第9章 磁场

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本章核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	磁感应强度的定性叠加计算	272
2	有效长度的计算	275
3	与洛伦兹力相关的求最大速度、最大加速度问题	277
4	如何利用速偏=圆心=2位偏解题	279
5	掌握方形磁场区域中粒子运动模型	281
6	掌握圆形磁场区域中粒子运动模型	283
7	掌握半无限大磁场区域中粒子运动模型	287
8	磁场中的相切问题——直线相切	289
9	磁场中的相切问题——圆形相切	291
10	粒子源动态圆	293
11	反向磁场区域	295
12	电磁复合场独立方程	297
13	如何解决各类叠加场应用问题	300

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 272-303 页。第九章先完成整章框架级精修：磁感应强度叠加、有效长度、洛伦兹力圆周、独立图形理论、磁场边界模型、相切临界、动态圆、反向磁场、电磁复合场与典型应用。后续可继续逐题复刻原书图像与真题答案。

01. 磁感应强度的定性叠加计算

原书第272-274页：右手定则与叠加

通电直导线周围磁场用右手螺旋定则：

大拇指指电流方向，四指环绕方向就是磁感线方向。

快速画某点磁感应强度方向：

1. 连：连接导线与该点。
2. 垂：在该点作连线的垂线。
3. 右手：按电流方向确定切线方向。

磁感应强度是矢量，多个导线或线圈产生的磁场：

$$\vec{B}={\vec{B}}_1+{\vec{B}}_2+\cdots$$

导线间安培力：

电流方向	受力结论
同向电流	相互吸引
反向电流	相互排斥

分析某根导线受力时，只看“其他导线在它所在位置产生的磁场”，不要把它自己产生的磁场算进去。

02. 有效长度的计算

原书第275-276页：安培力看端点位移

匀强磁场中，直导线所受安培力：

$$F=BIL\sin \theta$$

若导线处处与磁场垂直，则：

$$F=BIL$$

闭合导线在匀强磁场中的合安培力为 0。

非闭合弯导线的合安培力可转化为“有效长度”：

$$F=BI{L}_{\text{eff}}$$

其中 $L_{\text{eff}}$ 是导线两端点连线在垂直于磁场方向的有效位移。

大招句：弯导线不分段硬算，先连端点，求有效长度。

03. 与洛伦兹力相关的最大速度、最大加速度问题

原书第277-278页：极值先找受力条件

洛伦兹力：

$$F_L=qvB$$

方向总垂直速度，不做功，只改变速度方向，不直接改变速率。

带电圆环沿粗糙杆运动时，$v$ 改变会使洛伦兹力改变，从而改变支持力和摩擦力。两条极值规则：

问题	条件
最大速度	合外力沿运动方向为 0，即 $a=0$
最大加速度	阻碍力最小，常对应 $N=0$ 或摩擦力为 0

水平杆、电场、磁场、摩擦组合题同理：先写垂直杆方向的平衡或约束方程，求 $N(v)$；再把 $f=\mu N$ 放进沿杆方向的牛顿第二定律。

04. 如何利用速偏 = 圆心 = 2 位偏解题

原书第279-280页：独立图形理论的核心

带电粒子垂直进入匀强磁场，洛伦兹力提供向心力：

$$qvB=m\frac{v^2}{r}$$

所以：

$$r=\frac{mv}{qB},T=\frac{2\pi m}{qB}$$

粒子从 $A$ 到 $B$：

角	含义	关系
速偏角	初末速度方向夹角	等于圆心角
圆心角	轨迹弧对应的圆心角	等于速偏角
位偏角	位移弦与初速度夹角	圆心角的一半

口诀：

$$\text{速偏}=\text{圆心}=2\text{位偏}$$

运动时间：

$$t=\frac{\theta }{2\pi }T=\frac{\theta m}{qB}$$

其中 $\theta$ 用弧度。

05. 掌握方形磁场区域中粒子运动模型

原书第281-282页：双边限制区域

方形或平行板形磁场区域，本质是上下、左右边界共同限制轨迹圆。

解题步骤：

1. 由左手定则判断弯曲方向。
2. 作入射速度垂线，圆心在垂线上。
3. 用“是否碰上边/下边/右边”确定临界半径。
4. 再用 $r=\frac{mv}{qB}$ 转化为 $v$、$B$ 或荷质比。

常见临界：

临界状态	图形条件
刚好不碰上板	轨迹圆与上边界相切
刚好从右边界射出	轨迹与右边界交于端点
刚好返回左边界	半径过小，圆弧未穿出右边

06. 掌握圆形磁场区域中粒子运动模型

原书第283-286页：圆形限制区域

圆形磁场区域的常用结论：

入射点、出射点两处速度方向的延长线交点，与磁场圆心、轨迹圆心共线。

核心几何：

条件	用法
速度垂直半径	轨迹圆心在速度垂线上
磁场边界是圆	入射点、出射点在磁场圆上
速度偏转角已知	直接得圆心角与时间
轨迹与边界相切	两圆圆心与切点共线

圆形区域题最怕乱找圆心。先画两个圆：磁场边界圆和粒子轨迹圆，再用圆心连线处理几何。

07. 掌握半无限大磁场区域中粒子运动模型

原书第287-288页：单边限制区域

半无限大磁场只有一条边界，粒子从边界射入又从边界射出。

若入射速度与边界夹角为 $\theta$，轨迹半径为 $r$，则出射点到入射点沿边界距离：

$$x=2r\sin \theta$$

粒子在磁场内转过的圆心角：

$$\alpha =2\theta$$

运动时间：

$$t=\frac{2\theta }{2\pi }T=\frac{\theta m}{\pi qB}$$

注意角度要按具体入射方向和弯曲方向修正，但“弦长等于 $2r\sin \theta$”是最常用入口。

08. 磁场中的相切问题：直线相切

原书第289-290页：直线边界临界

直线相切常对应“刚好不碰边界”“刚好穿过狭缝”“最大或最小速度”。

方法：

1. 先作入射速度的垂线，轨迹圆心在这条线上。
2. 轨迹圆与限制直线相切时，圆心到直线距离等于 $r$。
3. 用几何关系解 $r$。
4. 代入 $r=\frac{mv}{qB}$。

