已知投出物资后热气球的总质量为 M ，所受浮力不变，重力加速度为 g ，不计阻力，以下判断正确的是（ ） A.投出物资后热气球做匀加速直线运动 B.投出物资后热气球所受合力大小为羽 g 2 刁堵

• H2 2 M 2H 堵 g 9 可协 0 忉 D 一，鄖，诽生与齒俄：犭等 相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔 0·05s 发出闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示·图中 的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了 3 个影像，所标出的两个线段的长度和 S2 之比为 3：7。重力加速度大小取 g ：10 s2，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 5 1

06. 怎样通过平抛技巧方法——轨迹方程解题

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六、怎样通过平抛技巧方法一轨迹方程解题 书接上讲，轨迹方程常运用在平抛轨迹交点问题中，即利用平抛轨迹方程求物体与其他物体的交点 及其他物理量．例如:物体平抛落到斜面上求落点，此时即可在坐标系中表达出轨迹方程，转化数学中函 数求交点的问题。 例 1·如图，一个同学做平抛运动验，只在纸上记下重锤丿的方向，忘记在纸上记下斜槽末端位置， 并描绘出曲线，现在我们在曲线取 B 两点，用刻度尺分别量出它们到丿的距离， BB’=x2，以 及的竖直距离‰则小球抛出时的初速度％ = 《解析〗以重锤的抛出点为原点建立直角坐标系，才·馭 设的坐标为（而，丿 D ，则 B 的坐标为， + ， 一一，将与 B 的坐标代入联立方程组 利用平抛运动的轨迹方程，一 2 解得％ ： 萨滋’ 、点正上方高度为“的 例 2·如图所示，从高为 H 的地方 地方点，一、两物体在空中的轨道在同一面内，一 巢解析〗以 B 为坐标原点建立如图的直角坐标系， ， 《0 旬 20 我 即可利用平抛运动的轨迹方程丿：一 2 2s S 2 嗒 分别列出点和点的轨迹方程： 得 2 2 同时将两物体的落点坐标代入方程组 2 解得：8， 丿一 H 一 所以：2H 一丿： 8 7 2 ：2H 一 2 B ：2 = 2

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例 3· 〈2011 海南）如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。劢为沿水平方向的直径。若在 口点以初速度％沿方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点。己知 c 点与水平地面的距离为圆半径 a 的一半，求圆的半径。 x=Vot 一驴代櫷一 = 9 例 4· （2 0 新课标 2）如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方 向的水平宽度为 3‰其左边缘点比右边缘 b 点高 0。若摩托车经过。点时的动能为 EI ，它会落到坑 内 c 点。 c 与。的水平距离和高度差均为若经过“点时的动能为 E2，该摩托车恰能越过坑到达 b 点。 E2 一等于（ ） A.20 C.9·0 縵为泌骢 B.18 D.3，0 可：为 E 无 取最新叫及 例 5． 〈2021 全国乙）四个带电粒子的电荷量和质量分别（ + ‰ 、 们先后以相同的速度从坐标原点沿 x 轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与丿轴平行，不计重九下列 描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是 0） ：甜宀驴兰 微信搜索公众号

07. 怎样通过平抛技巧方法——角度方程解题

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七、怎样通过平抛技巧方法一角度方程解题 前文讲过，在平抛运动中，速偏角为位偏角为 两角之间关系为 = 2 № 。 ，通常看到速度方向或 偏转角度的技巧。 tan9= t = 方向这两个关键词的时候，就可能需要用 例 1·在空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度的大小分别为、 “2，初速度方向 相反，经过多长时间两小球速度之间的夹角为 90。 ，位移之间的夹角为 90。 。 丿 〖解析〗 根据题目中的关键词速度夹角和位移夹角，此题即可利用偏转 记任意时刻两小球的速度分别为’和，位偏角分别为刍和。 获取最新网谋及无水 十 = 90。 gt 当速度夹角为 90。时，可列出方程组巪一 ，解得’ = t 皿：

