第8章 电场

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本章核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	库仑力相关的应用问题	226
2	电场线类定性比较的五问五法十五公式	228
3	带电粒子在电场线中的运动轨迹问题	233
4	带电粒子在等势面中的运动轨迹问题	237
5	带电粒子在点电荷电场中的运动轨迹	239
6	如何利用叠加原理求解多电荷体系	241
7	均匀带电体场强分布	247
8	如何利用沿着电场线方向电势降低得最快的方法解题	249
9	如何巧用电压与线段成正比解题	250
10	解读 φ-x、E-x 图像	254
11	如何用口诀对电容器进行动态分析	256
12	电场中的粒子运动——示波器	259
13	非方形电压下示波器中粒子运动	262
14	示波器与扫描图像	265
15	方形波问题	267

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 226-271 页。第八章先完成整章框架级精修：库仑力、电场线五问五法、粒子轨迹、叠加场强、匀强电场电势比例、图像、电容器、示波器和交变电压。后续可继续逐题复刻原书图像与高考题详解。

01. 库仑力相关的应用问题

原书第226页：三小球平衡

库仑力：

$$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}$$

三个带电小球若只在彼此库仑力作用下保持静止，必然共线。结论口诀：

三点一线，两同夹异，两大夹小，近小远大。

解释：

口诀	含义
三点一线	三个力都沿同一直线，才能互相平衡
两同夹异	两边电荷同号，中间电荷异号
两大夹小	中间电荷量较小，两边较大
近小远大	电荷量小的一侧距离中间球更近，电荷量大的一侧更远

原书第226-227页：相同金属小球接触

相同金属小球接触后分开：

$$q_1^{\prime }=q_2^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}$$

大招句：先中和，后平分。

例：$+8\text{ C}$ 与 $-2\text{ C}$ 两个相同金属球接触后各带 $+3\text{ C}$。

接触前库仑力大小：

$$F_1=k\frac{8\times 2}{r^2}$$

接触后：

$$F_2=k\frac{3\times 3}{r^2}$$

所以：

$$F_1:F_2=16:9$$

若第三个小球反复与两球接触，本质是一个“电荷量递推趋于稳定”的过程，先写每次接触后的平均，再找极限或规律。

02. 电场线类定性比较的五问五法十五公式

原书第228-232页：十五个核心公式

模块	公式	适用场景
库仑力	$F=k\frac{	q_1q_2
场强定义	$E=\frac{F}{q}$	一切电场
点电荷场强	$E=k\frac{	Q
匀强电场	$E=\frac{U}{d}$	沿电场方向距离 $d$
电场力做功	$W_{AB}=q{U}_{AB}$	与路径无关
电势差	$U_{AB}={\phi }_A-{\phi }_B$	带正负运算
电势能	$E_p=q\phi$	正负表示大小关系
电场力与电势能	$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$	电场力做正功，电势能减小
平行板电容	$C=\frac{Q}{U}$	定义式
平行板决定式	$C=\frac{\epsilon S}{4\pi kd}$	改板间距、面积、介质
电容器场强	$E=\frac{U}{d}$	接电源时常用
偏转加速度	$a=\frac{qU}{md}$	示波器
偏转时间	$t=\frac{l}{v_0}$	平行板内
侧移	$y=\frac{1}{2}a{t}^2$	出板前位移
偏转角	$\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}$	出板速度方向

五问五法

问什么	方法	口诀
场强大小	看电场线或等势线疏密	密大疏小
电势高低	沿电场线方向电势降低	顺小逆大
电压大小	匀强电场中 $U=E{d}_{\parallel }$	看沿场线投影
做功正负	看电场力与位移夹角	同正反负
电势能大小	用 $E_p=q\phi$ 带正负	正负一起算

2014 全国 II 关于静电场判断：电场强度方向处处与等势面垂直；任一点电场强度总指向电势降落最快的方向。答案：A、D。

2016 新课标 III 等势面判断：不同电势的等势面不相交，电场线与等势面垂直，同一等势面上场强不一定相等。答案：B。

03. 带电粒子在电场线中的运动轨迹问题

原书第233-236页：先找受力，再定电性和能量

粒子轨迹题不要先猜正负电，先画受力。

方法论：

1. 找轨迹与电场线的交点。
2. 轨迹凹侧就是合力方向。
3. 电场力方向沿该点电场线切线。
4. 电场力与电场方向同向则粒子带正电，反向则粒子带负电。
5. 电场力与速度夹角小于 $90^{\circ }$ 做正功，动能增大；大于 $90^{\circ }$ 做负功，动能减小。

常见判断：

已知	能判断
电场线方向和轨迹方向	电性、做功、动能变化
电场线疏密	场强、加速度大小
轨迹凹向	受力方向
没有运动方向	只能判断受力和电性候选，不能强行判断速度变化方向

04. 带电粒子在等势面中的运动轨迹问题

原书第237-238页：等势线三性质

等势面性质：

性质	内容
处处垂直	电场线处处垂直于等势面
等势不做功	沿同一等势面移动，电场力做功为 0
等差看疏密	等差等势面越密，场强越大

解题步骤：

1. 由等势线画电场线，方向由高电势指向低电势。
2. 由轨迹凹侧画电场力。
3. 比较电场力方向与电场方向，判断电性。
4. 用 $W=qU$ 判断做功和动能变化。

如果题目直接说“电场力做负功”，那么动能减小、电势能增大：

$$W_{AB}<0,\Delta E_k<0,\Delta E_p>0$$

05. 带电粒子在点电荷电场中的运动轨迹

原书第239-240页：连线指凹侧

点电荷场中，粒子所受库仑力一定沿粒子与场源电荷的连线。

方法论：

先找交点画受力，连线指凹侧。

轨迹关系	判断
受力指向点电荷	异种电荷相吸
受力背离点电荷	同种电荷相斥
靠近点电荷	场强变大，加速度变大
远离点电荷	场强变小，加速度变小

点电荷电场还要注意电势：

$$\phi =k\frac{Q}{r}$$

正点电荷周围电势为正，越近越大；负点电荷周围电势为负，越近越小。

06. 如何利用叠加原理求解多电荷体系

原书第241-246页：场强矢量叠加，电势标量叠加

物理量	叠加方式	注意
电场强度 $E$	矢量叠加	分解到坐标轴
电势 $\phi$	标量代数叠加	带正负
电势能 $E_p$	$q\phi$	试探电荷正负要带入

多电荷对称题的核心是“先看哪些分量抵消”。

常见模型：

模型	场强特点
等量同种电荷中点	场强为 0，电势不为 0
等量异种电荷中点	场强不为 0，电势为 0
正方形四点电荷	利用对角线分解
圆周均匀对称电荷	圆心场强常为 0

连线上场强判断：

电荷组合	中间区域	外侧区域
等量同种	中点为 0，两边反向	外侧同向叠加
等量异种	中间同向叠加	外侧反向，可能有极值或零点

07. 均匀带电体场强分布

原书第247-248页：割补法与微元法

非点电荷带电体常用两种方法：

方法	思想	典型题
割补法	缺一块就补一块，再减去补上的场	缺口圆环、缺口球壳
微元法	取一小段电荷，积分或用对称抵消	均匀线、环、面

缺口圆环：完整均匀带电圆环在圆心场强为 0。若挖去一小段，相当于“完整圆环 + 一个带相反电荷的小段”。因此圆心场强方向指向缺口对应的相反方向，大小可用缺口电荷近似点电荷处理。

大招句：完整体为零，缺谁就用“反向的谁”补回来。

08. 如何利用沿着电场线方向电势降低得最快的方法解题

原书第249页：最快降低方向就是电场方向

电场强度与电势梯度的关系可以理解为：

$$E=\frac{\Delta \phi }{\Delta s_{\text{最快}}}$$

结论：

方向	电势变化
沿电场线方向	电势降低最快
逆电场线方向	电势升高最快
沿等势面方向	电势不变
其他方向	只取沿电场方向的投影

所以匀强电场中：

$$U_{AB}=Ed\cos \theta$$

其中 $d\cos \theta$ 是 $AB$ 沿电场方向的投影。

09. 如何巧用电压与线段成正比解题

原书第250-253页：匀强电场里的电势是一次函数

匀强电场中，沿任意一条直线，电势随位置线性变化。

常用做法：

1. 找两个已知电势点。
2. 在线段上按比例插值。
3. 找等势点连成等势线。
4. 电场线垂直等势线，并由高电势指向低电势。

如果 $A,B$ 电势分别为 ${\phi }_A,{\phi }_B$，点 $P$ 在 $AB$ 上，且：

$$AP:PB=m:n$$

则：

$${\phi }_P=\frac{n{\phi }_A+m{\phi }_B}{m+n}$$

坐标题中也可设：

$$\phi =ax+by+c$$

由三点电势解出 $a,b,c$，再得：

$$\vec{E}=-(a\hat{i}+b\hat{j})$$

10. 解读 $\phi -x$、$E-x$ 图像

原书第254-255页：斜率与面积

一维电场中：

$$E_x=-\frac{d\phi }{dx}$$

读图口诀：

图像	看什么	得什么
$\phi -x$ 图	斜率绝对值	场强大小
$\phi -x$ 图	斜率正负	电场方向
$E-x$ 图	面积	电势差 $-\Delta \phi$
$E-x$ 图	正负	电场沿 $+x$ 或 $-x$

