第7章动量

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本章核心图谱

动量核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	如何理解动量守恒的本质就是质心守恒	195
2	如何利用系统动量定理解题	201
3	如何利用微元法解决连续流体问题	203
4	巧用完全弹性碰撞公式技巧解题	205
5	巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题	210
6	非完全弹性碰撞可能发生的条件	216
7	反冲势能摩擦板模型分析	218
8	如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题	220
9	动量守恒与多过程问题	221

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 195-225 页。第七章先完成整章框架级精修：冲量动量、质心守恒、人船模型、系统动量定理、连续流体、三类碰撞、反冲与摩擦板、多过程碰撞。后续可继续逐题补齐原书图形和高考真题详解。

01. 如何理解动量守恒的本质就是质心守恒

原书第195页：动量定理是矢量式

动量定理来自牛顿第二定律：

I = F Δ t = Δ p = m v_{2} - m v_{1}

其中冲量 $I$ 和动量 $p$ 都是矢量。动量定理不能只拿速度大小相减。

冲量动量矢量差

平抛运动中，水平方向速度不变，重力冲量只改变竖直分量：

I_{G} = m Δ v_{y}

若初速度水平，落地速度大小为 $v$ ，初速度大小为 $v_{0}$ ，则：

Δ v_{y} = v^{2} - v_{0}^{2}

所以重力冲量大小：

I_{G} = m v^{2} - v_{0}^{2}

方向竖直向下。

原书第195-196页：动量守恒的条件

系统动量守恒来自“系统外力冲量为零”：

\sum I_{外} = 0 \Rightarrow \sum p_{初} = \sum p_{末}

常见三种判断：

条件	表述	典型场景
系统不受外力或合外力为零	全方向动量守恒	光滑水平面上的相互作用
某方向外力合冲量为零	该方向动量守恒	水平方向不受外力
内力远大于外力	近似动量守恒	碰撞、爆炸、反冲

原书第196-197页：质心守恒与人船模型

系统总动量与质心速度的关系：

P_{总} = M v_{cm}

如果系统所受合外力为零，则质心保持静止或匀速直线运动。若系统初始静止：

m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} = 常量

这就是“动量守恒的本质是质心守恒”。

质心守恒与人船模型

人船模型：人质量 $m$ ，船质量 $M$ ，船长 $L$ 。人从船头走到船尾，设人相对地前进 $s_{人}$ ，船相对地后退 $s_{船}$ ：

s_{人} + s_{船} = L

质心不动：

m s_{人} = M s_{船}

解得：

s_{人} = \frac{M}{m + M} L, s_{船} = \frac{m}{m + M} L

斜劈模型、圆环模型、凹槽模型，本质都是同一个水平质心约束。题目如果说“光滑水平面”“内部相互作用”“系统初始静止”，优先想：

\sum m_{i} x_{i} = 常量

02. 如何利用系统动量定理解题

原书第201-202页：系统动量定理

对系统内每个物体分别写动量定理，再相加，内力冲量相互抵消：

\sum I_{外} = Δ P_{系统}

系统动量定理

这条式子适合处理“中间有碰撞、摩擦、相互作用，但只关心系统总动量变化”的题。

内力要分清三件事：

项目	结论
内力对系统的合力	一定为零
内力对系统的冲量和	一定为零
内力对系统做功	不一定为零
理想绳、杆、静摩擦力对系统做功	常为零
滑动摩擦、弹簧、电磁作用	可能改变系统机械能

解题入口：

选系统，尽量把碰撞双方、相互作用双方放进系统。
定方向，动量题先规定正方向。
列外力冲量，不列内力冲量。
写系统初末总动量。

03. 如何利用微元法解决连续流体问题

原书第203-204页：连续体先截取一小段质量

连续流体题的关键不是“流体很复杂”，而是单位时间有多少质量发生动量变化。

连续流体微元法

设流体密度为 $ρ$ ，截面积为 $S$ ，速度为 $v$ 。时间 $Δ t$ 内通过截面的流体长度：

Δ x = v Δ t

质量：

Δ m = ρS v Δ t

单位时间质量流量：

\frac{Δ m}{Δ t} = ρS v

若这部分流体速度从 $v$ 变为 0，则挡板受到的平均力大小：

F = \frac{Δ p}{Δ t} = ρS v^{2}

如果被反弹，速度变化量要按矢量写。例如迎面弹回且速度大小仍为 $v$ ：

Δ v = 2 v, F = 2 ρS v^{2}

液体从深度 $h$ 的小孔流出，若忽略黏滞，可先由机械能得：

v = 2 g h

再用动量流率求冲击力或反冲力。

04. 巧用完全弹性碰撞公式技巧解题

原书第205-209页：一维弹性碰撞公式

完全弹性碰撞同时满足：

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}

完全弹性碰撞

通用结果：

v_{1}^{'} = \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{2}

v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{2}

动碰静时， $v_{2} = 0$ ：

v_{1}^{'} = \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}, v_{2}^{'} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}

常用结论：

质量关系	结论
$m_{1} = m_{2}$	交换速度
$m_{1} ≫ m_{2}$	小物体速度接近 $2 v_{0}$
$m_{1} ≪ m_{2}$	小物体几乎原速反弹，大物体速度很小

动碰静时，传给物体 2 的动能比例：

\frac{E _{k 2}^{'}}{E _{k 1}} = \frac{4 m _{1} m _{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}

当 $m_{1} = m_{2}$ 时，能量传递最大。

05. 巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题

原书第210-215页：共速就是完全非弹性碰撞

完全非弹性碰撞的标志是碰后共同速度：

v = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

完全非弹性碰撞

系统动能损失：

Δ E_{k} = \frac{1}{2} \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}} (v_{1} - v_{2})^{2}