• 02 同理，当位移夹角为 90。时，可以列出方程组恤嘶 = tana2 = 90。 gt ，解得 = 2V1

原书第123页

例 2。如图所示，在倾角的斜面底角的上方平抛一物体，该物体飞行一段时间后，垂直的撞在斜面 〈1)运行时间 （2）重力的平均功率 《解析〗 因为物体垂直撞在斜面上，故题目中就隐含了碰撞时物体的速偏角 = 兕。一 根据伊： n （90。一刃： 解得’ = gtan9 mg•—gt 重力的平均功率》 ：皿： 90。一 9 2 n 例 3·一水平抛出的小球落到一倾角为 9 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚 线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为〈 ） 1 A. tan9 1 B. 2tane D.2t 根据偏角表达式伊： - （90。一刃： 忪 n 又竖直方向下落距离与水平距离之比就是位偏角的正切值，且速偏角正切值为位偏角正切值的两倍， 1 ，故 B 正确。 所以位偏角的正切值为 2 tan 9 《答案〗 B

08. 平抛中的动能定理“分解”问题

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八、平抛中的动能定理“分解”问题 众所周知，动能是标量，无法像矢量那样进行分解。但是在二维平面运动中，我们可以得出一个仅在 数学意义成立的“分动能定理方程方程” 。 比如平抛运动初速度为％ ，某一时刻速度为由动能定理得！ “2 一一“ 。 = 罗，其中丿为竖直 1 2 方向的位移。 通过上式化简得：铲一：2 罗，其中俨： + 即 + 俨一诺：2， 化简得：刂：2 罗 〖老王强调〗也就是说平抛中的动能定理方程，其实就是竖直方向的位移方程。 这与“竪直方向动能定理， ：一罗 2”是同一个式子。 即我们可以仅对竖直方向列动能： “竖直方向合力做功“竖直方向动能变化” 。 再次强调，这仅仅在数学意义上成立，而物理中并不存在“竖直动能”这个概念。 除了平抛运动，一般二维运动也可以使用“分方 无水讲义丿 “以斷对于计算题不适用。 例 1·电场方向水平向右，一带电量一 0 质量为的小球以速度％向右抛出，在电场外的下方有一 竖直圆筒，小球刚好可以无碰撞地到达圆筒底部，小球的初始位置与圆筒的水平距离为，离地高为， 则粒子到达圆筒底部动能为多少？ 〖解析〗 由于小球刚好无碰撞地到达圆筒底部，所以小球在离开电场时水平速度为零， 即水平方向的电场力做功抵消了“小球水平方向的动能” 。 竖直方向上》粒子只有重力做功，且最后到达圆筒底部没有“水平动能 故全过程的重力做功就是粒子末动能， 微信搜索

原书第125页

例 2。有两个完全相同的小滑块和 B ，沿光滑水平面以速度与静止在平面边缘 0 点的 B 发生 正碰，碰撞中无机械能损失。碰后运动的轨迹为 OD 曲线，如图所示。 为了研宄物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与平抛轨道完全相同的光滑 轨道，并将该轨道固定在与 OD 曲线重合的位置，让」沿该轨道无初速下滑（经分析，下滑过程中不会 脱离轨道） 。 〈1)分析沿轨道下滑到任意一点的速度与 B 平抛经过该点的速度的大小关系； 〈2）在 0 曲线上有一 M 点，0 和 M 两点连线与竖直方向的夹角为 45。 。求通过 M 点时的水平 分速度和竖直分速度。 《解析〗 〈1)口：由于两滑块的运动轨迹相同，可通过动能定理比较速度大小， 设某点到最高点的竖直距离为阢平抛初速度为％ ， ，比较发现 > ； 1 B:mgh=—mv: 2 （2）因为的运动与平抛轨迹相同，故速偏角与位 犭尺 5 5 对 B 列动能定理得：一忉，故： ， 由角度关系： ：2％ ，得 4 5 微信搜索公众号

