复合场模型

一、识别题眼

同一区域同时存在电场、磁场、重力场，或不同区域依次出现加速电场、偏转电场、速度选择器、匀强磁场，通常就是复合场模型。

第一动作：把所有力列出来，再判断哪一个力做功。

高考里复合场题常有三层包装：

包装	题面信号	第一动作
同区复合	电场、磁场在同一空间内	画 $qE$、$qvB$、$mg$，判断能否平衡
分区复合	加速区、偏转区、磁场区、接收屏	一区一模型，边界处传递速度
筛选装置	“不偏转”“只允许某速度通过”	写力平衡 $qE=qvB$

复合场不是新公式，而是把 电场偏转模型、带电粒子在磁场中运动 和能量方程串起来。

二、核心图谱

三、三条总原则

1. 电场力能做功

电场力沿位移方向有分量时会改变动能：

$$W_E=qU=\Delta E_k$$

所以加速电场常用：

$$qU=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

2. 洛伦兹力不做功

洛伦兹力始终垂直速度：

$$F_L=qvB$$

它只改变速度方向，不改变速度大小。匀强磁场中的半径为：

$$r=\frac{mv}{qB}$$

周期为：

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

3. 边界处传递速度

分区题的“接力棒”是速度：

上一段出口速度大小 + 方向 = 下一段入口条件

不要把上一段的加速度带到下一段；进入新区域后重新受力、重新建模。

四、模型分类

类型	条件	运动特点	关键方程
速度选择器	粒子匀速直线通过	电场力与洛伦兹力平衡	$qE=qvB$，$v=E/B$
电偏转 + 磁偏转	分区运动	电场类平抛，磁场圆周	$a=qE/m$，$r=mv/qB$
加速电场 + 磁场	静止或低速加速后进磁场	电场改速率，磁场改方向	$qU=\frac{1}{2}m{v}^2$
重力 + 电场	悬浮、直线、类平抛	看 $qE$ 与 $mg$ 合力	$qE=mg$ 或 $\sum F=ma$
电场 + 磁场同区	直线或圆周变形	先判是否平衡	$qE$、$qvB$、$mg$ 同图分析

五、分区综合模板

复合场压轴题常长这样：

加速电场 -> 速度选择器 -> 偏转电场 -> 匀强磁场 -> 接收屏

每段只做一件事：

区域	运动特征	常用方程	出口要交代
加速电场	速度大小改变	$qU=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2$	$v$ 的大小
偏转电场	类平抛	$a=qE/m$，$y=\frac{1}{2}a{t}^2$	$v_x,v_y,\theta$
速度选择器	匀速直线	$qE=qvB$	被筛出的 $v=E/B$
匀强磁场	匀速圆周	$r=mv/qB$	圆心、圆心角、时间
接收屏	匀速直线	$y=D\tan \theta$	落点坐标

分区题的答案结构建议写成：

第一区：
出口速度：
第二区：
边界几何：
最终结论：

六、典型例题 1：速度选择器

题目：速度选择器中电场强度为 $E$，磁感应强度为 $B$，粒子不偏转通过，求粒子速度。

解析：不偏转说明合力为零，电场力和洛伦兹力等大反向：

$$qE=qvB$$

所以：

$$v=\frac{E}{B}$$

答案： $v=E/B$。这个结果与粒子质量、电荷量大小无关，但与粒子速度方向、电性方向有关；方向不对时不能通过。

七、典型例题 2：电场加速后进磁场

题目：质量为 $m$、电荷量为 $q$ 的粒子由静止经电压 $U$ 加速后，垂直进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场。求圆周半径。

解析：加速电场中：

$$qU=\frac{1}{2}m{v}^2$$

得：

$$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

进入磁场后：

$$r=\frac{mv}{qB}$$

代入：

$$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$$

答案：

$$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$$

这类题的关键是：电场负责改速率，磁场负责改方向。

八、典型例题 3：重力、电场、磁场同区

题目：带正电小球以速度 $v$ 水平向右进入垂直纸面的匀强磁场，同时空间中有竖直向上的匀强电场。若小球能做匀速直线运动，求电场强度与磁感应强度满足的关系。

解析：匀速直线说明合力为零。若磁场方向使洛伦兹力向上，则竖直方向：

$$qE+qvB=mg$$

若磁场方向相反，洛伦兹力向下，则：

$$qE=mg+qvB$$

答案： 必须先由左手定则确定洛伦兹力方向，再写竖直平衡方程。题目没有给磁场方向时，不能只写一个固定结论。

九、边界几何

复合场后半段常接磁场边界，作图必须回到磁场模型：

1. 入射点画速度方向。
2. 圆心在速度垂线上。
3. 出射点画速度方向，第二条垂线交出圆心。
4. 用弦长、圆心角、相切关系求半径。
5. 用 $r=mv/qB$ 或 $t=\theta T/2\pi$ 连接物理量。

十、常错判断

错误	为什么错	正确动作
洛伦兹力改变动能	洛伦兹力垂直速度，不做功	速度大小只在电场或非磁场力做功时改变
$v=E/B$ 写成 $B/E$	量纲也不对	从 $qE=qvB$ 推出
分区题一套方程用到底	每区受力不同	每进一区重新受力分析
电性不判断	负电荷电场力、洛伦兹力方向都可能反	先写“正/负电荷”再画力
只传速度大小，不传方向	磁场圆心取决于入口方向	边界处写 $v_x,v_y$ 或出射角

对应错题卡：磁场粒子与复合场错题归因。

十一、教师备课讲法

导入

先给学生看一个“电场加速后进磁场”的简图，问两个问题：

1. 哪一段速度大小变了？
2. 哪一段速度大小不变但方向变了？

学生一旦能回答这两个问题，复合场的主线就清楚了。

板书主线

电场：能做功 -> 改速度大小
磁场：不做功 -> 改速度方向
边界：传递速度大小和方向
几何：速度垂线找圆心

追问

1. 速度选择器筛选的是速度大小，还是电荷量？
2. 为什么同一个粒子经更大加速电压后，磁场半径更大？
3. 如果粒子带负电，电场力和洛伦兹力方向要怎样改？
4. 磁场中求时间为什么要先求圆心角？

十二、关联入口

• 教材：01-安培力与洛伦兹力
• 大招：08-电场、09-磁场
• 模型：电场偏转模型、带电粒子在磁场中运动
• 典型题：磁场粒子经典题型清单
• 真题索引：磁场粒子真题索引
• 教师备课：带电粒子在磁场中运动-试讲稿与教案