动碰静时：

v = \frac{m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}

保留下来的动能占初动能：

\frac{E _{k}^{'}}{E _{k}} = \frac{m _{1}}{m _{1} + m _{2}}

损失的动能占初动能：

\frac{Δ E _{k}}{E _{k}} = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

板块模型、电磁导轨模型、弹簧最大压缩模型都可以套这个思想：

模型	共速时刻代表什么
粗糙板块	相对滑动停止，摩擦生热最大
电磁导轨	相对运动消失，电热为动能损失
物块压弹簧	弹簧压缩最大，弹性势能最大

06. 非完全弹性碰撞可能发生的条件

原书第216-217页：真实碰撞的三条筛选线

一维追碰中，设碰前 $v_{1} > v_{2}$ ，碰后为 $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ 。

碰撞可能性判断

可能发生的碰撞必须同时满足：

条件	数学表达	含义
能追上	$v_{1} > v_{2}$	碰撞前相互靠近
碰后不穿透	$v_{1}^{'} \leq v_{2}^{'}$	碰后分离或共速
动量守恒	$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}$	外力冲量忽略
动能不增加	$E_{k}^{'} \leq E_{k}$	无额外能量输入

恢复系数：

e = \frac{v _{2}^{'} - v _{1}^{'}}{v _{1} - v _{2}}

物理碰撞要求：

0 \leq e \leq 1

其中 $e = 1$ 是完全弹性碰撞， $e = 0$ 是完全非弹性碰撞。

07. 反冲势能摩擦板模型分析

原书第218-219页：反冲模型

系统初始静止，内力突然释放能量，水平方向动量守恒：

m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}

反冲与摩擦板模型

若释放的能量为 $E$ ：

E = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}

能量分配与质量成反比：

\frac{E _{1}}{E _{2}} = \frac{m _{2}}{m _{1}}

所以质量小的物体获得更多动能。

摩擦板模型要同时写两本账：

账本	方程
动量账	水平方向是否守恒
能量账	$Δ E_{k} + Δ E_{p} + Q = W_{外}$
生热账	$Q = f s_{相对}$

如果有弹簧，最大压缩或最大伸长通常对应“相对速度为 0”，也就是两物体瞬时共速。

08. 如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题

原书第220页：一次只处理真正参与的物体

多物体多过程不要一口气把所有物体全塞进一个方程。某一小过程里，谁参与碰撞或相互作用，就只选谁。

多过程碰撞独立方程

标准写法：

画时间轴，标出碰撞 1、滑动 1、碰撞 2、返回等节点。
碰撞瞬间：用动量守恒，若弹性碰撞再加动能守恒。
非碰撞运动段：用动能定理、机械能守恒、运动学或动量定理。
每一段只写本段参与物体的方程。
把上一段末速度作为下一段初速度。

大招句：多过程题不难，难在不分段。先切过程，再配方程。

09. 动量守恒与多过程问题

原书第221-225页：模型组合题的总流程

高考压轴常把“下滑、碰撞、板块、弹簧、墙、返回斜面”组合在一起。处理顺序固定：

过程类型	首选方程
光滑下滑或上滑	机械能守恒
粗糙滑动	动能定理
碰撞瞬间	动量守恒，弹性则加动能守恒
共速或最大压缩	相对速度为 0
有摩擦板块	$Q = f s_{相对}$
图像给速度	从图像读初末速度、时间、位移

综合题的检查清单：

每次碰撞前，两个物体是否真的相互靠近。
碰后速度是否满足分离条件。
系统动能是否没有凭空增加。
有摩擦时，机械能损失是否等于热量。
有弹簧时，最大弹性势能是否发生在共速时刻。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 如何理解动量守恒的本质就是质心守恒

原书第195页

第七 0 动量、如何理解动量守恒的本质就是质心守恒、动量定理推导动量定理本质来源于动力学方程。根据运动学公式及牛顿第二定律：化简得：忉驴一％一解得％一此式称为动量定理，其中 P = ” ，称为动量， / = Ft ，称为冲量注二者皆为矢量，因此在使用动量定理时的减法要求是作矢量差。例 1。一物体从距离地面为的高度处开始做初速度为的平抛运动，落地时速度大小为求该过程中重力的冲量是多少？〖解析〗错误做法：艹： “一“0，错因：此处需要做矢量差而非标量差。正确做法：记 v 一％的矢量差为，方向指向然阝谋尹水讲义、动量守恒推导如图，设绝缘且光滑的平面上有两个带正电的物体 1、2，两物体受相互排斥的静电内力及等大反向的外力， 2 P02 设它们的初动量分别为、，末动量分别为、。一 1： IF + 7 内分别列出两个物体的动量定理式，可得两式相加整理亻 + = + 2 此即为动量守恒定律式。

原书第196页

动量守恒定律的条件〈 I)系统不受外力，或所受合外力为零。〈2）某一方向动量守恒（动量可以矢量分解，且分方向具有独立性） “ 〈3）当内力远大于外力时，比如碰撞、 ·反冲、爆炸等。此时外力冲量可以忽略不计。一、动量守恒定律本质如图所示，在光滑地面上两个物体 1、2 紧挨在一起，当发生爆炸后两物体分开，设某时刻二者的动量分别为吗 h ，距离静止时的位置分别为、。 2 光滑光滑规定物体 1 运动的方向为正方向，根据系统动量守恒定律可得两边同时乘以 t,得杠杆葦黌毖，所合外力为零。伽《2)g 根据牛顿第一定律，物体所受合外力为为零时，保持静止或匀速直线运动的状态；则动量守恒的本质即是质心守恒。对于存在多物体的系统而言，其质心做静止或匀速直线运动。、伪耗扎四、人船模型糇妖知如图所示，船的长度为厶人从船头走到船尾，则人和船各自走过的距离为多少？头头船尾微信搜索公众号