09. 如何理解并找出斜面平抛问题的解题规律

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九、如何理解并找出斜面平抛问题的解题规律 本讲中我们深度研宄斜面上的平抛的七个问题 如图所示，倾角为 9 的斜面顶端，水平抛出一钢球》落到斜面上，已知抛出的初速度为％ ，求禀 （ l)运行的时间？ 〈2）重力的平均功率？ 〈3）证明速度方向与斜面的夹角为一定值 （4） ．何时离斜面最远？ @离斜面的最远距离？ O 从最高点往斜面做投影，则投影线段的长度之比 1 一（填写“大于”或“小于” ） 3 @若下落时速度仅保留沿斜面方向的分量，求该分量的大小 斜面平抛的七个模型 〖解析〗 （ I)不难看出，小球的位偏角与斜面夹角相同，为 2％忪 n 故由位移偏转角求出时间： tan9= 茗 2％ （2）本问需要分清重力的平均了率 获取最新网谋及 g 一巫 2 2 PG = = ， = mg ． = mg t 〖老王提醒〗在匀变速运动中，由于 v = 2 2 2 平抛运动中，由于竖直方向初逮度为零，故重力的平均功率为重力瞬时功率的一半。 〈3）如图，设速度偏转角为速度方向和斜面夹角为，由几何关系 ，由于是定 伊 = 2 值，故速偏角伊也是定值，所以夹角也为定值，即不论抛在斜面哪个位置，其夹角都为定值。 微信搜索

原书第127页

从图中看出，小球离斜面最远时，其速度的方向平行于斜面， ％ n ，其为总运动时间的一半 故恤 = gcosg 沿斜面和垂直斜面方向建系，并分解初速度和重力加速度，如图： 沿斜面：初速度不为 0 的匀加速直线运动， ％ s ％ t 皿 垂斜面：类竖直上抛运动，最高点的时间 = gcos9 一忝加微信 竖直方向运动学公式:伊 = 2“ ：得 s = H = 小球在沿斜面方向做初速度不为 0 的匀加速直线运动， 在第一章我们学过初速度为零的匀加速，在相等时间的位移之比为 1：3：5：7， “ 5 3 1 0 2 3

原书第128页

如果初速度不为零，如图 3 1 0 2 3 1 + 1 不难看出图像下方相邻梯形面积之比: 3 + ％3 1 故 1 > 近 > 一 2 2％加 n O 由上问，在沿斜面方向上做匀加速直线运动，总时间’ = 代入数据得： = ％ “ + 2％ -血 例 1·可视为质点的两物体 B 由斜面上 0 点水平抛出，分别落在斜面上的 M 、两点，已知 M 点 为 0 中点，不计空气阻力，则（ ） A.么 B 的初速度之比为 1：2 B.厶做平抛运动的时间之比为 1：2 C. B 做平抛运动的竖直位移之比为 1：2 D,召落在斜面上时速度与斜面的夹角之比为 一，有，之比为 1：2，故时间之比是 1： ， 所以 B 错误； c 正确。 ，有％ ，之比即为运动时间之比》故为 1： ，故 A 错； 根据饶 = D 、斜面平抛，落点在斜面上的速度方向与斜面夹角是一定的，故 D 错 〖答案〗 C