口诀“正左负右”：在 $\phi -x$ 图中，斜率为正，则 $E_x<0$，电场向左；斜率为负，则 $E_x>0$，电场向右。

11. 如何用口诀对电容器进行动态分析

原书第256-258页：两类边界条件

平行板电容器：

$$C=\frac{\epsilon S}{4\pi kd},Q=CU,E=\frac{U}{d}$$

动态分析先问一句：电容器是否与电源相连？

状态	不变量	推导顺序
接电源	$U$ 不变	$C\to Q=CU\to E=U/d$
断开电源	$Q$ 不变	$C\to U=Q/C\to E=U/d$

断开电源且平行板间为真空时：

$$E=\frac{Q}{Cd}=\frac{4\pi kQ}{\epsilon S}$$

所以只改变板间距 $d$ 时，$E$ 不变，$U$ 随 $d$ 增大而增大。

12. 电场中的粒子运动：示波器

原书第259-261页：加速电场 + 偏转电场

粒子先经加速电压 $U_1$：

$$q{U}_1=\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

进入偏转电场，板长 $l$、板距 $d$、偏转电压 $U_2$：

$$a=\frac{q{U}_2}{md},t=\frac{l}{v_0}$$

板内侧移：

$$y_1=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{U_2{l}^2}{4U_{1}d}$$

出板偏转角：

$$\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}=\frac{U_{2}l}{2U_{1}d}$$

若出板后到屏距离为 $L$，屏上总偏移：

$$Y=y_1+L\tan \theta =\frac{U_{2}l}{2U_{1}d}\left(L+\frac{l}{2}\right)$$

结论：偏转量与偏转电压 $U_2$ 成正比，与加速电压 $U_1$ 成反比。

13. 非方形电压下示波器中粒子运动

原书第262-264页：先看粒子过板时间

非方形电压，如正弦电压，核心是比较粒子通过偏转板的时间与电压变化周期。

若粒子过板时间很短，可近似认为粒子看到的是某一瞬间的恒定电压：

$$y\propto U(t_0)$$

若过板时间不可忽略，就要对加速度积分：

$$v_y=\int a_y(t)dt=\frac{q}{md}\int U(t)dt$$ $$y=\int v_y(t)dt$$

大招句：恒压用公式，变压看积分；过板时间短，用瞬时电压近似。

14. 示波器与扫描图像

原书第265-266页：两个方向分别控制

示波器屏幕上的点由水平扫描电压和竖直信号电压共同决定。

电压	控制方向	作用
水平扫描电压	$x$ 方向	让光点横向匀速扫过
竖直信号电压	$y$ 方向	决定图像高度

如果水平扫描电压是锯齿波，且周期与信号周期同步，屏上会显示稳定波形；若不同步，图像会移动或叠加成复杂图像。

15. 方形波问题

原书第267-271页：分段恒加速度

方形波电压大小恒定、方向周期性改变，不能只套静态偏转公式，要按时间分段。

每一段：

$$a=\frac{qU}{md}$$

方向随电压正负改变。处理流程：

1. 画 $U-t$ 图，标出释放时刻。
2. 每个半周期列匀变速运动。
3. 记录每段末速度和位移。
4. 看是否撞板，若不撞则继续下一段。
5. 用“正上负下零画平”反推运动图像。

对于从极板中点静止释放的粒子，若第一段电压使其向上加速，下一段反向电压会先减速再反向加速。是否撞板，取决于每段累计位移是否达到 $d/2$。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 库仑力相关的应用问题

原书第226页

第八过电坜 、库仑力相关的应用问题 1、三小球平衡问题 若三个带电小球只在彼此库仑力的作用下保持静止状态，则三个小球应该如何摆放？ 若要保持平衡，则两边小球应带同种电荷，中间小球带异种电荷： 1 对 1：乙 则对 3：些· 对 2：蚯一 一巫纟 L 一·解得： 匆 2q3 2 3 2 殇 + 2 1 2 〖结论分析〗由 O 可得弓越小，越小，反之亦撂_耘． 1 由 0 象五 = 1；解得《 〖老王总结〗记住重要结论： ．三点一线、两同夹异、两大夹小、近小远大 1 1 1 ．电荷量满足： 、小球 两带电小球碰触后再分开，两球电荷量变化规律：先中和后平分 例 1.真空中带电荷量分别为 + 8C 和一 2C 的两个相同的金属小球〈均可视为点电荷） ，固定在相距 为’的两处，若将两小球相互接触后将其固定在原处，求接触前后两球间的库仑力之比。 〖解析〗小球间总电荷量为 8C ·2C c ；小球分开后，电荷量平均分配给每个小球，则各自带电 3C. F 8 × 2 由库仑力公式可得: F ：心刍‰ ；故卫： 2 9 可得荪、均大于% ，即“两大夹

原书第227页

例 2·如图 A 、 B 、 c 为三个完全相同的小金属球（均视为点电荷） ， A 球带电量为一 3C ， B 球带电量 为 9C ， c 球不带电；现使 c 依次与 A 、 B 接触无限次，再移去 c 球。求接触前后 A 、 B 闾库伦力之比。 +9C Ø @ 〖解析〗 c 球依次与 A 、 B 球接触无限次，等价于电量在 A 、 c 间先中和后平分。 先中和:一 3 + 9 = 6C 6 = 2C 后平分: = ‰ = 3 27 3 × 9 由库仑力公式可得: F ：荪‰ ；故 3 〖老王总结〗两小練碰触再分开后电荷量分配方式：先中和后平分 例 1。两个分别带有电荷量·0 和 + 30 的相同金属小球（均可视为点电荷） ，固定在相距为 r 的两处， 它们间库仑力的大小为 F 。两小球相互接触后将其固定距离变为二，则两球间库仑力的大小） 3 4 C.一 F 、 FE ：了 0 例 2。 ‰ ， % 》分别表示在一直线上的三个点电荷，己知与之间的距离为 0‰与之 间的距离为 0 且每个点电荷都处于平衡状态。 （ D 如果‰为正电荷，则仫为·乏电荷，3 为且电荷。 （2） ‰ ， ‰三者电荷量大小之比是刍： ‰ ： （ i

02. 电场线类定性比较的五问五法十五公式

原书第228页

、电场线类定性比较的五问五法十五公式 本讲系统总结静电场章节中的所有公式，将传统题型综合进行分析，得到一般考察中的设问及解决 方法，此即“五问五法十五公式” 、十五个静电场的公式总结 1、库仑力 一，静电力常量：9 ℃ × 109N · m2/ c2 适用场景:三小球平衡、小球碰触（先中和后平分） 、与动力学结合。 队场的“静电”表示形式 ．场强一般定义式: E = （带电体周围的电荷所受到的场元电荷对其的电场力与其电荷自身的带电荷量始终成正比） （仅适用于点电荷产生的场强） 2 O ：一（适用于匀强电场） 3、场的“动电”表示形式 电场力做功与路径无关，仅与初末位置有关 ．电势差 UAB @U禀下伊，一％ （沿着电场线的方向电势降低） @电势能 E ， ： = 5 虎 3 O B ： q 朋： q 一‰ ） ：厂：一：一（电场力做正功，电势能减小） 注意:在运算时要带正负 4、匀强电场 U = “ 〈本式为矢量点乘式，故不带正负，且 < 90。 ） 电容器 一〈电容的定义式） （电容的决定式） 4 窕 ： Q 一 0：纟 d Cd 4

原书第229页

粒子运动 12U IIU D = 上二， ， + 」之（示波器侧移距离公式） 4 UI 2 一、静电场的常见五问题五解法〈五问五法） 比较场强大小 电场线的密的地方场强大，电场线的疏的地方场强小（密大疏小） （等势线也可用此方法判断） 2、比较电势大小 沿着电场线方向的电势逐渐减小（顺小逆大） 3、比较电压大小 利用式子 U = 关于利用 U ：定性分析，见如下例题 4、判断做功情况 受力方向与运动方向同向则电场力做正功，反向则电场力做负功〈同正反负） 5、比较势能大小 根据： ，运算时代入正负，代数值表示大小。 〖老王举例 1〗关于直接考察 例！一一彳电容为 C ，两极板间的距离为上极板带正电，电荷量为 0，下极板带 负电，电荷量也为 0，它们产生的电场在很远处的电势为零，两个带异种电荷的小球用一绝缘刚性杆相 连，小球的电荷量都为 q ，杆长为 L,且 L<d,现将它们从很远处移动到电容器内两极板之间，处于图 中所示的静止状态〈杆与板面垂直） ，在此过程中，求电场力对两个小球所做的功〈设两球移动过程 中极板上电荷分布情况不变） 。 +Q 〖解析〗静电力做的总功等于正电荷做的功加上负电荷做的功，即： + ， 设图中正电荷小球位置为关，负电荷小球位置为 B 又：0 角欺 tj Cd