原书第197页

设人前进的距离为人，船后退的距离为，由图中可得有十船：乙。根据动量守恒定律：人 = 船”船，则方程两边同乘时间 t 得 S 人：船船老王提醒〗从质心守恒的角度来看，船和人组成的系统不受外力，故质心始终处在静止状态。所以人船模型本质即是杠杆平衡。该模型可类似拓展为斜劈模型及圆环模型等例如：质量为 M 、底边长为的斜劈顶端有一质量为的小球，小球从顶端滑到底端，求斜劈后退的距离& 系统水平方向动量守恒，同样适用人船模型公式，即 L 一 s ） = 。例如：小球在大环与圆心等高的位置开始滑落，求大环后退的距离 S? 应用人船模型，即 R 一司： M 巧丶义资添加微信无水讲为 M ，半径为 R ，内外壁之间的距离远小于半径长度，内部轨道光滑，圆环放置在光滑水平地面上。此时给予在圆环轨道顶部静止的质量为的小球一个轻微的扰动使之滚落下来。试分析小球的运动轨迹。〖解析〗小球和圆环组成的系统不受外力作用，因此系统整体的质心保持静止不动，以圆环中点为原点建立平面直角坐标系，质心始终位于丿轴上。设基座横坐标为砀，小球坐标为，儿）。艿“ = 0 设小球转过角度为由水平方向动量守恒和几何关系可列出一 = R 示旧骜力一 2 化简得 M + 攴“ ）2 + 2 = R 代入化简得（〖答案〗小球运动轨迹为椭圆儿—Rcos9 ，即为小球的轨迹方程，小球的轨迹为椭圆。

原书第198页

例 2·图中滑块和小球的质量均为滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点 0 由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为 I.开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球与滑块均静止·现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘住物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角 = 60。时小球达到最高点，不计空气阻〈1)从滑动与挡板接触到速度刚好变成零的过程中，挡板助力对滑动的冲量；〈2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小· 滑块〖解析〗 (1)整个过程中系统机械能守恒，且在最低点处由水平方向动量守恒，可得滑块和小球的速度大小相等。设挡板助力对滑动的冲量为联立滑块的动量定理、系统机械能守恒，得 g / ：2 × 一俨解得/ ： ”闪@ （2）如图所示，由于滑块和小球的质获取最新网课无水 1 质点 = 中点当小球到达最低点时，小球与滑块的连线呈竖直方向，如图所示根据小球动能定理，得裥一 = 一“2，则： 2 〖老王提醒] 不 ^ 一个諑钧劝是一廊丨： I.应用该解法使得题目中“角度 60。速度减为 0”的条件没有用上。 2．关楗点：小球到达最低点时》绳子呈竖直状态。 t98

原书第199页

例 3· （2022 全国乙）如图(a),一质量为的物块 A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：物块向运动，忙 0 时与弹簧接触，到 t ：％时与弹簧分离，第一次碰撞结束， A 、 B 的图像如图(b) 所示。已知从 0 到：时间内，物块 A 运动的距离为 0·36 0。 A 、 B 分离后， A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的 B 再次碰撞，之后 A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为 9(sin = 0· ．，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求（ D 第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值《（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值訁 2 图(a) 六 00 5m 2 图(b) 卦 0 雛最新网谍薈小“ 、 “十和吖希钅·铲售 0 5 ·阝彻浒。會 Sm ．0 艿加 6 微信搜索 5

原书第200页

例 4。（2023 湖南）如图，质量为“的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为口和 b ，长轴水平，短轴竖直·质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑·以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上·整个过程凹槽不翻转，重力加速度为 g 。〈1)小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离（2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程；卸山能祠越 0 匐拒劬铙、上肀士： b 》 m 硼，卜。肀 m ： b 岬

02. 如何利用系统动量定理解题

原书第201页

、如何利用系统动量定理解题、系统动量定理推导将可视为质点的两带正电物体放置于光滑水平面上，设彼此相互作用的电场力为，对物体 1 施加外力，作用时间为· 对物体 2 施加一个外力，作用时间为’2。 2 分别列出物体 1、2 的动量定理式，有 1 两式相加可得 + 2 = + ；该式为系统的动量定理。应用此式时可以忽略中间过程和内力，从而简化计算过程。〖老王总结〗内力具有以下特征：（0 内力对系统的合力冖定为零（2）内力对系统的冲量和一定为零（3）内力对系统做功不一口力对系统做功一定不是零 0 繩、杆、静摩擦力对系统做功一定是零例 1·物体朩召相距 9，5m ，现物体又以。：10 的初速度向静止的物体 B 运动，物体与发生正碰后仍沿原来方向运动。己知物体在碰撞前后共运动 6s 后停止》求碰撞后物体 B 运动多少时间停止？（已知一 2，物体 B 与地面间的动摩擦因数均为声：0·1）〖解析〗方法一:传统做法《记初速度为，与 B 正碰前速度为，正碰后速度为。过程一: A 减速： 2 由匀加速运动公式分析得 -2pgS 解得：9 s ， = 过程二： A 、 B 发生正碰：由动量守恒得：： + 微信搜索丿公夫．弓．，