10. 最大射程问题

原书第129页

十、最大射程问题 平抛运动中会考察最大射程类的问题，由于平抛公式中会涉及二次函数》所以该类问题会归并为数 学中的二次函数求极值类的问题。 司：音少 s 矿 · ：啕醪懑 例（2017 新课标 2）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物 块以速度从轨道下端滑入轨道》并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有 关，此距离最大时。对应的轨道半径为〈重力加速度大小为 g) 〈 2 A. 16g 2 B. 2 C. 〖解析〗设物块落地点到轨道下端的射程为芤，轨道半径为 当物块由半圆形光滑轨道运动至最高点，由动能定 D. 1 ，解得： 4 伊 r 一 16r2 x= Vlt 做平抛运动。由运动学公式 1 2 疒： —gt2 2 g 一一时，有最大值。故选 B 。 由二次函数知识，当 r = 2 幻 6 8g 例 2·在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为 H 的平台上点由静止出发，沿着动摩擦因数 为滑#的道向下运动到 B 点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为 L ， B 点的高度可由运 动员自由调节〈取 10 s2） 。求运动员要达到最大水平运动距离， B 点的高度方应调为多大？对应的 最大水平距离为多少？ L · Lm 、0 此时头“ ：十

11. 平抛运动实验数据分析

原书第130页

十一、平抛运动实验数据分析 本讲我们学习如何针对处理平抛运动的实验数据问题，模型如下 例 1.图为一小球做平抛运动的频闪照片的一部分，背景方格边长为 5- ， g 取 10 s2·则： × 0·01 = / 〈 D 闪光时间间隔 = （2）平抛初速度 （3） B 点速度大小 加微信 以到 00 的 获取最新叫谋及无 ` 0 的 000 到 0 到 0 还到 00 到 0 到到 0 苤 0 0 到到到到过的到到 到的 000 到到 0 到 0 苤 到 0 到的 0 的河 0 到 00 到的 0 到的骘 0 生 0 到到 0 到到 0 的到到到的到 0 到嘞到到到 0 到苤到 0 的 到 0 到的到 0 到的到 0 到到 0 的到的 0 到 0 到 0 000 过到到到 00 的 的到 0 的到 0 到到 0 到 0 0 到到的过 000 的@的 到到的 00000 到到到 〖解析〗图得戈“ = 0“20c ，故％ ： ： ， = 25c ； O 由遂差法得卸：为一： g 2，得 = = 0· 为 = 35c 《 OVB 2 20 × 0·01 = 2 0 彐 25 + 35 2 × O.I 1 羽 微信搜索

12. 平抛运动相遇问题

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十二、平抛运动相遇问题 与直线运动中的追及相遇类似，平抛运动中也有关于“相遇”类的考点，与一维运动满足的公式 一乙 = 不同的是》平抛运动的相遇要保证“二维相遇” 。甲 即水平与竖直方向均在相同时间的处在同一地点。 ；其中，不相等，分囀。 例 1·甲乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高九如图所示，将甲乙两球分别以当、的 速度沿水平放下抛出，不计空气阻力，下列条件有可能使乙球击中甲球的是〈 ） 甲： A.同时抛出，且 < 罗 2 C.甲比乙早抛出，且当 > B.甲比乙后抛出，且 > “2 D.甲比乙早抛出，且 < 乙： 〖解析〗由图可知：甲乙释放高度不同，故必然不能同时释放， 分析竖直:因为丿甲 > 丿乙，由丿：一 g 产，故 > 吃， 甲比乙早抛出 分析水平：因为呵乙，由 = ，故 < 丐； D 正确。 例 2·如右图，在同一竖直面内，小球 a 、 b 从高度不同的两点，分别以初速度 v 。和沿水平方向抛 出，经过时间《 。和后落到与两抛出点水平距离相等的 p 点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是（ ） 5 资添加微信· 〖解析〗 ‘酵聶耐， ：涩 《 v < ·故选 A 。 ： · · · = ，由运动学公式; = ；且 > 分析 例 3。如图所示·一足够长的固定斜面与水平面的夹角为 37。 ，物体以初速度从斜面顶端水平抛 出，物体 B 在斜面上距顶端 L= 巧 m 处同时以速度沿斜面向下匀速运动，经历时间 t 物体关和物体 B 在斜面上相遇，则下列各组速度和时间中满足条件的是〈 s 70 = 0·6， c0s370 = 0·8， g = 10 黿 s2） （ C ） A.训 = 16m / s ，鞔 = 巧 1 s ， = 3s B. = 161 s ， = 161 s ， t=2s C. = 20 篁 s ， “2 = 20m / s ， t=3s D. = 20m / s 》 V2 = 16m ／ s ，纟 = 2s 尥一 （馬还 = 氵@