原书第230页

〖老王举例 2〗关于在标量式运算时的正负问题，见如下例题。 例 2·己知某电场中 =-3V ， ：7V ，现在要搬运一电荷 q ： + 2c 从点运动到点，搬运过 程中电场力所做的功为多少？电荷在点时所具有的电势能为多少？ 〖解析〗 《法一〗一般方法，先判断大小}后讨论正负 做功大小为： qU ：20J 由 B 点运动到点，电势降低，则电场线方向由指向正电荷运动，则电场力做正功》故答案 为 20J 。 〖法二〗大招解法，运算时带正负， 羽： qU 一 q （ ％一） ： + 2 × （ + 10） ：20J 〖老王举例 3〗关于电势能和电势的正负均表示大小的问题，见如下例题。 例 3·如图所示，在负点电荷产生的电场中，将 B 两点处的两个正电荷〈电荷量分别为‰和‰ ） 分别移到无穷远的位置，克服电场力做功相等，比较和‰的大小关系。 负点电荷产生的电场周围电势为负，故 < < 0。 贝刂 | > 朊] > 0，所以 < ‰ 〖老王举例 4〗例 4·证明：在电场强度较大的地方，等差的等势线较密 10 V 〖解析〗如图，假设有 10v 、5V 、 OV 的等势线〈此即等差的等势线） ，相邻的等差等势线间电压相 等， 根据 U = 10v 和 5V 间的场强较大，所以 10v 和 5V 的距离较短，即等差的等势线较密，证毕。 微信搜索 丿公过 £ 夫．弓．

原书第231页

例 5·某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是〈 ） A. c 点场强大于 b 点场强 B.点电势高于 b 点电 c.若将一试探电荷 +q 由点释放，它将沿电场线运动 b 点 D.若在 d 点再固定一点电荷一 0，将一试探电荷 + q 由。移至 b 的过程中，电势能减小 〖解析〗 A 、判断场强时，根据“密大疏小” ， 从图中可看出 b 点的电场线更密，故 b 点场强较大， A 错误。 B 、判断电势时，根据“顺小逆大” ，从图中可看出。点的电势高， B 正确。 c 、 。到 b 并非直线，当带电粒子在电场中静止释放，仅受电场力作用， 且电场线并非直线时，粒子运动轨迹不与电场线重合，故 C 错误。 m 如果不放点电荷一 0，那么电场力做正功，电势能减小訁若仅存在点电荷，电场力也一样做 正功。故当电场线和点电荷一 0 均存在时，电势能也一样减小， D 正确。 〖答案〗 BD 例 6·如图所示，一电场的电场线分布关于丿轴（沿竖直方向）对称》伏 M 、是丿轴上的三个点， 且 OM = 。点在丿轴右侧，上 0，则（ ） A. M 点的电势比 P 点的电势高 B.将负电荷由 0 点移动到点，电场力做正功 c. M 、两点间的电势差大于 0、 M 两点间的电势差 D.在 0 点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿丿轴做直线运动 〖解析〗 、判断电势时， “ ． ‘函“ ， B 、同理，谔房，屈囍。点移动到’点时，根据锸四，得‰ < ， 则电势能升高，电场力做负功， B 错误； C 、根据 U = 》 OM 之间场强更大，则电势差更大， C 错误； D 、在 0 点静止释放一带正电粒子，该粒子的受力方向始终指向丿轴正方向，则该粒子将沿丿轴做 直线运动， D 正确 〖答案〗 AD 例 7· （2 佣 9 上海）位于处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中 实线表示等势线，则（ A. 。点和 b 点的电场强度相同 B.正电荷从 c 点移到点，电场力做正功 C.负电荷从。点移到 c 点，电场力做正功 D.正电荷从 e 点沿图中虚线移到歹点，电势能先减小后增大 由恒昀螭：一，一》艹

原书第232页

例 8· （2014 全国 2）关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是（ ） A.电场强度的方向处处与等势面垂直 B.电场强度为零的地方，电势也为零 C.随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低 D.任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向 例 9· 〈2016 新课标 3）关于静电场的等势面，下列说法正确的是（0） A.两个电势不同的等势面可能相交 B.电场线与等势面处处相互垂直 c.同一等势面上各点电场强度一定相等 D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功 例（2。19 海南）如图，电以“ “点，箭头代表电场的方向，则 一取最新叫课及 7 A.燕的电势比点的低 B. M 点的场强大小一定比点的大 C.电子在 M 点的电势能比在点的低 D.电子在 M 点受到的电场力大小一定比在点的大 住亠》 ． 例 11· 〈2021 全国甲）某电场的等势面如图所示，图中然 b. c 、 e 为电场中的 5 个点，则（ A.一正电荷从 b 点运动到 e 点，电场力做正功 B.一电子从点运动到点，电场力做功为 4ev C. b 点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右 D.癆、 b 、 c 、四个点中， b 点的电场强度大小最大 就扌回詵繾 b 抟．0 时 4V 6V

03. 带电粒子在电场线中的运动轨迹问题

原书第233页

` 带电粒子在电场线中的运动轨迹问题 本专题较为常见，我们通过一道模型题总结方法论，先看最简单的： 《模型一〗场线及方向均确定 例 1.某电场的电场线分布如图所示，一带电粒子在电场中沿轨迹到 B 运动，电场线方向如图所 问在粒子由又到 B 运动的过程中： （1）判断粒子电性 （2）判断电场力做功情况 （3）匕较粒子在 B 点两点处动能大小 （4）比较粒子在关、 B 点两点处电势能大小 〈5）比较粒子在关、 B 点两点处加速度大小 （6）比较粒子在 B 点两点处电势大小 通过上述 6 个基础模型问题，我们可以先总结基础做题方法如下： 〖老王强调〗先找出场线与轨迹的交点受力方向一场线切线且指向轨迹凹侧。 1、判断粒子的电性一“正同负反” 受力方向与电场线方向同向则粒子带正电，反向则粒子带负电。 因此本题粒子受力方向与电场线方向相反，故粒子带负电。 2、判断电场力功一“同正反负” 受力方向与运动方向同向则电 因此本劢尚寸方向相反，故电场力做负功。 3、判断粒学动能变化 电场力做正功，动能增加；电场力做负功，动能减小。 由于本题电场做负功，故粒子动能减小，则 > 。 4、判断粒子势能变化 动能与势能的总能量守恒，故动能增加，势能减小；动能减小》是能增加。 因此粒子电势能增大，则 EpA <EpB 5、判断粒子加速度变化一“密大疏小” 电场线分布越密粒子加速度越大，电场线分布越疏粒子加速度越小。 因此粒子在点处加速度较大，即 > 。 判断粒子电势变化一“顺小逆大， ， 顺着电场线方向电势减小，逆着电场线方向电势增大。 因此粒子在点处电势较大，即 > ％ 。 上述问题之所以是基础模型，是因为题貝史綸子运动方向，而当下更多的考题己经 “方向”这类条件隐藏，需要考生对于问题有更本质的分析。

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〖模型二〗场线及轨迹方向均不定。 例 2·某电场线如图所示，一带电粒子在电场中做曲线运动，轨迹如图。 与模型一不同，本题电场线的方向、电场线疏密程度、粒子运动轨迹的方向，均不确定 因此乖迲粒子电性、加速度、电势及电场力做功问题， 但依然可以判断粒子动能及势能变化。 具体方法如下先找交点画受力，分析出受力情况 讨论 故做功正负不影响动能大小关系 可以从更多物理本质理解这类问题，比如在重力场中，沿着重力方向，重力势能减小。当某小球在 运动过程中经过 B 两点时， O 穆 也依然可以得出 < 及霆粼 > 孬的结论，而并不需要关心其运动方向，由此看出，具体哪个 点的重力势能大是由位置决定的，而非运动方向。 所以凡是保守力场皆具有类似的特征，及沿着保守力的方飢动能增大势能减小。 针对电场中的粒子问题，我们也可以得到最终一般性结论： 《老王总结》 “沿着电力方向，动大势小 0 而写電殇芳為及轾睡@垄荐；，

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最后，我们总结一下这类专题的方法论 1、先找交点画受力《切线指凹侧 先判断受力方向，为交点电场线的切线且指向轨迹凹侧方向； 电场线 》0 再看动能和势能， “船着受力方向动增势减 0 3、最后再看其余项，四字短语“正同负反” 、 “同正反负” 、 “密大疏小、 “顺小逆大男。 例 3·一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线 abc 从。运动到 c,已知质点的速率是递减的。关 于 b 点电场强度 E 的方向，下列图示中可能正确的是（虚线是曲线在 b 点的切线） （ ） 〖解析〗由题意得” 。 ，根据“先找交点画力》切线指凹俩 ll”新惹硒轟势减” ，如图 所示，电场加指向。点，故。点。鼕蜒毳力断。 ！确 获取最新网谋无’ 向丨花 c 捎 A 、受力方向与速度方向在同一直线，故电荷应做直线运动，故错误； B 、受力方向指向 c ，故 c 点动能大，势能小，不满足题目要求。 c 、不满足“凹侧方向偏向力” 〖答案〗 D