大招句：相切就是“圆心到边界的距离等于半径”。

09. 磁场中的相切问题：圆形相切

原书第291-292页：两圆相切

圆形相切的关键：

两圆相切时，两个圆心与切点三点共线。

判断：

相切类型	圆心距
内切	$OO’=
外切	$O{O}^{\prime }=R+r$

其中 $R$ 是磁场圆半径，$r$ 是粒子轨迹圆半径。

步骤：一垂、二射、三等、四交、五再交。也就是先找轨迹圆心所在直线，再利用相切圆心距确定圆心。

10. 粒子源动态圆

原书第293-294页：定向不定速与定速不定向

动态圆是“所有可能轨迹圆”的集合。

两类常见题：

类型	不变量	动态量	图形特征
定向不定速	入射方向	半径 $r$	圆心在一条直线上移动
定速不定向	半径 $r$	入射方向	圆心在以入射点为圆心、半径 $r$ 的圆上

定速不定向时，粒子可能经过的区域常由一族半径相同的圆扫出。

11. 反向磁场区域

原书第295-296页：转向相反，圆弧拼接

粒子连续进入两个方向相反的磁场区域时，洛伦兹力方向反向，轨迹弯曲方向也反向。

若两区域磁感应强度大小相等、速度大小不变，则半径相等：

$$r=\frac{mv}{qB}$$

轨迹由两个等半径、反向弯曲的圆弧拼接。拼接点处速度方向连续，圆心分居速度法线两侧。

12. 电磁复合场独立方程

原书第297-299页：电场管速度，磁场管圆

复合场题要把运动分段：

区域	常用方程
匀强电场	类平抛、动能定理、牛顿第二定律
匀强磁场	$r=\frac{mv}{qB}$，圆周几何
交界面	位置连续，速度作为下一段初速度
叠加场	先判断力是否平衡或是否做匀速直线

电场做功改变速率：

$$qU=\Delta E_k$$

磁场不做功，只改变方向。复合场大题通常先用电场段求进入磁场的速度，再用磁场段几何求 $B$ 或坐标。

13. 如何解决各类叠加场应用问题

原书第300-303页：速度选择器、磁流体发电机、质谱仪、回旋加速器

应用	核心条件	结论
速度选择器	$qE=qvB$	$v=\frac{E}{B}$
磁流体发电机	电场力平衡洛伦兹力	$U=Bdv$
质谱仪	加速后进磁场	$r=\frac{mv}{qB}$
回旋加速器	频率匹配	$T=\frac{2\pi m}{qB}$

速度选择器只让速度满足 $v=E/B$ 的粒子直线通过。质谱仪常先由加速电压求速度：

$$qU=\frac{1}{2}m{v}^2$$

再代入磁场半径：

$$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$$

回旋加速器周期与速度无关，但最大速度受 D 形盒半径限制：

$$v_{\max }=\frac{qBR}{m}$$

最大动能：

$$E_{k\max }=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$$

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 磁感应强度的定性叠加计算

原书第272页

第九窳磁场 、磁感应强度的定性叠加计算 、右手定则的基本内 通电直导线#右手握住通电直导线，大拇指指向导线中的电流方向，四指弯曲为周围磁场的方向； 到力方 咆崆方 通电螺线管:右手握住通电螺线管，四指弯曲指向电流的方向，大拇指指向螺线管内部磁感应强度方 向虱&方向） -过力方 、运用右手定则的两种情形 1、通电直导线 俯视图;以通电直导线为圆心的同心圆，且满足右手螺旋定则。某点的磁感线方向为该处的切线方向。 题目中通常只需画出某点的磁感线 B 的方向，故无须通过“画圆找切线”的方式，可通过“一连二垂 三右手”的方式快速找出磁感应强度方向： 一连:连接此点与导线。 二垂:在此点处做连线的垂线。 不画生； 《饷。 三右手：大拇指在导线处，指向电流方向，四指弯曲方向即为此点的磁感应强度方向。

原书第273页

1 四、导线之间的安培力 2、通电小线圈 注意拇指方向为线圈内部的磁感线 B 的方向 、磁感应强度叠加计算 如图，两根通电直导线间在空间某点产生的磁感应强度 B 满足矢量叠加原则。 C.2B 2 如图所示，通有同向电流的两根导线，右侧导线处在左侧导线产生的叉状磁场中，根据左手定则，所 受安培力向左《同理左侧导线受力向右，导线向互吸引。 若导线间的电流反向，则受力相互排斥。 〖老王总结}受力足“同吸异斥 〖老王提醒]分析某根导线所受安培力时，可艹线电流产生磁场忽略。 例 1.三根相互平行的通电长直导线放在等边三角形的三个顶点上，右图为其截面图，电流方向如 图所示 。若每根导线的电流均为杰每根直导线单独存在时，在三角形中心 0 点产生的磁感应强度大小 都是 B ， ．则三根导线同时存在时 0 点的磁感应强度大小为（0 D. JSB