13. 用公式解决二维平面直线运动

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十三、用公式解决二维平面直线运动 在第一章直线运动中》我们讲解了直线运动的独立方程组，本讲我们主要针对“独立方程组”方法论第 O 条进行讲解。 ．见一段写一组 @见一物写一组 O 见一方向写一组 @追及相遇写一 = O 恰好追上写 = 其中“见一个方向写一组即：在一般曲线运动中，通常会将运动正交分解（加速度和初速度） ， 根据运动的独立性以及等时性，针对每一个方向的运动行为列独立方程（速度和位移） 。此类问题较常出 现在重电叠加场中。 = 中姒 5 方甸 例 1。质量为、带电量为的小球从距地面高度为处以一定的初速度水平 3 距抛出点水 平距离为 L 处，有一根管口比小球直径略大的竖直细舉《0 勇小球能无撞的通 彡讲义贫 过管子，嘩《有到涇， 。 ， ， 。 “ ’ “ ‘求： 〈 D 球的初速度’ 。 （2）电场强度 E 的大小 （3）小球落地时的动能 〖解析〗本题中的小球在电场和重力场的合场中进行运动，小球在竖直方向只受重力， 故在竖直方向做自由落体运动，而在水平方向受到向左的电场力，同时还有向右的初速度： 因此，水平方向做匀减速度运动 所以，针对水平和竖直两个方向，分别列出速度以及位移的独立方程得： 儿一咿一 可以将前两问直接求解得: 2 泐 （3）小球落地时，由动能定理得 m 咝醌：一一％2，解得： = 刁 微亻亠

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例 2· 〈2017 新课标 2）如图 147，两水平面（虚线）之间的距离为其间的区域存在方向水平向 右的匀强电场。自该区域上方的点将质量为忉、电荷量分别为纟和(q>0)的带电小球 M 、先后以 相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下浸入电场区域，并从该区域的下边界离开。已 知离开电场时的速度方向竖直向下雾 M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为刚离开电场时 的动能的巧倍。不计空气阻力，重力加速度大小为 go 求 （1） M 与在电场中沿水平方向的位移之比； （2）点距电场上边界的高度《 （3）该电场的电场强度大小。 〖解析〗 左 H 右 〈图 147） 过程一:两个小球以相同的方式，相同的运动行为做平抛进入电场，因此需要列出平抛的独立方程: 水平 2 2 二:两球进入电场，根据题意， M 在电场中，水平方向做加速运动》竖直方向继续维持自由落 体运动；在电场中水平方向做减速，竖直方向同样维持自由落体运动。 针对这两个方向，我们分别列出直线运动的独立方程组： = 叭， + gt 2 H=v,t+—gt N:方向 1 =vot 一一 2 丿方向：与 M 相同 最后需要列出题目中所给出的相关条件对应的关联方程 条件一: M 离开时的动能是 N 的动能的巧倍： 1 2 条件二 3 M 刚进入电场时做直线运动，说明合外力的方向和合速度的方向一致： mg 最终联立方程求解: （ l)3：1 3

14. 竖直平面圆周运动

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十四、竖直平面圆周运动 本讲中我们学习竖直圆类考点的模型及结论，其常在考试中频繁考察。 1、考点认知 竖直平面的圆周运动为变速曲线运动，分析这类问题，我们常用动能定理。 2 tV 从涉及公式不难看出: ：一 v2 2 考题中常会将向心力与动能相结合考察。 2、常见的竖直圆器材; ．绳槽筒类一一在最高点不受支持力 绳 过最高点的速度条件： mg= 当 衫高 < ， ：不过最高点 @杆管环类一一在最高点受支持力 杆 过最高点速度条佑 = 0 当”高一， ：0 2 高 > 对 + ： 槽 筒 管 1