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例 4。 〈2017 天津）如图所示，在点电荷 0 产生的电场中，实线是一条方向未标出的电场线， 虚线是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在 B 两点的加速度大小分别为砌、 电势能分别为、 。下列说法正确的是（ ） A.电子一定从向 B 运动 B.若。则 0 靠近 M 端且为正电荷 C.无论 0 为正电荷还是负电荷一定有” D.召点电势可能高于点电势 《解析〗 A 、电子的运动方向无法确定，故错误； ^ ’ C 、根据“先找交点画受力，切线指凹侧” ，如图所示， 所以电子受力指向 M 侧，根据“沿着受力方向动增势减” ，可得点动能大势能小， @京势能大动能 小， C 正确： D 、电子带负电，所以电场线方向指向，根据“顺小逆大” ，则点电势大于 B 点电翔故 D 错彘 B 、当点电荷 0 靠近 M 侧且为正电荷时，符合电场线方向指向萜点比 B 点的电场线分布密集， 根据“密大疏小” ，故 B 正确。 〖答案〗 BC 例 5·如图所示，仅在电场力作用下，一带电粒子从运动到 B’则〈 ） A.电场力做正功 c.电势能增加 B.动能减少 D.加速度增大 〖解析〗 B 、 C 、根据“先找交点画受力，切线指凹侧” ， 如图所示，粒子受力方向向下， 7 A 、根负”所以电场力做负功，故错误《 F 向隅．民 D 、 B 点比点的电场线分布密集，根据“密大疏小” ， üB 点加速度大于点加速度，故 D 正确。 《答案〗 BCD 例如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中 M 点相同速度飞出 b 两个带电粒 子，运动轨迹如图中虚线所示，则（ ） A. 。一定带正电，方一定带负电 B. 。的速度将减少， b 的速度将增加 C. 。的加速度将减小， b 的加速度将增加 D.运动过程中两粒子的电势能均减小 《解析〗 A 、根据“先找交点画受力，切线指凹侧” ，如图所示 可知粒子受力向左，粒子 b 受力向右， 即两粒子带电性相反，但无法确定各自具体电性，故错误； BD 、根据“沿着受力方向动增势减” ，所以两粒子动能都增加， 即速度增加，势能都减小， üB 错误，乃正确零 C 、右侧电场线比左侧电场线分布更密集，根据“密大疏小” ，所的加速度减小， b 的加速度增 加，故 c 正确零 《答案〗 CD

04. 带电粒子在等势面中的运动轨迹问题

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四带电粒子在等势面中的运动轨迹问题 、等势线的性质 性质 1、处处垂一一等势线处处与电场线垂直 性质 2、疏密相同，密大疏小一一电场线与等势线疏密相同 、方法论 ，先找交点画受力，垂线指凹侧” 根据等势线的性质可以发现，电场中带电粒子的受力方向垂直于等势线并且指向凹侧，与电场线中 ‘沏线指凹侧”的情况不同。 例如，在如图所示的粒子运动轨迹中 O 若为电场线，根据“先找交点画受力，切线指凹侧，则受力方向如图所示 根据“沿着受力方向动增势减” ，则霆点动能较大； @若 M 庳为等势线，根据“先找交点画受力，垂线指凹侧”则受力方向如图所不 根据“沿着受力方向动增势减”则点动能较大

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例 1.如图所示，虚线表示电场的一簇等势面且相邻等势面间电势差相等，一个粒子以一定的初 速度进入电场后，只在电场力作用下沿实线轨迹运动，粒子先后通过 M 点和点·在这一过程中，电 场力做负功，由此可判断出（ ） A.点的电势高于 M 点的电势 B. 。粒子在点的电势能比在 M 点的电势能大 C.粒子在 M 点的速率小于在点的速率 D. a 粒子在 M 点受到的电场力比在点受到的电场力大 〖解析〗 B 、根据“先找交点画受力，垂线指凹侧” ，如图所示，粒子舜力万向内下偏向《侧， 根据“沿着受力方向动增势减” ，所以粒子在 M 点速率大于点速率，点势能小于点势能，故 B 正 确， c 错误； A,粒子带正电，所以电场方向与粒子受力方向相同，根据“顺小逆大” 》所以 M 点电势低于点 电势，故正确； m 根据“密大疏小” 、 M 点等势线比点等势线分布更稀疏，所以点受到的电场力更大，故 D 错 误。 〖答案〗 AB 例 2·如图所示，虚线厶 B 、 C 表示某电场中的乒 B.三个等势面的电势大小为 > ％ > ％ C.电子由到电场力做功大于 b 到电场力做功 D.电子由。到 c 过程中电势能不断增大 〖解析〗 D 、根据“先找交点画受力，垂线指凹侧如图所示 謔飞叫 所以电子受力方向向下偏向侧，根据“沿着受力方向动增势减” ，所以电子从。点到 c 点势能逐渐 增大，故 D 正确； B,电子带负电，所以电场方向与电子受力方向相反，根据“顺小逆大” ，所以从磊点到 c 点电势逐 渐降低，故 B 错误。 A,根据“密大疏小” ，从。点到 c 点等势线分布逐渐变密，所以电子从右向左加速度变大，故 A 正 确哛 C 、根据题意，相邻等势面间的电势差相所以电场力做功相等，故 C 错误． 〖答案〗 AD

05. 带电粒子在点电荷电场中的运动轨迹

原书第239页

五、带电粒子在点电荷电场中的运动轨迹 、方法论 “先找交点画受力，连线指凹侧” 在点电荷产生的电场中，带电粒子受力方向为粒子与点电荷的连线，且指向运动轨迹的凹侧。 、凹侧包围或背离点电荷分析兮《 ：难 (1)当凹侧包围点电荷时，小 B 为粒子运动轨迹上任意两点，记厶 B 两点到点电荷的距离分别 为和。 要分析粒子在两点处的动能大小关系，分为三种情况: 此时两点在同一个等势面上，故粒子在点和 B 点处动能大小相等。 方法一在粒子由点运动到点的过程中》力的方向和大小均发生改变，但是可以分解得到一个 始终向下的分力，点在点下方，根据“沿着受力方向动增势减” ，可得粒子在 B 点时的动能较大 0 分力 方法·画出 0，使伊与 B 点位于等势面上 则粒子由点运动到 B’点的过程中，受力始终指向伊侧，所以粒子在点时的动能较大 分析过程同第二种情况，可以得出粒子在 B 点时的动能小于粒子在点时的动能 上述三种情况可以总结为： “凹侧包围点电荷，离的近点动能大” 〈2）当凹侧背离点电荷时，如图所示 由于不会出现凹侧包围点电荷时受力转向情况，故仅需根据“先找交点画受力，连线指凹侧” ，判断 受力方向；再根据“沿着受力方向动增势减”即可判断动能与势能大小。

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例 1.如图所示，在 q 、02 连线上的某点固定一点电荷 0 另一带负电的粒子仅在库仑力的作用 下以一定的初速度从屋点运动到 B 点，图中实线为运动轨迹且关于 0102 连线对称。以下说法可能正 确的时（ ） A.0 为正电荷，速度先增加后减少，电势能先减少后增加 B.为正电荷，速度先减少后增加，电势能先增加后减少 C.0 为负电荷，速度先减少后增加，电势能先减少后增加 D.0 为负电荷，速度先增加后坚守，电势能先增加后减少 〖解析〗根据“先找交点画受力，连线指凹侧” ，如图所示 A 、当 0 为正电荷且靠近交点时，根据“凹侧包围点电荷，离的近点动能大” ，则速度先增加后减少， 电势能先减少后增加， A 选项正确 B 、当 0 为正电荷且离交点较远时，则与 A 项相反，速度先减少后增加，电势能先增加后减少， B 选项正确倦糍 C 、 D 、当 0 为负电荷时，粒子受力方向向左，根据“凹侧背离点电荷时，沿着受力方向动增势减” ， 所以速度先减少后增加，电势能先增加后减少，故 CD 错误。 〖答案〗 AB 的是〈取不 A. M 带负电荷，带正电荷 B. M 在 b 点的动能小于它在。点的动能 c.在点的电势能等于它在 e 点的电势能 D.在从 c 点运动到点的过程中克服电场力做功 〖解析〗根据“先找交点画受力，连线指凹侧” ，如图所示 A,粒子 M 受力指向圆心，与点电荷相互吸引，故 M 带负电，粒子受力方向背离圆心，与点电 荷相互排斥，故带正电， A 正确； 根据“凹侧包围点电荷，离的近点动能大” 》所以 b 点动能小于。点动能，故 B 正确; C,点和点在同一个等势面上，所以两点电势能相等，故 C 正确 D 、粒子受力方向如图所示，故从 c 点运动点》电场力做正功，故 D 错误。 《答案〗 C 向外