原书第202页

过程三： A, B 速至零： 0 一 =—gg(t—tAl) 由运动学公式得: 联立解得》：5，：8 耐 s ， ‰ = 8s 方法二技巧做法将小视为一整体系统，由系统动量定理得一忉 gtA 一廊 = 0 一刑，其中 0 一 10 耐 S ，一 2 孬， = 0．1。〖老王总结〗通过系统动量定理可以忽略 A 、 B 的碰撞过程，从而简化运算。例 2·质量为 M 的汽车带着质量为的拖车在平直公路上从静止开始以加速度匀加速前进，当速度为式拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下的瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为# ，那么拖车刚停下时，汽车的速度是多大？〖解析〗方法一：传统做法 g(A8+m)g 4 一一一设脱钩’拖车停、 ‘历时虍鼎。 F-gMg=Mat 解得 v;汽 gMg 方法二技巧做法取脱钩瞬间为初状态，拖车停止为末状态，整个过程中所受牵引力不变，所受摩擦力不变，故系统合力不变。由系统动量定理; （ M + 。 × 」一怖汽 + 忉 × 0 一（ M + 司％解得：微信搜索

03. 如何利用微元法解决连续流体问题

原书第203页

、如何利用微元法解决连续流体问题、考察来由: 由于连续流体不同于传统的具形的研宄对象，故高中生对其建模比较陌生。但是高考之所以考察》来自于书本上有这样两个概念电流强度的微观表达式： / = 淝 s 常应用于霍尔效应仪中; 流体流量公式：0：，应用于电磁流量计。上述两个公式推导：如图 1 所示，在通电导体内，假设导体左半部的全部电子在时间内可以完全运动到右半部。载流子浓度即单位体积电荷数记为” ，导体横截面积为&半长为为电子定向移动的速率。电流强度为单位时间内流过导体横截面积的电荷量。其表达式为： / = 5 水讲 ` 料添、微信疡液体在 £ 时间内可以完全运动到右半部，横截面积为半长为 IO 流量定义为为单位时间流过管道横截面积的体积。其表达式为：0 = 可推出： / = = SV 〖老王总结〗有别于传統，上邂两模型没有具形的研究对象（对象是流动的），故须首先建模研究对象，并在所列式子中消参。、研宄对象建模: 流体不同于固体，没有固定形状。以横截面积为 AS 、长度为的立方元〈如图 3 所示）为研宄对象，由于型、为引入参量，因此需要设法消去。一般来说，消去型常用做法：除以时间转化为速度（一 = 头消去面积的常用做法为求和合并为整个系统的面积(nåS=S ）。 AS

原书第204页

〖老王提醒〗常用消參公式： 1、非撞击类问题，用动力学公式消参。 2、撞击类问题，用动量定公式消参。例 1。一容器中充满了高度为的液体，容器底部开有小孔。求小孔打开瞬间，液体从容器中流出的速度。〖解析〗选取流出的横截面积为 AS 、长度为的液体为立方元。由于立方元为微元，容器内液体体积产生的变化可被忽略，液体压强可视为定值，因此作用在该微元上的力艹： AS 酽一 AS, g 一加速度：口 = ^ pålåS 型体为微元做匀加速运动 = 2。 = 2，解得：俪〖老王提醒〗该题解题技巧为使用公式 = 2，将微元的整个运动视为匀加速过程。例 2·人们常说“水滴石穿” ，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小·一瀑布落差为 = 20m ，水流量为 0：0·3/ s ，水的密度： LOX103 m3，水在最高点和落在石头上后的速度都认为是零· 〖解析〗题干中提到“冲击力” ，因香料添加微信：「在撞击过程中用平均速度消元。的微小水元作为研宄对象，从瀑布顶端做自由落体到底端发生碰撞，由运动学公式:水元即将落在石头上时速度一，撞击后速度为 0。设撞击过程中水元受到的平均冲击力大小为，由动量定理得 —AF = 0 一厶廓 Am=pål•åS 解得厶：唧·厶 S ． p ·少习 ^ S ·乪一 p ·型一 p ·厶/ 化简消元得：〗：解得 F ：2 × 103N ，方向竖直向下

04. 巧用完全弹性碰撞公式技巧解题

原书第205页

四、巧用完全弹性碰撞公式技巧解题、动碰静模型弹性碰撞过程中满足动量守恒及动能守恒。一国在光滑水平面上，物块以初速度为与静止物块发生完全弹性碰撞；碰撞过后二者速度分别为。运动过程满足动量守恒及动能守恒脚 1％ = 矛 + 2y2． 1 2 1 2 由．得（％彳导％ + 当整理得％一 0 = 2 〖老王解读〗该公式称之为速度差公式，说明两物体碰撞前后相对速度相等，质心速度不变。利用速度差公式，解得二者速度为：、传递系数传递系数物体 2 获得的与物体 1 提供的某物理量的比值。分为如下三种： 1.速度传递系数:物体 2 获得的速度与物体 1 初速度的比值。 2 2 〖讨论〗当 0，即《吗时，有最大值， -

原书第206页

当砩，即叫《时，有最小值， = 0 〖老王总结〗 “大非撞小球。小球倍速走，速度传递有最大” ，即大球碰撞小球时》有大的速度传递系數为 2，小球速度为大初速度的两倍。 2．动量传递系数;物体 2 获得的动量与物体 1 初动量的比值 2 当砩 0，即时，有最大值，当砩，即《时， k 有最小值，〖老王总结〗 “小球撞墙，速瓦弹。动量传两倍即小球撞击远大于本身质量的墙壁，以原速度大小反弹，小球动量改变量为原来动量的两倍。 3·动能传递系数:物体 2 获得的动能与物体 1 初动能的比值 1 2 4 4 叫叫 + 当叫：，即丝 + 丝：2 时，有最大值，魇冖〖老王总结〗 “质量相等》速度交换，动能传递达最大” ，即质量相等的两物体发生弹性碰撞时，速度大小发生交换，动能传递系數最大为 1。例 1·碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。为探宄这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型。如图 2 所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为叫、、 · 。 “ “ “ 、的若干小球沿直线静止相同相间排列，给第 1 个球的初能，从而引起各球的依次碰撞。定义第个球经过依次碰撞后获得的动能和之比为第 1 个球对第个球的动能传递系数 (I)求乩（2）若：4、码 = ，为确定的己知量·求为何值时，值为最大·