原书第274页

例 2·在等边三角形的三个顶点。 、 b 、 c 处，各有一条长直导线垂直穿过纸面，导线中通有大小相 等的恒定电流，方向如图。过 c 点的导线所受安培力的方向〈0 A.与劢边平行，竖直向上 B.与劢边平行，竖直向下 C.与劢边垂直，指向左边 D.与劢边垂直，指向右边 上 右 例 3． 〈2011 全国）如图，两根相互平行的长直导线分别通有方向相反的电流和/2，且 > /2；口、 b. c 、为导线某一横截面所在平面内的四点，且 b 、 c 与两导线共面； b 点在两导线之间， b 、的 连线与导线所在平面垂直。磁感应强度可能为零的点是（0 A. 。点 C. c 点 B. b 点 D.点 C 貔 例 4·00 隳锸 I ，一互平行的固定长直导线、和两两等距，均通有电流/ ，厶中 电流方向与；中的相同，与磊中的相反，下列说法正确的是 A.所受磁场作用力的方向与、局所在平面垂直 B.所受磁场作用力的方向与、乙 2 所在平面垂直 C.厶、和单位长度所受的磁场作用力大小之比为 1：1： D.儿 1、和 L3 单位长度所受的磁疡作用力大小之比为： ：1

02. 有效长度的计算

原书第275页

、有效长度的计算 、闭合导线的安培力 如图所示的闭合导线处在磁感应强度为 B 的磁场中，导线中通有大小恒定的电流 1，求闭合导线所受 到的安培力？ 原理:将闭合导线分成份极短直导线，第段直导线受到安培力：泓。注意与方向始 终垂直。 则闭合导线受到的安培力之和： BI()i + + · “ + ） 。 又因导线闭合，故 + £ 2 + ． “ + ：0，故 = 0。 〖老王总结〗匀强磁场中闭合导线所受安培力为零 、非闭线的安培力 2 如图所示，求非闭合导线在磁场中受到的安培力？ 原理:将非闭合导线两端点朩连接，由于：0，故 1、2 两段导线所受安培力等大反向，即 ： 」 ：@屿卜其中为 1 段非闭合导线的有效长度。方向与 1 段导线安培力方向相同。 〖老王总结〗求非闭合导线所受安培力问题，可转求有效长度的几何问题。

原书第276页

例 1.如图，一段导线位于磁感应强度大小为的匀强磁场中，且与磁场方向〈垂直于纸面向 里）垂直。线段、 bc 和 cd 的长度均为厶且 Z c = Zb = 135。 。流经导线的电流为孬方向如图中 箭头所示。导线段劢所受到的磁场的作用力的合力（ ） A.方向沿纸面向上， B.方向沿纸面向上， C.方向沿纸面向下》 D.方向沿纸面向下， 大小为（轭 + 1）肌 大小为（轭一 1)肌 大小为（ + 1） 大小为（一 1） 例 2· （2019 新课标 1 卷）如图，等边三角形线框 7 435 ` 的导而成，固定于匀 到的安培力本’聚线 0 0．5F 的安培力的大小为〈 B. l.5F D.0 轟 F 驴钞一炳剮

03. 与洛伦兹力相关的求最大速度、最大加速度问题

原书第277页

、与洛伦兹力相关的求最大速度、最大加速度问题 1、涉及洛伦兹力的磁动力学问题 如图所示，匀强磁场磁感应强度大小为 B ，方向垂直纸面向里》倾斜直杆一端固定在水平地面上，套 在杆上的带电量为的小圆环由静止下滑，直杆与圆环间动摩擦因数为声，求圆环的最大速度和最大加 mgsin9—f 〖解析〗印对圆环受力分析：由牛顿第二定律; gs 一歹。 “ ，解得 = “印一、小圆环由静止下滑 无水 ‘訊蟲最大， mgsin9 =gsin9 二、小圆环继续下滑 综上描述 v 一图像：

原书第278页

当圆环所受合外力为零时， = 0，达到最大。 N+mgcos9=qvmB gs + g s9 由 f=mgsin9 《老王总结〗 ．物体达到最大速度时， = 0》即合外力为零； ．达到最大加速度时》丆 = 0，即摩擦阻力为零。 例 1·如图所示，在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，水平放置一足够长的绝缘直棒，棒上套着 一个带正电荷的小球，电场强度为方向水平向右，磁感应强度为 B ，方向垂直纸面向里，小球质量 为带电荷量为纟，小球沿水平棒滑动时动摩擦因数为声。小球开始向右滑动后， 〈1)求小球的最大加速度以及此时的速度 （2）求小球的最大速度 鬥 小孬孬辩鼾． &0 上 林“巛勾刍飞：0 欷拖 若 E ：10N 犭》 ，5T ，小环从静止起动。求： (1)当小环加速度最大时，环的速度和加速度： （2）当小环的速度最大时》环的速度和加速度。 嗎到泸征叫：0 嗎叫唯叫 X × 又 ·吁乖回忄庵乒孳