06. 如何利用叠加原理求解多电荷体系

原书第241页

、如何利用叠加原理求解多电荷体系 、叠加原理的叠加方式 场喔:矢量叠加点电荷产生场强 （0 不带正负） 电势#标量叠加点电荷产生电势伊： 〈0 带正负） 一、等量异种电荷连线及中垂线场强、电势分布特点 (1)中垂线上场强及电势: ．场强的矢量叠加》如图所示 +Q 9 2 则君 = 2 cos 9 COS cos9 由场强的表达式可知，当增大时，减小，减小。 @将电势进行标量叠加》如图所示， +Q 尸 r 〖老王口诀〗中垂线上，场强近大远小，电势恒为零 （2）连线上场强及电势: ．对于场强的分析 本书采用定性及半定量的方法，也可利用导数研宄函数极值的方法（本书不再展示） 。 +Q 0：

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如图所示， 0 点处的场强大小为 点处的场强大小为君一一． ． ．一， + 一一一． ， · (l+X)2(l 一 2 依次取特殊值，当：一及： 」时， 4 2 3/ 4 垣 4 16 2 一 49 2 4 16 :.E2 > ；即由中点向两侧，场强增大。 @对电势进行分析 0 点位于中垂线上，则 0 点处电势为零，无穷远处电势为零，根据沿着电场线方向》电势降低，则 电势分布如图所示 +Q 《老王口诀黛场强两大夹小，电势正正负负 、等量同种正电荷连线及中垂线场强、电势分布特点 (1)中垂线上场强及电势《 @场强的矢量叠加，如图所示 则君 = 2 cos 9

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研宄函数丿： “2 i 的极值， 求导，令导数为零，得 Y=2cos9(—sin9)sin9+cos2ecose=cos3e—2sin29cos9=0 1 解得 = 35，6。 t 鈕 = 2 2 则当 35，6。时》场强为最大值 a+b+c 利用均值不等式： 3 其中少： （ cos 2： cos 忉 (cos2 + s2 9+2sin2 刃 3 则 2 少 = cos2 s2 2s 2 其中(cos2 +COS2 + 2sin2．3 一 8 1 当且仅当 s2： cos2 一 2sin2 时，等式成立，即： 9 35·6。 一， tan9 = 2 2 由上证明可知，0 点处场强为零，无穷远处场强为零，35·6。时场强最大， 即由 0 点到无穷远处，场强大小；现“零大零”的簧、 、尺加糹 @根据沿着电场线方向电势降低， 获取最新网课发 （2）连线上场强及电势： ．类比等量异种电荷连线上场强分布推导方法，可得到相似结论， 即中点处场强为零，中点向两侧，场强增大 呈现“两大夹零”的特点 @根据沿着电场线方向电势降低，则连线上 O 点电势最低· 四、老王总结 异种电荷 同种电荷 场强 E 两大夹小 两大夹零 连线 电势伊 正正负负 正连小，负连大 场强 近大远小 零大零 中垂线 电势 恒为零 垂大同种正电荷） 垂小同种负电荷） 微信搜索公众号

原书第244页

例 1·两带电量分别为 q 和一的点电荷放在轴上，相距为能正确反映两电荷连线上场强大小 与关系的是图〈 ） 〖解析〗 A 、根据等量异种电荷在连线上的场强规律“两大夹小” ，可判断 A 正确。 B 、 B 图像展示的特点为“两大夹零” ，属于等量同种电荷场强分布特点，故 B 错误。 C. D 图像没有体现“两大夹小” ， C 、 D 错误 〖答案〗 A 例 2。两个等量异种点电荷位于轴上，相对原点对称分布，正确描述电势随位置无变化规律的 是图（ 〉 i 35 例 3。如图所示，在轴上关于原点 0 对称的两点固定放置等量异种点电荷 + 和·0，轴上的 P 点 位于·0 的右侧。下列判断正确的是（ ） A.在轴上还有一点与 p 点电场强度相同 B.在芤轴上还有两点与 p 点电场强度相同 0 若将一试探电荷从 p 点移至 0 点，电势能增大 D.若将一试探电荷 + q 从尹点移至 0 点，电势能减小 +Q -Q 《解析〗 A 、电场强度相同指的是电场度的大小和方向都相同， 在 + 0 左侧还有一点与尹点对称，场强方向与 P 点相同，也是向左 而从 + 0 到这个区域内的场强方向均向右， 》 、存在场强相同的点。故 A 正确， B 错误； D 、根据“正正负负” ， P 点的电势为负值，0 点电势为零，从 P 到 0，电势从负到零，电势升高， 根据：四还可知电势能增大，故 C 正确， D 错误 〖答案〗 AC

原书第245页

例 4· （2021 河北）如图，四个电荷量均为吼@> 0）的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标 分别为（4/ ，0） 、 （ / ，0） 、 （0，为）和（0，一） ，其中轴上的两个点电荷位置固定，丿轴上的两个点电荷 可沿丿轴对称移动 00 笋 0） ，下列说法正确的是（ ） A.除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零 B.当丿 0 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点 c.当丿 0 = 8 时，将一带负电的试探电荷由点（4/ ， (1)移至点（0，一(1) ，静电力做正功 D.当为：4/时，将一带负电的试探电荷放置在点(IJ)处，其所受到的静电力方向与芤轴正方向 成 45。倾斜向上 一 4 廴’ 4/ 同为舴坷 氇輔助线

原书第246页

例 5· 〈2 2 全国乙）如图，两对等量异号点电荷 + 耐@> 0）固定于正方形的 4 个顶点上。 是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，0 为内切圆的圆心， M 为切点。则（ ） A 和两点处的电场方向相互垂直 B. M 点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C.将一带正电的点电荷从 M 点移动到 0 点，电场力做正功 D.将一带正电的点电荷从 L 点移动到点》电场力做功为零 “飞 00“能 0。 ·0 以 00 M + 0：0·

07. 均匀带电体场强分布

原书第247页

七、均匀带电体场强分布 对于圆环、球壳等非点电荷带电体，我们常使用割补法、微分法求解。 例 1·如图所示，半径为灭的导体环上存在一个宽度为的小狭缝，且《灭，电荷量为的正 电荷均匀分布在导体环上，已知静电力常量为求导体环在圆心 0 处产生的场强大小。 〖解析〗可求得电荷线密度：厶纟： 2 R 圆环上关于 0 对称的点电荷相互抵消则狭缝关于 0 对称的小圆弧带电量：矿： 则导体环在圆心 0 处产生的场强大小#霆：花．一一 抵消 2 灭 2 R3 加微信： 例 2·如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，中心 0 处的电场强度大小为。求左侧瓣球面在 0 处的产生的电场强度。 右 〖解析〗 由对称性可得，瓣球面在 0 点处产生场强方向为其夹角的角平分线，则左右瓣球面在 0 处场强合成 如图；故左侧瓣球面在 0 处产生场强：霆左：霆閃 s22·5。 。

原书第248页

右 22·5 万．22．5 ；扌球 0 点 0 心的 例 3。如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为 0，半径为 R ，圆心为 0，尹为垂直于圆环平面的对 称轴上的一点，0 试求 p 点的场强。 与 LD 曱 正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边。 、 b 、 上。移‰处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几何中心 0 点处电场强度 方向和电势的变化，下列说法正确的是〈们 A.电场强度方向垂直指向。 ，电势减小 B.电场强度方向垂直指向隽电势减小 C.电场强度方向垂直指向。 ，电势增大 D.电场强度方向垂直指向 c ，电势增大 珩鹞 № 巛 b E E

08. 如何利用沿着电场线方向电势降低得最快的方法解题

原书第249页

八、如何利用沿着电场线方向电势降低得最快的方法解题 之前我们论证了关于“沿着电场线的方向电势降低”的结论，在本专题中，我们需要将这句话升华 一下，不仅是“降低” ，而且是降低的“最快飞关于这个“快”字，我们可以这样理解： 如上图，在匀强电场中有一圆，圆心为 0，假设三只蚂蚁以同样的速度从 0 点出发，分别爬行到关、 B 、 C 三点，可分别作出在点和 c 点上作的垂线〈等势面） ，在比较三点与点 0 的距离： 易得到三点的电势大小比较结果为 < < ，因为 B 点的电势最低，所以在相同时间内沿着 方向爬行的小蚂蚁，电势降得最快，故结 沿着电场线的方向电势降低得快 〖老王提醒〗在非匀强电场中，可以采用微元法的思想，在足够小的区域，可视为匀强的环境，依然满足上述结论。 故此结论任意电场均可使用。 例 1·关于静电场的电场强度和电势》下列说法正确的是（ ） A.电场强度的方向处处与等电势面垂直 B.电场强度为零的地方，电势也为零 D. 向该点电势降落最快的方向 〖解〗由等势面的特点可知，电场强度的方向处处与等势面垂直，选项 A 正确 B 、电场强度为零，但电势不一定为零，如等量同种电荷连线的中点处，选项 B 错误 c 、电场强度减小，电势不一定降低，如在负点电荷的电场中，选项 c 错误 D 、根据“沿着电场线的方向电势降低得最快” ，则电场强度的方向是电势降落最快的方向，选项 D 正确。 〖答案〗 AD 例 2·关于静电场，下列结论普遍成立的是〈 ） A.电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低 B.电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关 0 在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向 m 将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零 〖解析〗 A 、电场强度大小与电势高低没有对应关系，故 A 项错误。 B 、电场中任意两点之间的电势差只与这两点的电势有关，故 B 项错误。 c 、根据“沿着电场线的方向电势降低得最快” ，则沿场强方向电势降低最快，故 c 项正确。 D 、在移动过程中电场力有可能做功，故 D 项错误。 〖答案〗 C