原书第207页

〖解析〗（ I)由动量传递系数结论可得，第 1 个球对第”个球的动能传递系数 2 3 4 霆 Eh, 可表示为乩 = Ekl 2 3 E] 其中： 2 4羽@2 4 4 些整理得 = （叫 + ）2 + 忉 3）2 一 1 + ）2 （2）将叫：4，：代入可得 4 4 4 × 4 × 忉 2 × 4 × × 64 2

5）2 伽 2 + 当：2 时，最大一、动碰动模型在光滑水平面上，分别以初速度、％2（ > ‰ ）运动的物体叫、，发生弹性碰撞，碰撞后速度变为当、，由动量守恒和动能守恒可得：一 + 一泐2y22@ 彳寻％1 + = V02 + 2 与“动碰静模型类似”上式可化简为％1 一 = “2 一（速度差公式），即物体 1、2 碰撞前后的相对速度相等，质心作匀速直线运动。联立动量守恒方程与速度差公式 01 2 解得 + = 忉凿 +nt2()l 一％2 + ）

原书第208页

上式两边同时加上％《 + 2（％1 +m2%2) 01 化简得其中呷‰ + 可理解为完全非弹性碰撞中的共同速度“ ” ，故上式可写作：加共一，该式体现了完全弹性碰撞的过程中包含了完全非弹性。可做如下定性理解: 初始状态下，两小球在光滑水平面上发生碰撞。达到最大时，两者达到共同速度，此时小球受到内力最大。 CIII)随着内力的减小，两小球逐渐弹开，动能和动量发生传递。对比(I) (11) 、 (II) (III)两个过程可以发现，压缩与弹开过程中内力对称，大小相等，压缩与弹开的距离也相等。因此两个过程中内力做功、冲量都是相同的。两个过程速度的相对差值:压缩 № = 弹开 № ，即％广”共共一可得鞴一加共一％口与前面推导结果相同，表达式同理。微信搜索

原书第209页

例 2。〈2010 全国(I)小球和 B 的质量分别为和且 > 在某高度处将和 B 先后从静止释放。小球与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放出距离为的地方恰好与正在下落的小球 B 发生正幢，设所有碰撞都是弹性的，碰撞事件极短。求小球关、 B 碰撞后 B 上升的最大高度。 0 咿 0 例 3·细图，半径为灭的光滑圆形轨道固定在竖直面内·小球 B 质量分别为、（为待定系数）。球从与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的 B 球相撞，碰撞后 B 球能达到的最大高度均为羔碰撞中无机械能损失，重力加速度为 g ·试求：（1)待定系数（2）第一次碰撞刚结束时小球各自的速度和球对轨道的压九（3）小球厶 B 在轨道最底处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球东 B 在轨道最第处第次碰撞结束时各自的速度。 “艹凸 0“ “ “ a543 获取不加嗎： R 如跏 ld 如伞’ ： “偷劢苤》铲伍 0

05. 巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题

原书第210页

五 巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题、动碰静模型如图所示，在光滑水平面上，初速度为％、质量为叫的物体与质量为的物体发生碰撞，若碰后二者共速，则该碰撞为完全非弹性碰撞。由动量守恒及系统动能定理得: 1 2 解得 = 2 + 〖老王总结〗 @负号表示系统动能損失；．亠为两质量的调和平均值。叫 + 模型 1：转化为系统热熊、水讲 资添、微 ` 0 《质为 0 的子弹射向质量为的物体，二者最后达到共速： @木块冲滑板类：光滑水平面上有质量为的静止木板，木板上有一速度为、质量为叫物块，最终二者也以共同速度运动。两者情况两物体最终达到共速原因是过程中统擦力做功，统动能转化为摩擦热。

原书第211页

以板块模型为例深入分析：物块所受摩擦力向左且做负功，木板摩擦力向右且做正功。当二者共速时，木块对地路程为，木板对地路程为 S2，物块相对木板运动了六其中 5 产 + 。对木块和木板由机械能守恒分析可得以上两式相加得到一：一（ + 忉 2），一一： AE 产一故机械能变化量全部转化为摩檫热，即 Qf ： [老王总结〗．由单个物体动能定理，组合得到系统动能定理，是独立方程得到关联方程的一种表现。模型 2;转化为电热（双棒模型）如图所示，平行光滑的导轨水平放置着两根等宽导体棒，磁场均匀分布，1 棒有向右的速度，2 棒静止，当双棒共速时：

原书第212页

两棒的图像如图所示: 系统动能损失转化为电热 AE, = 2 + 类似的将封闭的线框与半框嵌套一起放置于匀强磁场中，二者均可导电，线框初速度％，设半框的边界足够长，当二者共速时，其系统动能的损失也为产生的电热。模型 3：转化为重力势能获取最新 1 2 以小车模型为例，质量为的小车上方悬挂小球叫，其初速度，地面光滑。当小球摆动至最高点时，二者共速，故其系统损失动能转化为重力势能《 2 + 解得一：亠一 2 +m2)g 《老王提醒〗由于小球受重力，故该模型仅是水平方向动量守恒。模型 4: A.E*转化为弹性势能