04. 如何利用速偏=圆心=2位偏解题

原书第279页

四、如何利用速偏 = 圆心 = 2 位偏解题 在本章节中，将重点引入全新的“独立图形理论”解决带电粒子在磁场中的运动，与“独立方程理论” 相类似，利用基础的图形性质及特征讲解更复杂问题。 、公式 由洛伦兹力提供向心力得： 忉 4 2 2“2 T = T2 2 T 设某一粒子在磁场中运动，经过时间由运动到 B ，速度及受力方向如图所示 2 。者可 T = 也可解出相同答案 粒子运乛点， “ 《一一 获取最新叫谋 速度偏转角：圆心角 连接线段冈猕即为粒子运动的位移，则。为位移偏转角 由几何关系可得： = 一；结论速偏：圆心位偏 从数学角度理解：切切角一圆心角：2 弦切角一一’ / 〖老王提醒〗有了这个结论，可在解题过程中无需寻找圆心等，直接根据位偏角或者速偏角等信息计算圆心角，得到 粒子运动时间 t =

原书第280页

例 1.钍核狲发生衰变生成镭核并放出一个粒子。设该粒子的质量为电荷量为 q ，它 进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极 SI 和间电场时，其速度为经电场加速后，沿方向进 入磁感应强度为 B, 、0；巴 0《 》 、 、 ，垂直平板电极当粒子从 P 点离开磁场 时，其速度方向与 0，方位的夹角《 ：60。 ，如图所示，整个装置处于真空中。 求粒子在磁场中运动所用时间 《解析〗入射方向为，粒子出磁场时速度方向与夹角为：60。 放射臃 因此，速度偏转角为：60。 ，则圆心角为 = 60。 = 3 根据’ = 〖答案〗 解得’ = 速度方向 例如图所示，在一个边长为。的正六边形区域内存在磁感应强度为方向垂直于纸面向里的 匀强磁场所三个相同带正电的粒子，比荷为，先后从点沿 AD 方向以大小不等的速度射入匀强磁场 区域，粒子在运动过程中只受到磁场力作用，己知编号为．的粒子恰好从 F 点飞出磁场区域，编号为@ 的粒子恰好从 E 点飞出磁场区域，编号为 O 的粒子从边上的某一点垂直边界飞出磁场区域，则〈 A.编号为．的筘在磁场区域内运动的时间为里 B.编号为@的粒子在磁场区域内运动的时间为里 三个-一间依次增加 D. 〖解、如图所示，作出点飞出时的位偏角 = 30。 ， 同理可得 F 点飞出时的位偏角即为： ：60。 作出垂直飞出的速偏角 = 30。 ，根据“速偏：圆心一 2 位偏” 2 冗 ，得：120。 ， = 根据’ ： X X ，名：30。 ， = 此处，利用排除 ABD 选项，可得 C 为正确选项， C 选项会在接下来的第二节独立图形理论中进行 解释 〖答案〗 C 例 3。一匀强磁场的磁感应强度大小为 B,方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，劢为半 圆， “ 、 bd 与直径劢共线， “间的距离等于半圆的半径。一束质量为电荷量为 q 〈 q ）的粒子， 在纸面内从 c 点垂直于“射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动 时间最长的粒子，其运动时间为（ ） 7 窟 5“4 3“ D. B. C. A. 微信搜索

05. 掌握方形磁场区域中粒子运动模型

原书第281页

五、掌握方形磁场区域中粒子运动模型 本节内容总结独立图形理论 0）二方形区即双边限制区域 通常在题目中会求猕或者荷质比等，我们常根据半径冖作为中间参量过渡，从而求解其 他相关参数。此方法简记为: “根据几何求半径，根据半径求其他” 现总结方形磁场中的基础图形 .1.双边限制一方形场一平进斜出 粒子运动轨迹如图所示，作出速度方向垂线，两垂线交点即为圆心 0，竖直方向侧移距离为 D2 + ；可再由 r 一里求其他相关参数。 由勾股定理，得@一 D ）2 + L2： ，2《化简得 r = 如图集，分别为平抛运动与圆周运动示意图， 圆周运动 平弛运动 根据平抛运动轨迹方程，得丿 = 根据上式推导圆周运动半径公式，得 r= 根据轨迹方程思想， ．式进一步说明该曲线为抛物线轨迹 @式进一步说明该曲线为圆轨迹 1/0 2 + 少 心鳳祀囤眄”

原书第282页

例 1.长为的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为 B,板间距离也 为厶板不带电，现有质量为电量为的带正电粒子〈不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线 以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是〈 ） A.使粒子的速度驴 < 5B B.使粒子的速度” C.使粒子的速度 v > ． 5BqL D.使粒子速度一一。 < 《解析〗由于粒子可向右飞离磁场区域，也可向左飞离磁场区域》故分两种情况 × X 翼 （1)当粒子速度足够大时，粒子向右飞出，取粒子恰从极板右边缘飞出的临界情况，满足方向磁 场区域，其中侧移距离为， 2 5 L 5 —L 《根据里：巨 L ，解得 2 4 功 2 （2）当粒子速度较小时时，粒子转了半圈从左侧飞出，取粒子恰从极板左边缘飞出的临界情况， 其直径为。 mv L 解得 因此，为使粒子不打在极板上，速度应满 课标 2）如图，边长为的正方形劢内存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B,方 向垂直于纸面（劢 cd 所在平面）向外。劢边中点有一电子发射源可向磁场内沿垂直于劢边的方向 发射电子。已知电子的比荷为则从两点射出的电子的速度大小分别为(B) 4 4 4 2 4 4 〖解析〗本题与上题类似，由上题可知，从。点飞出的粒子运动半径为一，从点飞出的粒子运 动半径为一乙，无需进一步计算即可判断 B 正确从忒点、明，诲·眄 〖答案〗 B