09. 如何巧用电压与线段成正比解题

原书第250页

九、如何巧用电压与线段成正比解题 一、利用成比例特点“在匀强电场中画场线求电势 如图所示，在匀强电场中有厶从 C 三点》 BC 与匀强电场之间的夹角为 则芸 一一 IBCI 〖老王总结〗线段两点之间的电压比等于对应线段的长度比（适用条件：两线段平行或共线） 、定比分点电势 在匀强电场中有 B 、 C 三点，设一一． IBCI 1 ，解得師一師：一

• 佐 1 + 旯 中有厶 B 、 C 三点，长度为 2》 BC 长度为 3，则 = 代入公式 = 1 + 旯 2 2 3 解得 = 一十一佐 2 5 3 例 2·在匀强电场中有厶从 c 三点》电势分别为 7V ，15V ，19v ， = 2，则可判断 B 点在 c 的靠近 c 端的三等分点处。 根据一一 -lBCF4 2 3 微信搜索 丿公过 £ 夫、 ．弓．

原书第251页

例 3·在匀强电场中，有如下图的三角形， 三个顶点的电势分别为 3V ，6V ，12v ，画出匀强电场线 12v 〖解析〗根据“平行线段中电压与线段成正比” ，可先在 3V ，12v 的线段中找到 6V 的位置，然后把 两个 6V 的位置连起来，再做其垂线，电场线的方强指向电势降低的方向。 ，则长度比也为一，故 6V 位置在靠近 3V 位置的三点分点处，如图所示 由于电压比为 12 一 6 2 6 V 例 4·在匀强电场中，有如下图的长方形，三个顶点的电压分别为 3V ，12v ，17v ，求右上角顶点 的电压。 口 V 〖解析〗 口 V 法根据“平行线段中电压与线段成正比” ，则两条横边电压相等，17 一 12 = 一 3· ’ = 8V 。 法二零同理利用竖边电压相等：12 一 3 = 17 一，一芤 8V 3 + 17 + 12 法三#利用中点电势： 2 2 所以右上角的电压为 8V 〖老王点评〗上述三种方法，即使物理理解角度不同，但是数学式子本质完全相同。

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例 5·在匀强电场中，有如图的正六边形，上方两个顶点的电势分别为 3V 》7V ，右下角顶点的电 压为 12v ，求其它顶点的电势？ 〖解析〗 根据“平行线段中电压与线段成正比” ，则上下两边电压相等疒 7V 一 3V ： 、12v 一，则：8V 。 12v 一 3V 2 在 3V ，12v 之间做连线，可得 12v 一 3V 2 则 = 4，5V 。糹 0 又 〖答案〗伊：4，5V 、孬 = 8V 、 pc=ll.5V 例 6。空间有一匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系 0· ，从 P 为电场中的三个 点， M 点的坐标（0，口，0） ，点的坐标为@0，0） ， p 点的坐标为@， £ ，与。已知电场方向平于直线 M 点电势为 0，点电势为，则 p 点的电势为（ ）尺 ～ 忝加信· A. 1 C. 2 4 〖解析〗求空间中某点的电势，可以通过等势面转化，从而简化问题。 本题中由于电场线方向平行于，故电场线方向平行于平面 MON,作出 P 点在平面 MO.的投影 P’ ，则 PPt 垂直于电场线方向，即 PP’为等势线，求解电势即可 根据坐标，作出平面 MO.内四边形 0 胛， M ，如图所示 则 P’一，由题意得 M 即电场线方向，由 P’作 M 垂线，垂足为，则严为等势线，由几 何关系可得一一 、4 〖答案〗 D

原书第253页

例 7 如图所示，在平面直角中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点 0 处的电势为 OV ，点处的电势为 6V ，点 B 处的电势为 3V ，则电场强度的大小为〈 ） A.200v / m C.100v / m B.200 V / m D.100 V / m 点 6，0 wcm OC 。为 § 钱钍芤 ·四 0 = ，一刈 0 例 8· 〈2021 湖南）如图，圆心为 0 的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，劢和 cd 为该 圆直径。将电荷量为 q(q > 0）的粒子从。点移动到 b 点，电场力做功 2（卩 > 0） ；若将该粒子从 c 点 移动到磊点，电场力做功为。下列说法正确的是〈 AB ） A.该匀强电场的场强方向与劢平行 B.将该粒子从点移动到 b 点，电场力做功为 0·5 60。 、 。 yux 或 435 0\

10. 解读 φ-x、E-x 图像

原书第254页

十解读巾。 x 、 E-x 图像 瞓》禰 在大学物理中，一间的函数关系称为电梯度函数，如今也在高考中考察。 1、 “图像成因 在如图所示的电场线中，任取一点记为坐标原点仂画出轴，对于轴上的点从 C ，由电场 线方向可知其电势依次降低，以电势为纵坐标画出 Y 轴，将每点的电势画在平面直角坐标系中，连成光 滑曲线，此即伊一图像。 2、伊一图像斜率含义 因为 = A.v 而一 根据 U “ ： ，代入：一． ，得 的是 F 在方向上的分量，同理 Ec 。表示的 ．负号场强的方向： 当斜率为正，场强方向向左，当斜率为负，场强方向向右，即“正左负右” 角标表示 x 方向上场强的分量： 当斜率为 0，不表示场强等于‰只表示场强在轴上的分量为忙 例 I.空间某一静电场的电势在上分布如图所示，轴上两点 B 、 C 的电场强度在方向上的 分量分别是、 。下列说法中正确的有（ ） A.的大小大于的大小 B.的方向沿轴正方向 C.电荷在 0 点受到的电场力在芤方向上的分量最大 D.负电荷沿轴从 B 移到 C 的过程中，电场力先做正功，后做负功 微信搜索 丿公夫．弓． ，

原书第255页

〖解析〗 A 、比较斜率，由图可得 c 点处斜率较大，即较大， A 正确： B 、根据“正左负右， B 点处斜率为正，即方向向左，沿着轴负方向》 B 错误； c 、由图可得在 0 点处的斜率为 0，所以在 x 轴上的分量也为 0， c 错误 D 、从 B 到 c 斜率先正后负，所以场强在芤轴的分量的方向是先左后右。因为是负电荷，所以受到 的电场力先向右后向左，所以电场力先做正功后做负功， D 正确。 另外的， D 选项也可以不看斜率，看电势的变化，电势先升高后降低，而电荷带负电， 根据：可知电势能先减小后增大，所电场力先做正功后做负功。 〖答案〗 AD 例 2。假设空间某一静电场的电势随变化情况如图所示，根据图中信息可以确定下列说法中正 确的是（ ） A.空间各点场强的方向均与芤轴垂直 B.电荷沿轴从 0 移到的过程中，一定不受电场力的作用 C.正电荷沿嵬轴从移到的过程中，电场力做正功，电势能减小 D.负电荷沿轴从移到的过程中，电场力做负功，电势能增加 获取最新网课及水 W K 解析〗 A 、若空间各点场强的方向均与攴轴垂直，则图像中斜率‰为 0，故 A 错误： 丿 B 、从 0 到段斜率为零》仅表示场强在轴上的分量为 0，但是场强不一定为 0，则 B 错误； 根据“正左负右，则正电荷沿轴从移到的过程中，图像斜率为正，电场在轴上的分量的 方向向左，正电荷在向右移动过程中，电场力向左，电场力做负功，电势能增加， C 错误； D 、根据“正左负右，则负电荷沿轴从移到螄的过程中，图像斜率为负，电场在轴上的分量的 方向向右，负电荷在向右移动过程中，电场力向左，电场力做负功，电势能增加， D 正确。 〖答案〗 D

11. 如何用口诀对电容器进行动态分析

原书第256页

十一、如何用口诀对电容器进行动态分析 、电容器充电 将平行板电容器极板放入直流电电源两端，正电荷〈实际为电子，运动方向与正电荷相反）从电源 正极移动到一个极板上并聚集，两极板间有绝缘体材料，所以在一个极板上聚集正电荷，而在另一个极 板感应出负电荷，此过程即为电容器的充电过程。 、电容器放电 新网及无水 如图杀黾器相当于电源，正极板当作电源正极，负极板当作电源负极。电流从正极板流经电 阻到达负极板。 〖老王提醒〗电容器能充电也能放电，既可当电源，也可当用电器，故需通过电容器充放电判断电流方向。 、电容器中的公式 （电容 c 表示物体耐压能力的物理量） (1）定义式： C = 1 王（真空中的介电常数‰一 （2）决定式： C = 4 囫 U_0 一 0： 〈3）场强：霆 = d Cd “ 4 冗材 四、与电源相连时，电容器变化规律及结论 ，相对介电常数： 6 例 1.如图所示，将充电完成的电容器的上极板移到虚线位置，下极板接地，判断: （ I) C 、 、 U 、君分别如何变化 （2）通过电阻灭的电流方向如何变化 〈3）两极板中间的如何变化

