带电粒子在磁场中运动

一、识别题眼

带电粒子进入匀强磁场、圆弧轨迹、边界、相切、速度方向改变、求半径、时间、磁场宽度，都是本模型。

第一动作：画速度垂线找圆心。

二、核心方程

洛伦兹力提供向心力：

$$qvB=m\frac{v^2}{r}$$

轨道半径：

$$r=\frac{mv}{qB}$$

周期：

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

运动时间由圆心角决定：

$$t=\frac{\theta }{2\pi }T$$

三、几何步骤

1. 在入射点画速度方向。
2. 圆心在速度方向的垂线上。
3. 在出射点也画速度方向，圆心在出射速度垂线上。
4. 两条垂线交点为圆心。
5. 用边界几何求半径或圆心角。

四、常见边界

边界	题眼	常用几何
直线边界	从某边进出	半径、弦长、圆心角
圆形边界	从圆区域穿过	两圆相交、半径关系
半平面磁场	只在一侧有磁场	出入边界速度夹角相等
相切临界	刚好不出/刚好进入	圆与边界相切

五、典型例题（带答案）

题目：质量 $m$、电荷量大小 $q$ 的粒子以速度 $v$ 垂直进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场，轨迹圆弧对应圆心角为 $90^{\circ }$。求运动时间。

答案：周期

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

圆心角 $90^{\circ }=\frac{1}{4}$ 圆周，所以

$$t=\frac{1}{4}T=\frac{\pi m}{2qB}$$

六、几何压缩表

已知条件	常用几何	目标
入射、出射速度方向	两条速度垂线交点	找圆心
弦长 $l$ 和圆心角 $\theta$	$l=2r\sin \frac{\theta }{2}$	求半径
圆形磁场边界	两圆相交或相切	求最小磁场半径
半平面边界	出入射角相等	求偏转角
轨迹刚好擦边	圆与边界相切	临界半径或磁感应强度

磁场轨迹题的本质不是背公式，而是圆几何。半径由物理方程给，圆心角由几何给，时间由圆心角给。

七、提高例题：已知弦长求时间

题目：粒子在匀强磁场中做半径为 $r$ 的圆周运动，轨迹对应弦长为 $r$。求这段运动对应的圆心角和时间占周期的比例。

答案：弦长公式：

$$l=2r\sin \frac{\theta }{2}$$

代入 $l=r$：

$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{2}$$

所以

$$\theta =60^{\circ }$$

时间占周期比例为

$$\frac{t}{T}=\frac{60^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{1}{6}$$

八、易错点

• 负电荷受力方向没有反向。
• 圆心凭感觉找，没有用速度垂线。
• 用弧长除以速度时角度用错弧度。
• 洛伦兹力不做功，却把速度大小算变了。

九、训练小题组（带答案）

1. 半径计算

题目：质量 $m$、电荷量 $q$ 的粒子以速度 $v$ 垂直进入磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场，求轨迹半径。

答案：

$$qvB=m\frac{v^2}{r}$$ $$r=\frac{mv}{qB}$$

2. 半圆时间

题目：粒子在磁场中运动半个圆周，求运动时间。

答案：

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

半圆时间：

$$t=\frac{1}{2}T=\frac{\pi m}{qB}$$

3. 速度变化

题目：粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小是否变化？

答案：不变。洛伦兹力始终垂直速度方向，不做功，只改变速度方向，不改变速率。

十、关联入口

• 01-安培力与洛伦兹力
• 09-磁场
• 复合场模型