06. 掌握圆形磁场区域中粒子运动模型

原书第283页

六、掌握圆形磁场区域中粒子运动模型 本节内容总结独立图形理论（3）一圓形区域，即圆形限制区域 以下结论在考场中不要求推导证明《会应用即可 模型一、当粒子指向圆心射入时，运动轨迹满足“指心入，背心出” ，即．出射时速度方向的反向延长线必 然过圆心。 证明如下： 在半径为 R 、圆心为 0 的圆形磁场区域中，粒子由点运动到 B 点，轨迹如图所示，轨道半径为 r ， 轨道圆心为伊 则需证明 0、 B 、衫共线，由于作出速度方向的垂线，则证日 z 心连线” ，即连接 0 伊，可证得 00、钾义资去： ， 模型二、 “指心入，背心出” ，求侧移距离 如图所示，即为速偏角，则圆心角为 由几何关系及二倍角公式，得 D=(L+R)tan9 2 加 n 一 n = 2 2 2 解得侧移距离 D ： （ + 母 r2 一灭 2 模型三、任意方向射入一一结仑速度交点、两圆圆心三点共线 证明如下：

原书第284页

在半径为巛圆心为 0 的圆形磁场区域中，粒子由点运动到点，轨迹如图所示，轨道半径为 r, 轨道圆心为俨 延长点和 B 点处速度方向，交点为 M,则 0，伊三点共线，现证明如下: （1)根据八 400》厶 B00；得 Z 伊关 0 = ZO 《 BO ， Z3 = Z4 （2）根据 ^ 屋 0’ M ABO’M ；得 M = 杰 （3）根据八 40M ^ BO. 《 ；得乙 = Z2，所以 ZI + Z3 = 180。 ， Z2 + Z4 = 180。 即 M ，0，01 三点共线 〖老王总结〗圆形磁场区域辅助线做两圜心连线。 的匀强磁场，一质量为、电荷量为纟的粒子沿图中直线在圆上 开该区域，离开时速度方向与直线垂 度沿直线在点射入柱形区域，也在 B 点离开该区域。若磁感应 强度大小为 B ，不计重力，求电场强度的大小。 《解析〗圆形场区，任意方向射入，符合圆形磁场区域中的第 3 种情况 根据“速度交点、两圆圆心三点共线” 作出速度方向交点朊速度切线方向交点伊， （注意 M 点及伊电不确定是否在圆形磁场上，切勿根据直觉或视觉将图形特殊化） 0 吐 则轨迹半径 B 伊 = 屋伊 = 0 可得四边形 BOIAM 为正方形《因为 M ，0，伊三点共线；由 0 向 AM 作垂线，垂足为 C ，则伽 = R ， OC = 一心根据勾股定理得 C = 一 又 zMO 嵯 = LOMC = 45。 ，得 MC=OC=—R;则 r=AM=MC+AC=—R 匆 R 洛伦兹力提供向心力，根据些一， ，解得％ = 5 窮

原书第285页

根据平抛运动公式，得一，解得“ 2％ 〖答案〗落一 1 匆 B ‘灭 ：将％代入，解得 = 14 2R 5 例 2·如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度从点沿直径 OB 方向射入磁场，经过时间从 C 点射出磁场， OC 与 OB 成 60。角。现将带电粒子的速度变为一 3 仍从点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为〈 ） 1 B.2 2 〖解析〗 3 D.3 速度偏转角 X × × X ，交点为轨 本题粒子轨迹“指心入，背心出” ，符合圆形磁场区域中的第 1 情况，延长速度切线《向 “责料添’ 。微信： “ a543 道圆心 0 飞， OC 与 OB 夹角即为第一次运动的速度偏转角； 所以，第一次圆周运动的圆心角 当速囕毳缶毖 3 在 0 上取距离关近的三等分点伊，即为第二次运动的圆心》分别连接两圆圆心俨与仂伊与 —R;则 z 0”0 = 60。 。 由几何关系，得 0 ℃ ： R ，0 = 3 因此，第二次圆周运动得圆心角为 2 0”0：120。 根据? = 得/ ：2 厶／ 〖答案〗 B

原书第286页

例 3·在直径为的圆形磁场区域内存在着匀强磁场，磁感应强度为 B ，磁场方向垂直圆面指向纸 外。一电荷量为质量为带正电粒子，从磁场区域的一条直径 C 上的点沿纸面射入磁场，其速 度方向与 AC 成。 = 巧。 ，如图所示，此粒子在磁场区域的运动过程中，速度方向改变了 90。 ，重力可忽 略不计，求 (I)该粒子在磁场区域内运动所用的时间 （2）该粒子射入时的速度大小 v Cm 釘：簧萝：一 例 4。 （2021 全国乙）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为、电荷量为