原书第257页

ES 若增尢则 c 减小； 〖解析〗 （1)电容器与电源相连， U 不变，根 c = 4 冗 增大， c 减小，所以 E 减小。 减小，所以 0 减小《根 = 0）由〈1)得 0 减小》则电容器放电，所以通过电阻的电流向右 （3）判断电势的变化，通常可研究该点与零点之间的电势差。 本题中因为 B 极板接地，则零点为 B 极板， 由（1）得君减小，又丨丨不变，所以减小。 根 C = 如若将题干改为极板接地，则： U 以：刂阝此时减小，丨增大，故不能通过此式判 断伟如何变化，可转换思路改为求间电势差。 一前谳 由一 B 〖答桑〗 〈1) C 、0、 E 减小， U 不变； （2）通过电阻的电流向右； （3） ％减小 通过上面的例题，我们可以总结一下电容器中某点电势变化的规律，可以分情形讨论如下： 哪个板接應正极板或负极板接地一两种 两板距离 d 变化可能：变大或变小一两种 移动方式#移动正极板或负极板一一两种 所有变化自由组合，可得 23 = 8 电容器形态变化 〖老王总结〗外移：正小负大，接地无关（正极板外移电势变小，负极板外移电势变大） 同理可得内移正大负小，接地无关试，蹬乙、 五、与电源断开时，电容器变化规律及结论 一内八良小 例 2．电容器与电源断开，0 不变，上极板带正电，下极板 B 带负正电，将上极板移到虚线处， 判断： （1） C.0、伏分别如何变化 （2）两极板中间的细何变化

原书第258页

，若增大》则 c 减小；根 c 〖解析〗 〈 I)根 C = 4 4 冗地 ，若 0 不变，则 E 不变。 若 0 不变，则 U 增大根据 （2）由件一：一矧，根据君不变，若 | 以增大，则减小。 若本题改为下极板接地，则：孬：矧 p ，若 E 不变， IPBI 不变，所以不变。 〖答案〗 （ I) C 减小； U 增大礻 0 不变《不变 （2） ％减小 〖老王总结〗 外移：正地小负地大，非地不变 内移:正地大负地小》非地不变 毳飞《0 義賃泓響就 向外移动接地的正极板，电势减小；向外移动接地的负极板，电势增大；向外移动不接地的极板，电势不变。 例 3。如图所示，平行板电容器经开关 s 与电池相连接， 。处有一带电量非常小的点电荷， S 是闭合 的，表示。点的电势， F 表示电荷受到的电场力。现将电容器的 B 板向下稍微移动，使两板间距离增 大，则 A.件变大， F 变大 c.不变， F 不变 〖解析〗 B.变大，尹变小 D.不变， F 变小 判断电场力：因为电容器与电源相连，所以 0 辈；离》 ，根据君 = 判断电莎·身．外移，根据“正小负大” ，则点电势变大， B 正确 〖答案〗 B 例 4· 〈2018 北京）研宄与平行板电容器电容有关因素的实验装置如图所示，下列说法正确的是 A.实验前，只用带电玻璃棒与电容器。板接触，能使电容器带电 B.实验中，只将电容器 b 板向上平移，静电计指针的张角变小 C.实验中，只在极板间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变大 D.实验中，只增加极板带电量，静电计指针的张角变大，表明电容增大 0．翎 DC ：嚹一巛蛮 2 微信搜索

12. 电场中的粒子运动——示波器

原书第259页

十二、电场中的粒子运动一一一示波器 、示波器内部原理 示波器内部原理图如图所示 设粒子质量为，电荷量为纟，初始速度为零，加速电压为，偏转电压为，两极板长度为/1， 宽度为极板右边缘与屏距离标求粒子打在屏上的侧移距离 DO 列出每个过程的独立方程，根据加速过程中的动能定理，偏转过程中的平抛运动公式，如图所示的 几何关系，得 加速： qUI = 一“ 偏转:9 = 侧移距离:刀 = 弘 + 艿 亭 U2 2u2 联立解得刀 = 4 UI 2 UI 观察 D 的表达式，可知前后两项关于每个变量的单调性相同，据此，可定量判断刀随各物理量的 变化关系。

原书第260页

例 1．如图所示，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射人电势差为的两块 平行极板间的电场中，入射方向跟极板平行，整个装置处在真空中，重力可忽略·在满足电子能射出平行 板区的条件下，下述四种情况中一定能使电子的偏转角 9 变大的是〈 ） A.变大，变大 B.仂变小，变大 0 变大，仍变小 D. UI 变小，变小 〖解析〗 由为： /2 及 得一监一生、则根据单调性，减小或仍增大可使 9 变大。 /2 2Uld 〖答案〗 B 例 2。如图是示波管的工作原理图:电子经电场加速后垂直于偏转电场方向射入偏转电场，若加速 电压为，偏转电压为，偏转电场的极板长度与极板间的距离分别为和，为电子离开偏转电场 时发生的偏转距离。取“单位偏转电压引起的偏转距离”来描 灵敏度越高） ， ” 、 ’ （ ） C.减小 L 〖解析〗 根据！一蚯，得 1 〖答案〗 D D.减小 ·一． ，因此要增加灵敏度，需要减小 4Uld

原书第261页

例 3。 〈2016 北京）如图所示，电子由静止开始经加速电场加速后，沿平行于版面的方向射入偏转 电场，并从另一侧射出。己知电子质量为电荷量为 e ，加速电场电压为‰ 。偏转电场可看作匀强电 场，极板间电压为 U ，极板长度为島板间距为 （1)忽略电子所受重九求电子射入偏转电场时的初速度鞫和从电场射出时沿垂直板面方向的偏转 距离卸； 0）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。在解决(1)问时忽略了电子所受重力 请利用下列数据分析说明其原因。已知：2·0 × 1 v ， = 4．0 × 1 俨 m ， ：9·1 × 10， e = 1.6 × 10 司 9C ， g ：10 s2。 （3）极板间既有静电场也有重力场。电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势伊的定义式。 类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势” ％的概念，并简要说明电势和“重力势’啲共同特点。 ：三无 7 例 4·所不为研宄电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在平面的 ABCD 区域内， 存在两个场强大小均为君的匀强电场 I 和 ll,两电场的边界均是边长为 L 的正方形〈不计电子所受重力） 。 （ I)在该区域边的中点处由静止释放电子，求电子离开 BCD 区域的位置。 〈2）在电场 I 区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从 ABCD 区域左下角 D 处离开，求所有 释放点的位置。 〈3）若将左侧电场 II 整体水平向右移动〈1) ，仍使电子从 ABCD 区域左下角 D 处离开(D 不随电场移动） ，求在电场 I 区域内由静止释放电子的所有位置。 抄帖从 4d = 4 七

13. 非方形电压下示波器中粒子运动

原书第262页

十三 ` 非方形电压下示波器中粒子运动 、非方形电压下示波器中粒子运动 上讲我们讲了示波器内部原理图 偏转过程 电压 U2 随时间变化的图像可能为正弦型、尖角波（锯齿波）等非方形波，即构成本节的问题一一 非方形电压下示波器中粒子运动 在解决此类问 移距离为零。 、运动时间极短，为了简化运算，往往选择忽略此运动 、考点分类 此类问题通常有以下三种考察方式（以下讨论均以加正弦电压时粒子的运动为例） (1)求恰好从极板边缘射出的粒子对应的临界电压临 根据丿，一墅 ，解得： 2 4 、 ～ 一一 0 流代式 0）求有粒子射出和无粒子射出的时间之比 Um 2

原书第263页

．当 U 孓 UI 临时，全部粒子都能飞出。 @当咗 > 时，由于正弦函数的对称性和周期性，我们仅需讨论 £ 时间内的比例即可， 在此条件下，我们仍仅讨论于计算的几种特殊情况： 佐 Um 佐 Um 1、一 6 2 2 2、一 4 2 2 4 2 匹一匹 2 3 4 6 其他情况的计算方法与上述方法相同，利貊躞·在此不再一一讨论 （3）求屏上的亮谋无水’ 孬如图所示 ．当 ． ．得 L = 2D 一 2（ 由 D ：弘 + 为。 4Uld 2U@ 4 2 @当咗 > 时，如图所示

原书第264页

根据速偏角与位偏角的关系》结合图中的几何关系， 则 = 2。 2 tana = 解得一 2D ： + ·亠 磊 ^ 0g0 9 例 1.在真空中有水平放置的两个平行，正对金属板，板长为 7，两板间距离为在两极板间加一 交变电压豺一血“ 。现有质量为忉，电荷量为 e 的电子以速度’接近光速一）从两极板左端 中点沿水平方向连续不断的射入两平行极板之间。若电子经过两极板的时间相比交变电流的周期可忽略 不计，不考虑日的相互作用和相对论效应，则（ ） A. Um ，所有电子都能从极板的右端射出 ，将没有电子能从极板的右端射出 e12 时，有电子从极板右端射出的时间与无电子从极板右端射出的时间之比为 1：2 e12 D.当： 《解析〗 Am ！羲‰计算 00 考虑粒子恰从极板边缘射出时的情况， eU& 由平抛运动公式及牛顿第二定律得。 = 解得咗： 当孓佐时，全部粒子都能飞出，故 A 正确， B 错误； c 、当一时，故 c 正确# 生一时！故 D 错误。 《答案〗 AC

