电场偏转模型

一、识别题眼

带电粒子以水平速度进入平行板电场，忽略重力，求偏转位移、出射角、能否飞出极板、屏幕落点或示波器图像，就是电场偏转模型。

第一动作：把运动分解为水平方向匀速、竖直方向匀加速。

题面信号	模型判断	第一动作
平行板、电压 $U$、板间距 $d$	匀强电场	写 $E=U/d$
水平射入、忽略重力	类平抛	$x=v_{0}t$，$y=\frac{1}{2}a{t}^2$
能否飞出极板	临界偏转	比较 $
屏上偏移	板内偏转 + 板外匀速	分两段算
示波器、扫描电压	电压随时间变	分段看电压与进入时刻

二、核心图谱

三、核心方程

平行板间场强：

$$E=\frac{U}{d}$$

粒子加速度：

$$a=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}$$

若板长为 $L$，初速度水平为 $v_0$，在板间运动时间：

$$t=\frac{L}{v_0}$$

板内偏转位移：

$$y_1=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{qU{L}^2}{2md{v}_0^2}$$

出射竖直速度：

$$v_y=at=\frac{qUL}{md{v}_0}$$

出射角：

$$\tan \theta =\frac{v_y}{v_0}=\frac{qUL}{md{v}_0^2}$$

四、板内与板外

电场偏转题常分两段：

阶段	水平方向	竖直方向	关键量
板内	匀速，$x=v_{0}t$	匀加速，$y_1=\frac{1}{2}a{t}^2$	出射位置、出射角
板外	匀速直线	竖直速度保持 $v_y$	屏上附加偏移

若板外到屏幕的水平距离为 $D$：

$$y_2=D\tan \theta$$

总偏移：

$$y_{\text{总}}=y_1+y_2$$

很多学生只算 $y_1$，忘记离开极板后粒子还会沿斜线继续飞行，这是示波器题最常见扣分点。

五、先加速后偏转

若粒子先经加速电压 $U_1$ 加速，再进入偏转电压 $U_2$ 的平行板：

$$q{U}_1=\frac{1}{2}m{v}_0^2$$

代入板内偏转公式：

$$y_1=\frac{q{U}_2{L}^2}{2md{v}_0^2}$$

可得：

$$y_1=\frac{U_2{L}^2}{4d{U}_1}$$

这说明：同一装置中，偏转随偏转电压 $U_2$ 增大而增大，随加速电压 $U_1$ 增大而减小。这里 $q,m$ 消掉，不代表粒子“没有受力”，而是加速和偏转都由同一粒子的比荷控制。

六、典型例题 1：板内偏转

题目：电子以速度 $v_0$ 水平进入长度 $L$、板间距 $d$、电压 $U$ 的偏转电场，忽略重力，求出射偏转位移。

解析：电子受电场力，大小为 $qE$。只求大小时：

$$a=\frac{qU}{md}$$

板内时间：

$$t=\frac{L}{v_0}$$

所以：

$$y_1=\frac{1}{2}\frac{qU}{md}{\left(\frac{L}{v_0}\right)}^2=\frac{qU{L}^2}{2md{v}_0^2}$$

答案：

$$y_1=\frac{qU{L}^2}{2md{v}_0^2}$$

方向由电荷正负和极板电势判断。电子带负电，受力方向与电场方向相反。

七、典型例题 2：是否打到极板

题目：粒子从平行板中线水平进入，板间距为 $d$。如何判断能否从板间飞出？

解析：先按“能飞出”假设，算粒子到达极板末端时的板内偏转：

$$|y_1|=\left|\frac{qU{L}^2}{2md{v}_0^2}\right|$$

若：

$$|y_1|<\frac{d}{2}$$

能从板间飞出；若：

$$|y_1|\ge \frac{d}{2}$$

说明在板内已经打到极板。

答案： 比较 $|y_1|$ 与 $d/2$。

八、典型例题 3：屏幕偏移

题目：粒子飞出偏转板后，继续飞行水平距离 $D$ 打到屏幕。求屏幕总偏移。

解析：板内偏移：

$$y_1=\frac{qU{L}^2}{2md{v}_0^2}$$

出射角：

$$\tan \theta =\frac{qUL}{md{v}_0^2}$$

板外偏移：

$$y_2=D\tan \theta =\frac{qULD}{md{v}_0^2}$$

总偏移：

$$y=y_1+y_2=\frac{qUL}{md{v}_0^2}\left(D+\frac{L}{2}\right)$$

答案：

$$y=\frac{qUL}{md{v}_0^2}\left(D+\frac{L}{2}\right)$$

这就是常说的“等效偏转点在板中央”：板内偏转等效为从板长中点开始沿出射方向延长。

九、示波器与电压变化

示波器题的两个方向要分清：

电压	作用	常见图像
偏转电压	控制竖直偏移	电压越大，亮点上下偏得越多
扫描电压	控制水平方向匀速扫描	锯齿波使亮点匀速横扫

若偏转电压随时间变化，关键不是把所有时间代入同一个公式，而是判断粒子进入偏转板的时刻对应什么电压。进入时刻不同，受到的电场不同，最终落点不同。

十、常见错因

错因	典型表现	正确动作
水平方向误写加速	把 $x$ 也写成 $\frac{1}{2}a{t}^2$	水平无力，写 $x=v_{0}t$
电荷符号漏判	电子受力方向画反	先写电性，再画电场力
只算板内偏移	屏幕题少算 $y_2$	分板内、板外两段
加速电压漏用	题中给 $U_1$ 却还把 $v_0$ 当未知	先用动能定理求 $v_0$
临界条件漏写	是否打板只凭感觉	比较 $

对应错题卡：磁场粒子与复合场错题归因。

十一、教师备课讲法

导入

把电场偏转和必修二平抛类比：

平抛：水平匀速 + 竖直重力加速
电偏转：水平匀速 + 竖直电场加速

学生只要接受“类平抛”，公式就不需要硬背。

板书主线

E = U/d
a = qE/m
t = L/v0
y = 1/2 at^2
tanθ = vy/v0
屏幕偏移 = 板内 + 板外

追问

1. 为什么水平方向速度不变？
2. 电子和正离子进入同一电场，偏转方向是否相同？
3. 为什么加速电压越大，偏转反而越小？
4. 屏幕偏移为什么不是只看板内位移？

十二、关联入口

• 教材：02-静电场中的能量
• 大招：08-电场
• 模型：复合场模型、带电粒子在磁场中运动
• 真题：磁场粒子真题索引
• 错题：磁场粒子与复合场错题归因