0）的带电粒子从圆周上的点沿直径方向射亽射“疡大小为、 获取最新 力，则为（ 1 A. 2 3 2 上一亠 ，不计重 × 丿

07. 掌握半无限大磁场区域中粒子运动模型

原书第287页

七、掌握半无限大磁场区域中粒子运动模型 本节内容总结独立图形理论〈4）无限大区域，即单边限制区域 1、在如图所示的磁场区域中，一质量为，带电量为的粒子由点运动到 B 点， 9 = 2 设粒子运行的位偏角为，根据“圆心：2 位偏” ，洛伦兹力提供向心力，得 5 讥坛 ．塑，此即通过粒子位移确定时间的解题方法。 解得粒子运行时间 = 2、若质量、电荷相同，电性相反的粒子分别沿优弧和劣弧运动，其运动时间之和为 2 2 一 ；由于二者速偏角相等，则出射方向相同。 。新叫谋及无讲义资荠小 巨一．一一一辅助线： “半无限大作中垂” 3、 2 in 对于劣弧： D=2rsinp= 2 v sin()t 一叻一 2 v sin 伊 对于优弧： D = 2rsin()t 一叻 = 则粒子沿优弧与劣弧运动时，侧移距离不变。 〖老王总结〗亭无限大磁场区域辅助线做中垂线。

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例 1.在轴上方有垂直于纸面的匀强磁场，同一种带电粒子从 0 点射入磁场。当入射方向与轴 的夹角。 = 45。时，速度为边、 ”的两个粒子分别从心两点射出磁场，如图所示，当。为 60。时，为 了使粒子从的中点 c 射出磁场，则速度应为（ ） A.一 01 + 叼 C. 3 〖解析〗 B. 2 m 一 + 叼 2 2 v 根据侧移距离公式，得一． sin 45。 ， Ob = —?-sin450， Oc sin 60。 00 + 0 根据几何关系， = ；解得屿： 2 本题也可利用估算的方法求解 6 2 s 伊 在。 = 45。的条件下，仍使粒子从 c 点射出，根据侧移公式 D = 则此时从 c 点射出的速度为得亠若伊增大， D 不变，则秒减小， 仅 D 选项符合渺 3 < 兰则 D 正确。 〖答案〗 D 例〈2022 湖北）在如图所示的平面内，分界线 SP 将宽度为乙的形区- 一部分充 为 B ， SP 与磁场左右边界 重为虽场，磁感应强度大小均 重力。若离子从 p 点射出，设出射方向与入射方向的夹角 为则离子的入射速度和对应 e 角的可能组合为（ ） C. L ，60。 3 D.2kBL,60。 氵 × 氵 × 念 0 到 0 〖老王总结〗在有界磁场区域中》辅助线的做法如下： 方向区域做腰高 圆形区域做连 微信搜 丿公夫．弓． ，

08. 磁场中的相切问题——直线相切

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八、磁场中的相切问题一直线相切 磁场中的相切问题常与临界分析有关，分为直线相切与圆形相切，本节重点讲解直线相切问题。直 线相切问题的核心是通过一定方法寻找圆心，作出岿要辅助线学生的学习误区是往往通过描绘粒子运 动轨迹，大致判断圆心位置，补充辅助线，这会使得解题的逻辑不严谨，出现由答案推导答案的错误。 例如，如图所示，某粒子的运动轨迹在磁‰中与右侧直线相切，如何规范寻找圆心位置并补充相应 辅助线？ 切点 显然，速度方向与圆相切，且右侧直线也为轨迹圆切线，利用初中所学几何知识，两切线所成角的 角平分线必过圆心，再结合速度垂线过圆心，即可得到圆心具体位置总结方法如下 ．延长初速度与右侧直线 @令两条直线交于一点 义冫料添加微信： O 作上一步所得交角的角平分线 O 由都晷高凫直线作垂线，得到切点 〖老王大招〗 “一延、二交、三分、四垂、五再垂” 〖老王提醒〗 ．严格按照“一延、二交、三分、四垂、五再垂”的步骤解题》最重要的步驟为“延” ，即通过延长找到两条线的交 ．加强几何计算 例亂如图所示，一足够长的矩形区域 abcd 内有反向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 现从矩形区域边的中点 0 处以速度％垂直磁场射入一带正电粒子，速度方向跟边夹角为 30。 》 己知粒子质量为，带电量为，边长为重力影响忽略不计。 若粒子能从劢边上射出磁场，求初速度％大小的范围 〖解析〗此题需讨论两种临界情况，即轨迹分别与边和边相切： 。 \ 。 ．当速度较大时，轨迹与边相切 根据步骤“一延、二交、三分、四垂、五再垂” ，如图所示，找到圆心以及切点

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根据几何关系得： r ：里． ，如图所示，故半径恰为 因此，圆心伊恰好落在直线劢上》解得： 由题意可知％应满足‰孓当 @当速度较小时，轨迹与砀边相切 根据步骤作图，如图所示，找到圆心以及切点 根据几何关系，得到长度和角度信息，如图所示，则才 + rsinjou 〖答案〗咝。 得， = 〖总结〗 ．严格按照“一延、二交、三分、四垂、五再垂”的步骤解题，最重要的步骤为“延” @加强几何计算 例 2·一匀强磁场，磁场方向垂直于猡平面，在平面上，磁场分布在以 0 为中心的一个圆形区 域内。一个质量为、电荷量为的带电粒子，由原点 0 开始运动，初速为方向沿正方向。后来， 粒子经过丿轴上的 P 点，此时速度方向与丿轴的夹角为 30。 ， P 到 0 的距离为如图所示．不计重力的 影响。求磁场的磁感强度 B 的大小和猡平面上磁场区域的半径 RO