原书第213页

如图，表面光滑的木板上一端叠放着一初速度为％的物块，模板右端弹簧固定。当物块压缩弹簧至二者共速时，系统动能转化为弹性势能， 1 游》2》 1 2 叫 + 裥 2 模型 5：旺》转化为电势能负 2 如图，初速度为％带负电小球进入与小车固定的电容器，当二者共速时，系统损失动能转化为电势 1 ：一 q 为二者相对距离） 2 + 〖老王总结〗经过前述模型归纳，我们将系统动能的损失转化为其他形式的能具体化出来，考生需熟练掌棍。、动碰动模型新网 1 如图所宗鼎水平面上质量分别为叫、狲 2 的两个物体，初速度分别为、％2，当二者共速时。由动量守恒和系统动能定理可得：一 + ‰ ，将代入表达式得解得顷

2 叫 + 2 2 1 2 + 2％伊 + 一一碼一叫忉 2 一％2 2 1 2 + 2 2 OI 似 2 + 2 其中一表示两物体间的相对速度。〖老王口诀〗 “二分之一上乘下加差方”

原书第214页

例 1·如图所示在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为 M 的斜面，斜面表面光滑、高度为倾角为 9。一质量为 < 的小物块以一定的初速度沿水平面向右运动，不计冲上斜面过程中机械能损失。如果斜面固定，则小物块恰能冲到斜面顶端。如果斜面不固定》则小物块冲上斜面后能达到的最大高度为〈 D ） C. B.

M D.
M 鰣] ！如孛上鈧例 2。00u 海南）一质量为的物体 p 静止于光滑水平地面上，其截面如图所示。图中为粗糙的水平面，长度为 L; bc 为一光滑斜面，斜面和水平面通过与和 bc 均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接。现有一质量为泐的木块以大小为的水平初速度从。点向左运动，在斜面上上升的最大高度为返回后在到达。点前与物体 p 相对静止。重力加速度为 go 求（1)木块在劢段受到的摩檫力（2）木块最后距口点的距离“ 例 3· （20 巧新课标 2）滑块在、 b 沿水平面上同一条直线发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置随时间’变化的图像如图所示。求: （ I)滑块 b 的质量之比；〈2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。 8 碰諭寺；龛釧碰孬 0 b ，佩代 O 攝：了 2 4 6

原书第215页

四、完全非与非完全 ()m 一‰2）2 一 v 为了区分二者，引入恢复系数的概念： e = 一乙一上 = 01 一砣其中》 № 后称为分离速度，《称为接近速度。，．即碰撞后与碰撞前的相对速度比值。 e 只与物体材料有关，若要发生碰撞过程，则 e 不能为负值，故取值范围为：0 孓 1 （1) e = 0：此时一发生完全非弹性碰撞（2）0 < 纟 < l:发生非完全弹性碰撞（3） e = 1：一 = ％1 一，满足动量守恒、动能守恒，发生完全弹性碰撞子弹打穿木块、物块碰撞都是非完全弹性碰撞中的常见模型。比如：初速度不同的物体在光滑水平面上发生碰撞，产生能量损失，分离后不共速。由动量守恒和系统动能定理得 2 引入 e = 01 一 02 ，动量守恒式可化简为

忉 2 《02 01 叫 + 2 22 将、渺 2 代入动能损失表达式化简得厶 = 例 4·质量为具有向右初速度为的物块放置于一质量为的箱子中，亭廳曹均完全光滑。若恢复系数 e = 4 一设碰撞后物块速度为、箱子速度为，碰撞过程中满足动量守恒， 2 1 根据恢复系数联立两式得: 第一次碰撞动能损失 AE, ：一 0 一解得 2 1 + 2 第二次碰撞时 > 物体在相对箱子后退的过程中与箱子的另一边发生碰撞。设第二次碰撞完后物体、箱子的速度分别为、为’ 联立恢复系数与动量定理表达式： 2 第二次碰撞动能损失 = 一（1-e2) 02 一幻 2 同理，可计算出 AE 、 “ 、将动能损失相加，令 AE,一 x 一 m ％2，解得“巡 4·6，因此碰撞次数，。

06. 非完全弹性碰撞可能发生的条件

原书第216页

、非完全弹性碰撞可能发生的条件如图所示，光滑水平地面上初始速度分别为和‰的两物体，当发生碰撞时可分为三种情况： (1)满足真实物理情境可以发生碰撞须满足帅 > ，，且碰撞后训 < 。（2）满足动量守恒及动能不增加 O 动量守恒： + = + @动能不增加一业 + 一一一 2 叫 2 2 2 〈3）满足碰的压缩和弹开中速度变化根据重要结论#完弹一完非弹 + 反冲弹衫共孓孓”完弹〖老王口球弹到非，被碰小球非到弹例 1。质量为 1 的小球以速率 8 s 沿光滑水平面运动，与质量为 3kg 的静止小球 B 发生正碰后， B 两小球的速率和可能为 B. vA=3m/s A. h=5m/s 《解析〗 C. %=lm/s D. =6m/s 由上述口诀： “小球弹到非，被碰小球非到弹” 解得 2m /孓 4m / s ，故 C ， D 错误解得—4m / s 孓孓 2m / s 则 A 速率的取值范围为 0 s ，故 B 正确

原书第217页

例 2．质量相等的东 B 两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向，球的动量是 7kg ， B 球的动量是 5 8，当屋球追上 B 球发生正碰，则碰撞后屋、 B 两球动量可能值是（） A.以’ ：、 =6kgm/s C. =-2kgm/s 、：14kgm/s 〖解析〗 B.一 3 s 、：9 s D.以’一 s 、：17kg 由题目己知，动量与质量相等，则满足动量守恒，排除 D 2 初始状态下动量为亠 + 亠，根据“动能不增加” ， 2 2 ‘2！2 49 25 74 2 2 2 2 忉 2 即’2 + ‘2 < 74k ，故 A 答案正确 9 /料添加微信本题也 0 以根据基本不等贮吊· 2 2 忉 2 ：72 s ，即碰撞前 + 的最小值为 72k 当且仅当：时，不等式取等号》题干中与相差较小，即碰撞后’2 + ‘2 需小于等于 72k 1／，此结论可见图像。