14. 示波器与扫描图像

原书第265页

十四、示波器与扫描图像 这一讲，我们学习怎样描绘出粒子在非方形波中的扫描图像。在示波器示意图中，建立空间中的三 维直角坐标系 沿着“ ‘方向施加 0 线性描电压 U. “ ，竖直方向〈沿）施加一正弦波，即可得到二维扫描图 像。 添力微 1 获取最新网讠 研宄此问题时，往往通过五点作图法来描绘光屏上的图像形状，以一电子运动为例 ．屋点处竖直方向没有偏转，由于 X’处电势较高，电子水平方向偏移到处 @B 点处竖直方向由于处电势较高，电子向上偏转，协葛够 由于“ 《存在一线性扫描电压，水平方向偏移在冈 c 中间、山韪穸一礻 Oc 点处竖直方向没有偏转，水平方向没有偏转 OD 点处竖直方向由于严处电势较高，电子向下偏转， 由于“ ‘存在一线性扫描电压，水平方向偏移在中间 OE 点处竖直方向没有偏转，由于灭处电势较高，水平方向偏移到处 O 将 B, C ， D,连接成光滑曲线，即可得到二维扫描图像 在此我们强调一下所谓扫描图像，其实就是将正弦波在水平方向展开的一种线性电压。 以电子运动为例，下面用此方法解决如下图复杂电压变化的二维扫描图像问题 微信搜索公众号

原书第266页

娅丿 C/ ， ”的对应情况如右图，连接成光滑曲线即可 同理，可得从 C, 〖老王总结〗屏上呈现的图像为扫描电压包络的波形；扫描电压周越大时》频率越小，屏上呈现的波形数越多。 例 1. （2011 安徽）图（劢为示波管原理图。如果在电极《之间所加的电压图按图(b)所示的规 律变化，在电极一’之间所加的电压按图(c)所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是〈 ） 图@ 图(b) 图囵 《解析〗 观察两毖鸟孬关系可以发现，方向的扫描电压恰好包络一个完整的正弦波形，故 B 正确 〖答案〗 B 例 2·如图是示波管原理示意图》 ‘气《上不加电压时，在荧光屏的正中央出现一亮斑，现将 六 YY ‘分别连接如图甲乙所示电压，从荧光屏正前方观察，你应该看到的是图中哪一个图形？ （ 〖解析〗 卫到’ ：二为一个完整的扫描电压，因此需要观察此段时间内方向的电压图形， D 正确 〖答案〗 D

15. 方形波问题

原书第267页

十五、方形波问题 、方形波问题 与非方形波不同，方形波问题必须要考虑粒子在电场中的运动时间，并通过动力学方法来进行研宄。 这类题型与直线运动或者牛顿定律的章节中的“ ， F-t 类似，本质都是通过加速度画出速度图像， 即一 t 画一’图像， 画法如下 结论总结: 正上负下零画平（初速度为零时） 释放时刻配周期 询歹、是宅霪丨 、取最新网课发无，讲义 ’ = 一情况最常考察，其运动为交替式前进，每前进 9 个单位长度，掉头往回运动 1 个单位长 度，称之为“走三退二”问 7T 2、 T=—时刻射入的粒子因其运先退二后进三，与’ ：一时的粒子进退位移相同， 故两时刻射入的粒子终向相同，所画一 t 重合。 7T 同理， T 一一或 T ：一时刻射入的粒子与 T ：一时刻的粒子终向相反， 3、因此可总结出一般规律： T 3T 在 0 一 £ 和一 T 时间段内射入的粒子与一 〖老王口诀〗两同夹异 1 4 4 一时间段内射入的粒子终向相反。

原书第268页

例 1. （2011 安徽）如图〈劢所示，两平行正对的金属板厶 B 间加有如图 0）所示的交变电压， 一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间处。若在’0 时刻释放该粒子，粒子会时而向 板运动，时而向 B 板运动，并最终打在板上。则’0 可能属于的时间段是（ ） 4 3T 4 《解析〗 3T 4 D. T<to< 8 ： T £ 和一 T 时间段内粒子最终向 B 0 一一时，板带正电， B 板带负电，由于粒子带正电，因此 0 一 板运动； 根据“两同夹异” ，若最终使得粒子打在板上，则需要在一一时间段内释放粒子，故 B 正确。 〖答案〗 B 例 2·如图甲所示，两极板间加上如图乙所示的麦变雲 T)A 恶舅、萨 一质量为电 荷量为的电子仅在静电力作用下，在 t = 一时刻由静止释放进入两极板运动，恰好到达 B 板，则以下 说法是否正确？ 若电子在 ` ：一时刻进入两极板·它将时而向召板运动，时而向板运动，最终到达 B 板 获取最新叫课 〖解析〗 根据’ = 一时刻射入的粒子图像可知，粒子经一次加速和减速后恰好到达 B 板。因此图中 t 轴上 方一个三角形的面积即为粒子初位置与 B 板间的距离，记为 do 己知 0 一一内射入的粒子终向相同， 因此’ = 一时刻射入的粒子最终到达 B 板，但是’ = 一时刻射入的粒子第一次向 B 板运动的距离大于 会直接撞击 B 板，不会出现交替运动的现象，故该说法错误。 5 4 《答案〗错误 微信搜索

原书第269页

例 3。在平行板电容器 B 两板上加上如图所示的交变电压（只变正负，大小不变） ，0 时刻 B 板 的电势比板高，这时两板中间原来静止的电子在电场力作用下开始运动，设电子在运动中不与极板发 生碰撞，则下述说法正确的是（不计电子重力） （ ） A.电子一直向板运动 B.电子一直向 B 板运动 c.电子先向板运动，然后向 B 板运动，再返回板做周期性来回运动 D.电子先向 B 板运动，然后向板运动，再返回 B 板做周期性来回运动 〖解析〗 忤 0 时刻 B 板的电势高于灵板，因此 B 板带正电，板带负电，而电子带负电， 所以在 0 时刻释放的电子会始终向板运动， B 正确 〖答案〗 B 、方形波 + 动力学问题 如图所示，当，0、 ’ 、0、 ，场强随时间变化规律 （1) ．0， T 时的动能。 （2）带电粒子在- T 时间内通过的总位移。 〖解析〗 （1)根据正上负下零画平画出图像， 根据图像可知在一个周期内仅加速半个周期。

原书第270页

qE0 = “ nT 由运动公式、牛顿第二定律及动能表达式得 v = 2 2 铲瑞 2 矛 T2 解得： （2）记 0 一一内粒子位移为，根据“图像可知每半个周期内粒子走过的距离分别为、 因此， s = （1 + 2 + 3 + ， “ + 2 刁; 刃（2 + 1)0r2 一（一）2，代入上式即可解得 S ： 而 So= 2 2 2 0 例 2·如图所示，君为水平放置的平行金属板，板间距离为（园远小于板的长和宽） 。在两板间 有一带负电的质尹，己知若在 B 间加电压‰ ，则质点 p 可以静止平衡。现在厶 B 间加如图所示随 时间’变化的电压仂在时质点 p 位于厶 B 间的中点且初速为零。己知质点 p 能在屋、 B 之间以最 大幅度上下运动而又不与两板相碰。求吓吓 获取最新网 《解析〗首先确定一点，巪、 艹、并不一定为整周期，分析可知，某几段’可能会组成一个 周期，因此解决此间题的方法为：根据“图像反推出图像。 已知电压为时，质点尹恰好平衡，根据牛顿第二定律，得纟： ， 因此当电压为 2 时，质点加速度大小为 g ，方向向上；当电压为 0 时，质点加速度大小为 g ，方向 向下。

原书第271页

故质点先加速后减速到 0，运动到极板，位移为；再从极板先加速，后减速到 0，运动到 B 极板，位移为 据此画出图像》再根据正上负下零画平反推出 U 一 t 图像， 得一& 由运动学公式，得一亭 解得 = 4 记图中标注处时间间隔为，由运动学公式， 则 t2： + ：2 刂 = + 3：2 解得 = 2 例 3．如图所示，两块长均为/的金属板，相距水平平行放置，两板加有交变电压豺，交变电压 u 随时间 t 变化如图所示，一质量为，电量为的正离子，从两板左侧中点口沿水平方向射 入两板间，若不计重力，要使正离子恰能从两板右 0 犟射： （1)所加交变电压的’ 、一 ．4 〖解析〗 (1）分析题中条件，粒子恰从右侧中点飞出，可知丿：0 且为一 0。 因此，竖直方向上的 v 一’图像必如图所示，或以此图形为周期的情况。 1 整个射出时间为’ = 1 ，所以，当“1 时，频率最小/ 8 罗 2 解得‰ < （2）频率最小时，由一 2 4 4 狼啪的 微信搜索 丿公过关夫． ．弓．