09. 磁场中的相切问题——圆形相切

原书第291页

九、磁场中的相切问题一圆形相切 根据中学知识可知:当轨迹圆与磁场圆内切时，两圆圆心必过切点，因此可得圆形相切问题解法 O 作己知初速度方向的垂线 7 @由磁场圆圆心向外作射线 O 射线与 O 中所作垂线交于点创，与磁场圆交于 M ，使得 0 = O’M 。 O 交点伊即为轨迹圆的圆心 O 交点 M 即为切点 以上步骤可总结为 “一垂、二射、三等、四交、五再交” 例 1.核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子一 则不可能发生核反应） ，通常采用磁约束的方法（托卡 区域，中空区域中的带电粒子只 ：4 × 107c 愆，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算 （ D 粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 〈2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 一姒吖．1 思 小范围内（否 冫强磁场围成中空 微信搜索公众号

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〖解析〗 （1）由粒子沿半径不能穿越磁场的最大速度可知: 最大速度的粒子运动轨迹与磁场圆相切，根据步骤“一垂、二射、三等、四交、五再交” ， 如图所示，找到轨迹圆心 0’以及切点 M ，几何关系如图所示，则 0 伊一一’ 因此，由勾股定理，得，2 + ：一 r)2 × kO’ 2 解得， ： ’ -R12)qB 代入， = 2 （2）分析图形可知，粒子轨迹与磁场圆相切的最小半径为 r ：一如图所示 代入 ，解得罗 = 2 2 例 2。 （2020 新课标 3）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为。和 3。的同轴圆柱面， 磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为 v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场。己知 电子质量为电荷量为 e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的 磁感应强度最小为（ ） A. 2“ 3 萨 C. 4“ 3 v 5 X X mV 渺锡驴正，到应「一縋轹迹与吻相忉 又 × 微信搜索

10. 粒子源动态圆

原书第293页

十、粒子源动态圆 考法一:定向不定速 1 2 如图，当粒子以相同的速度方向、不同的速度大小源源不断粒子从 0 点射入磁场，形成如图的“放缩 圆隽各个圆相切于 0 点。 考法二定速不定向 2 2 1 1 如图，相同的速度大小、不同的速度方向源不断粒子从 0 点射入磁场，形成如图的“旋转 圆” ，各个圆相交于 0 点。 〖老王总结〗对于“旋转圆” ，常用旋转法解题 1、先定一个速度: 选取某个速度方向。 2、一个速度配半 有时也配特定圆心角的圆弧。 3 ` 旋转该速度，与转向吻合: 旋转速度及运动轨迹，旋转方向与錈转向相同，比如当粒子逆时针运动，旋转速度方向也是逆时针方向。

原书第294页

例 1.如图，在一水平放置的平板的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为 Bp 磁场方向垂直 于纸面向里。许多质量为带电量为匆的粒子，以相同的速率沿位于纸面内的各个方向，由小孔 0 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域， ，哪个图是正确的（ ） 其中 R = M 卜一 2 一一 2 一 龀认茈 例 2·如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的 场内有一块平面感光板劢，板面与磁场方向平行，在距 &它向各个方向发射。粒子， 纸平面中运动的。粒子，求上被。粒子打中的区域的长度。

11. 反向磁场区域

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十一、反向磁场区域 粒子连续通过两个相反的磁场区域时： 鲒论一:根据左手定则， 。 。粒子在两区域中的转向相反， 结论若出入方向平《则满足 0 证明如下零如图所示，存在相邻磁场区域 I 、 ll ，宽度分别为、与，各自存在垂直纸面的匀强磁 场，磁感应强度分别为 BI 、 。质量为羽，带电量为 q （纟 < 0）的粒子以速度％射入区域 I ，射出区 域 110 若粒子入射速度方向与出射速度方向平行，求、 L2、 BI 、 B2 需满足的关系。 II 〖解析〗由左手定则可得，粒子在区域 I 逆时针旋转，在区域 II 按顺时针旋转，设粒子射出区域啲速 度为，且两轨迹圆相切于 M 点，如图所示： 获取最新叫谋及无’ 由几何关系可得 ^ OIM -AB02M ； AADM -ABCM ， （用呵狡相） AOI AM AM DM B02 BM BM CM 。 Aq DM 由上述关系可得 B02 CM 由洛伦兹力提供向心力可得： 厶、 L2、 、 B2 满足关系： 倒甙 il) 2 衫 0 qvB= 2 BI 2，即 BILI ： B2。

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例 1.两平面荧光凭互相垂直放置，在两屏内分别取两垂直与两屏交线的直线为轴和丿轴，交点 0 为原点，如图所示，在， ，0 < 。的区域中有垂直与纸面向外的匀强磁场，在户 0，癆的的区域有 垂直与纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为 BO 在 0 点处有一小孔，一束质量为 带电量为 q 〈 q 冈）的粒子沿轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射 粒子的速度可取从零到某一最大值的各种数值。已知速度最大的粒子在 0 < 口的区域中运动的时间与在 口的区域中运动的时间之比为 2：5，在磁场中运动的总时间为 0 力 12，其中 T 为该粒子在磁感应强度 为 B 的匀强磁场中做圆周运动的周期，试求两个荧光屏上两线的范围（不计重力的影响） 1 以 a 薹一