07. 反冲势能摩擦板模型分析

原书第218页

七、反冲势能摩擦板模型分析、反冲模型如图所示，两物体静止置于光滑水平桌面上，当二者间的炸药物爆炸时，两物体获得速度为和 2，由动量守恒及系统动能定理可得: 0：一忉 2 1 2 整理后可得一、木块冲滑板模型如图所示，小木块在木板上滑行，在此情景中，一般有以下情况： 1·若木板光滑:则当木块压缩弹簧然后分离，系统动能不损失，满足公式”完非弹 + 反冲一完弹” 2·若木板粗糙:则木块压缩弹簧时，存在摩檫力对系统做功，故系统动能损失，满足公式 “完非弹 + 反冲：非完弹” ．当弹簧压缩量最大时，二者第一次共速， @当物体与弹簧分开时，由于有摩擦力做功，使系统出现第二次共速。根据二次共速的动量条件，有 + ） = （ + 共 2 对上述结论，动力学分析解释如下:

原书第219页

规定向右为正：对木板进行受力分析：塌一丆： ‰ 对物块：一尸弹 + 丆：一叫刍．故初始时:弹簧弹力减小，摩擦力不变，木板做加速运动，物块做减速运动，且加速度口 1、逐渐减小。 @当 < 歹时:木板开始做减速运动，物块开始做加速运动，且加速度刍、 ‰逐渐增大直至物体与弹簧分开。 O 分开后木板做匀减速运动，物块做匀加速运动，直至二者再次共速。例 1.如图所示，一块质量为 M 的木板停在光滑的水平面上，木板的左端有挡板，挡板上固定一个小弹簧·一个质量为的小物块〈可视为质点）以水平速度鞫从木板的右端开始向左运动，与弹簧碰撞后〈弹簧处于弹性限度内），最终又恰好停在木板的右端·根据上述情景和已知量，可以求出（） A.弹簧的劲度系数 B.弹簧的最大弹性势能 c.木板和小物块之间的动摩擦因数 D.木板和小物块组成的系统最终损失的机械能〖解析〗在物体运动全过程中，根据动量的守恒，可列方程获取最新网运动的分过程:木块由右端运动到左端，此时弹簧压缩到最大，则有 1 二者分开后，木块又运动到最右端，则有通过联立求解以上公式，可以得到因此，从第一次共速到第二次共速，可以理解为是从释放能量到消耗能量的一个过程。由题目已知量中，可求出共同速度。由于初速度与两个木块的质量已知，在上式中，可求得系统的损失动能。故 D 正确因为动能可以求得，则对上式，弹性势能也可求得。故 B 正确。

08. 如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题

原书第220页

八 ` 如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题、多物体多过程方法论:在某一过程行为中，参与的物体有且只个，其余物体保持其原速不变。故在列动量及动能的式子时，研宄对象只选择参与该过程的两个物体。例 1. B 小车质量均为 M ，在 B 上挂着质量为兰的小球 C 相对 B 静止，悬线 L = 0·4m ，两车以相同的速度：1.8 s 在光滑的水平面上相向滑行，相碰后两车粘在一起运动，设碰撞事件很短，赃（ D 东 B 两车粘在一起的瞬间， B 两车及 c 球的速度各多大？（2） c 球摆到最高点时，两车的速度为多大（3）小球 c 摆起的最大高度为多少〖解析〗本题可分为两个过程 O.区、两物体发生碰撞粘在一起 @AB 组成的系统与小球 C 达到共同速度运动过程一：与 B 发生完全非弹性碰撞，粘在一起达到共速》记为。规定向左为正方向。 Mvo 一 0 = 22 浍共一 X 根据动量守恒定律及动能变化分析：解得 = 0， C 的速度不变为：1.8m / s 。过程二召组成的系统和 C 在 7 当 c 运动到时 1 蜘鬆’ 取不 2 2 共由动量守恒定律及系统动能定理可得 4 解得’ 4 = 0·2 S 《 9 2M ， 1 一· ．亠·堵；解得 h 灬：0．144m 。、两式整理得一一 g = 2 4 例 2·两质量分别为和 M2 的劈和 B ，高度相同，放在光滑水平面上，灵和 B 的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切》如图所示，一质量为的物块位于劈 A 的倾斜面上，距水平面的高度为九物体从静止滑下，然后双滑上劈 B.求物块在 B 上能够达到的最大高度，微信搜索公众号

09. 动量守恒与多过程问题

原书第221页

九、动量守恒与多过程问题、模型缉合与讨论分析 (1)加速或稹型 F = 口由动力学方程（一般用于求时间 t) = V + at 或 x = ％ + 一 1 由动能定理：一“2 一一“ ：（用于求运动路程下与末速度分 2 由动量定理擗： ”一％（用于电磁感应中求电量或者安培力的冲量，少部分情况下求时间’ ，此时可与动力学方程结合使用）（2）竖直圆模型口诀： “有力必用向心力，向心力必用动能定理” 。解题过程中注意圆轨道上的物体是否脱离轨道这两种情况的区别。（3）平抛模型由公式 1 2，注意：常考平抛的物体无碰撞的进入斜面或曲线轨道，故速度方向沿斜面方向或 y=—gt 常见的有重力场与电场（环境场）叠加，可用等效场分析。（5）叠块模型．研宄板长、物块在木板上运动恰好不掉下的问题时，用相对运动法求解 @研宄物块本身对地行为时，利用对地运动公式求解。 (6)撞墻、反弹、冲斜面滑回作用物速度大小不变方向反向，其余物体速度不变（7）爆炸、反冲、碰撞常运用以下两个方程# ．动量守恒定律@动能定理、两类设问方式〈1)按照过程类设问题:题型比较简单但过程多且繁杂，对于考生的区分度不高。（2）后续过程自探难度较高，模型单一但未知量多，对考生区分度高。