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一一在最高点不受向下的压力 O 圆拱类 过最高点速度条件： y 高：0 0 < 渺高 < ， g 一 = 当衫高： ， ：0

、 ，飞离拱面 拱 3、该类问题可总结口诀如下: “求力就用向心力，向心力就用动能定理” 4、向心力与做功的关系 ．如图，当小球从最高点经半个圆周运动至最低点时（只有重力做功） ： 新网无水讠 由动能得 g2：一 2 化简得:4 忉 g = 即： AF 一 F —F ：4 讵 g 向一向低向高 结论:上下两底向心力相差 4，适用于绳管类模型。 @如图，当小球从最高点经半个圆周运动至最低点时（除重力外还有其他力做功头 由动能定理得： g2 + 其 2 其 v2 化简得念 4 g + R R 即：其一（厶一 4 冽 g ） ·一 2 1 2 2 —mv 2 2 1y0 结论;若有其他力做功，力差乘以半半径。

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5、整理表格如下 绳 杆 4 g 力差 × 半半径 例 1。 〈2022 全国甲）北京 2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从口处由静 止自由滑下，到 b 处起跳， c 点为。 、 b 之间的最低点，纵 c 两处的高度差为朊要求运动员经过 c 点时对 滑雪板的压力不大于自身所受重力的炝倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则 c 点处这一 段圆弧雪道的半径不应小于（ ） A. 炝十 1 2 C. B. D. ”苏砉最小为灭 〖解析〗设运动员质量为，经过 c 点时速度为。 ，受到滑雪 有力就用向心力：麵滞讲嫔料添’ 。 新网讠 向心羲能定理：雇一“2 2 联立得: (k—l)mg= 2 故压力最大时，化简得最小半径为 R = 。故选 D 正确。 《答案〗 D 例 2·如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成， 圆形轨道的半径为 R.一质量为的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要 求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过 5mg (g 为重力加速度） 。求物块 初始位置相对于圆形轨道底部的高度的取值范围。 〖解析〗 〖情形一〗恰能过最高点时 设物块高度为么，最高点的速度为 2 有力就用向心力：: = 向心力就用动能定理：一 2） = 化简得：一 2 灭） ： 2 一一 0

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解得:么：一灭 《情形二〗在最高点压力为 5 g 设物块高度为，最高点的速度为。 2 2 有力就用向心力：5 + ： 一 0 向心力就用动能定理： -2R) ： 化简得: -2R) ：3 g 灭 解得： ：5 灭 综上所述:一灭孓乃孓 5R 例 3· 〈2014 新课标 ll ）如图所示，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内;套在 大圆环上的质量为的小环（可视为质点） ，从大圆环的最高处由静止滑下，重力加速度为 go 当小圆环 滑到大圆环的最低点时，大圆环对轻杆拉力的大小为〈 C ） A. Mg-5mg C. h’fl 5 忉 B. Mg+mg D. MI 10 以 一： S 懸一讣向；馥 刃瞒和 435 一和理：忐 半圆形轨道竖直固定放置，直径 例 4· （20 巧新课标 l)如图，一半 低点时， 、道的压力为 4 以，为重力加速度的大小。用表示质点从尹点运动到点的过程中克 服摩擦力所做的功。则〈 C ） A.一忉 gR ，质点恰好可以到达 0 点 B.一忉 g 质点不能到达 0 点 C.一 gR ，质点到达 0 点后，继续上升一段距离 D.豚一 gR ，质点到达 0 点后，继续上升一段距离 由曲加@綳：冫· ． ．氕一忄一叫懟笊，