12. 电磁复合场独立方程

原书第297页

十二、电磁复合场独立方程 1、母题模型 如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为君，方向与丿轴平行且指向丿轴负方向在无轴 下方有一匀强磁场，磁场方向与纸面垂直。质量为、电荷量为纟〈 q > 0）的粒子以平行于轴的速 度％从丿轴上 P 点处射入电场，在轴上的 0 点处进入磁场 0 桥梁 对于粒子的完整的运动轨迹，可找出有关的独立方程: 竺亠 cos stepl ：电场和磁场的临界点： 获取最新网谋改 灭：巴〈半径） · sin 队侧移距离） 〈此处仅写计算结果） step2：磁场中做圆周运动: MQ ：2， （2 一 2 刃、 / （运行时间） step3:电场中做类平抛 1·2 通过上式联立可求解所求物理量。

原书第298页

例 1。如图所示，在第一象限有一匀强电场，场强大小为属方向与丿轴平行《在轴下方有一匀 强磁场，磁场方向与纸面垂直。一质量为羽、电荷量为）的粒子以平行于轴的速度从，轴上的 p 点处射入电场，在轴上的 0 点处进入磁场，并从坐标原点 0 离开磁场。粒子在磁场中的运动轨迹与 丿轴交于 M 点。己知 0 00：2 不计重力。求 （1） M 点与坐标原点 0 间的距离《 （2）粒子从点运动到 M 点所用的时间。 加微。

原书第299页

例 2。 〈2021 全国甲）如图，长度均为 I 的两块挡板竖直相对放置，间距也为/ ，两挡板上边缘 P 和 M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为两挡板 间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为电荷量为(q>0)的粒子自电场 中某处以大小为的速度水平向右发射，恰好从点处射入磁场，从两挡板下边缘 0 和之间射出磁 场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与 0 的夹角为 60。 ，不计重力。 （1)求粒子发射位置到 P 点的距离 （2）求磁感应强度大小的取值范 （3）若粒子正好从 0 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板/的最近距离。 ：禍吁同矿綺懈 mV 一夢罪粢鰐犟@5 劁；由： F 佝：票 9 r 亠． ·亠）

13. 如何解决各类叠加场应用问题

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十三、如何解决各类叠加场应用问题 糍流体发电机 plasma 在如图所示的电容器内，磁场分布如图所示，电容器未充电，当通入 plasma 〈高温高压等离子体） 时》在洛伦兹力作用下，正粒子向上极板运动，负粒子向下极板运动，一段时间后，上极板带正电，下 极板带负电，使得电容器充电；后续再进入板间的粒子，会同时受到电场力与洛伦兹力，且二力方向相 反，当：时，粒子不再飘向两极板，充电结束。 (1)基本公式 受力平衡时 q ：@；解得：霆 = 稳定时两极板间的电压： U = = Bdv 。 （2）求回路电路中其他物理量 O 求电流 设“高压等离子体电在毿礬妇定律、电阻表达式、基本公式，得 取最新网讠 R+r U = Bdv ，解得/ ： 會 4 肀噲噲十俨 注意：公式， ：中，长度应沿电路回路中电流方向，横截面积应垂直于电流方向 在三维结构中，如图所示 bc @求压强差

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： B 襄以鳶于枚 同理，在三维结构中，可得． “ ： B O 求发电机效率一 ／ Bdv•I 厶 P 适入· v AP•S,入 当高温高压等离子体匀速运动，由受力平衡及压强公式 Uo=Bdv bc 本题解得：100％ ，说明在该发电机中，通过安培力做功，将机械能全部转化为电能，但若存在摩 擦力，效率将小于 1，这也是更多实际情景中遇到的问题，结合摩擦力进行研宄即可。 bc 同理，在三维结构中，可得 7： AP•ac•v 2、电磁流量计 B2av 电磁流量计用于计算流体的流量，即单位时间内流经管道横截面积的体积，则 0：一 = 。 加微信 获取最新网 1 当污水通入电容器时，外电路中接入理想电压表，利用电压表读数‰ ，根据 即可求得流量： S 入， 在三维结构中，如图所示，则 0 = “ ·

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若将电压表替换为电流表与电阻，如图所示 氵亏 7k I(R +r) 则 0： s,入“ s 入 则可利用电流表读数与电阻值，得丿 = R 羊 r 3、霍尔效应仪 霍尔效应仪结构如图所示，与磁流体发电机与电磁流量计不同的是需将电流通入霍尔效应仪内部， 此类问题常见考点是根据导电材料不同，确定极板带电情况。 电流 （1)孬材料导电 电流方向向右，因此正电荷向右运动，磁场方向垂直纸面向里，故带正电粒子受洛伦兹力方向向上， 正电荷向上运动，使得上极板带正电，下极板感应带负电。 0） N 型材料导电 电流方向向右》因此负电荷向左运动》磁场方向垂直纸面向里，故带负电粒子所受洛伦兹力方向向 上，负电荷向上运动，使得上极板带负电》下极板感应带正电。 1 ，解得 〈3）设霍尔效应仪两端电压为，根据 =Bd I=neSv 其中一：为霍尔系数。 《总结〗 ．牢记磁流体发电机的模型，以及相应的推导 @电磁流量计在此基础上补充公式为 0： O 霍尔效应仪在此基础上补充公式为：

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4、回旋加速器 ．形态 加戔 @D 型盒半径为灭 b ，求粒子 vmax O 求被加速的最大次数 @当 R 磊时，证明》 加微信 O 忽略粒子在交变电场中的运动时间电，求交变电流周期。 t 巫 = = O 若磁场最大强度为 B,n ：交变电压最大频率为：讨论实际达到最大速度