原书第222页

例 1·如图，固定在水平面上的凹槽，槽宽 D = 2．3m ，左侧槽缘高 = 0·6m 、斜面倾角 = 45。，右侧槽缘高：0，8m ，光滑圆弧形轨道足够长·长 = 、高 = 0·8m 、质量 =lkg 的木板静止在槽内，左侧距内槽左侧：0·3m ·可视为质点的滑块 B,质量为 = 2，放在上表面的最左端·质量 = 1、 = 10 的小球水平碰撞 B 后水平反弹，下落过程中刚好与斜面相切通过斜面最高点·已 1 知与从与凹槽底部的动摩檫因数分别为一一 2 左、右侧碰撞后立即停止但不粘连， g 取 10 s2.求: 〈1)小球与 B 碰后，获得的速度为（2）整个过程中关、 B 间摩擦产生的热量 0 〖解析〗 1 ， B 向右滑行过程中未与共速，与凹槽 6 〈1）设小球碰撞反弹后速度为，小球与斜面相切通过斜面最高点，由几何关系得 = = tan 45。对小球下落，由运动学公式： H-h=—g120 小球与碰撞，由动量守恒得” 。 = 一“计丐联立以上三式得 B 获得的速度：6m/s 。（2）关、组成的叠块系统由于受到外部摩檫九故系漩隼，必然在未运动至边缘时与凹槽右侧碰撞， “一下来运乛的上方。由于- ’ 廴’ 向右运动的过程直至 B 冲上右侧轨道的过程中，二者之间相对运动距离为 LO 对 B 而言，由牛顿第二定律得 B 加速度： = 5 s2 ： gg 一 5 82 A 的加速度 = 从 A 开始运动到碰壁所用时间：解得 = 0·4s 。此时记 B 相对地面走的距离为解得 = 2m 。计算得引 = L 一‰犀 =D2， Dz=D—Dt—L 即碰到左侧的一瞬间’也恰好运动到边缘，此时 B 到右侧时末速度之后 B 滑下轨道以原速度大小向左运动。当彦达到共速的过程中，根据相对运动法， B 相对运动齣距离 = 一 = 4 耐 s 微信搜索

原书第223页

‘2 = 0，8m 相一达到共速所需时间 = = 0．4s 口 + 0 二者共同速度顷：一相：2 = 0·4m 运动的距离 = 2‰ 直至到凹槽左侧静止时，、系统整体相对地面运动的距离嵬： D 一乙一碰撞静止那一刻 B 的速度”由动能定理 1 2 解得 = 3 s 。 2 B 继续向左滑动，从又停下到它最后静止，运动的距离： = 03m 。 = 0、3m 整个过程摩擦产生的热量 0： g ， s.总：27J 例 2·如图所示，小球系在细线的一端，线的另一端固定在 0 点，0 点到水平面的距离为物块 B 质量是小球的 5 倍，至于粗糙的水平面上且位于 0 点正下方》物块与水平面间的动摩擦因数为。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰〈碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为一。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为 g’求物块在水平面上滑行的时间’ 。

原书第224页

例（2019 新课标 3）静止在水平地面上的两小物块厶 B ，质量分别为 = I. g ，4．0kg 《两者之间有一被压缩的微型弹簧，与其右侧的竖直墙壁距离闫，0m ，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使 B 瞬间分离》两物块获得的动能之和为虽一 10·0。释放后，沿着与墙壁垂直的方向向右运动。 B 与地面之间的动摩擦因数均为 1．20。重力加速度取 10 酽。厶 B 运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。（ D 求弹簧释放后瞬间 B 速度的大小：（2）物毵 4、 B 中的哪一个先停止？该物块刚停止时与 B 之间的距离是多少？〈3）和 B 都停止后，与 B 之间的距离是多少？淞·畔哋怎 0 印：的生 stepa 获取最新网、拳 0 歡饣 = 卜 0 葛： m ！邴帏，以缸能謔物 E 微信搜索公众号

原书第225页

例 4。〈2020 新课标 1)竖直面内一倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，小物块静止于水平轨道的最左端，如图（ a)所示。产 0 时刻，小物块在倾斜轨道上从静止开始下滑，一段时间后与 B 发生弹性碰撞〈碰撞时间极短）当返回到倾斜轨道上的 P 点〈图中未标出）时，速度减为 0，此时对其施加一外力，使其在倾斜轨道上保持静止。物块屋运动的“图像如图〈 b)所示，图中的和均为未知量。已知的质量为，初始时与 B 的高度差为瑟重力加速度大小为 g’不计空气阻力。图(a) (1）求物块 B 的质量；图(b) （2）在图(b)所描述的整个运动过程中，求物块克服摩擦力所做的功；（3）已知两物块与轨道间的动摩擦因数均相等，在物块 B 停止运动后，改变物块与轨道间的动摩擦因数，然后将从 P 点释放，一段时间后关刚好能与 B 再次碰上。求改变前后动摩擦因数的比值。艹取廴鬥。艹卜畢 00e

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第7章动量

第7章动量

本章核心图谱

小专题索引

精修正文（对照原书逐页校订）

01. 如何理解动量守恒的本质就是质心守恒

原书第195页：动量定理是矢量式

原书第195-196页：动量守恒的条件

原书第196-197页：质心守恒与人船模型

02. 如何利用系统动量定理解题

原书第201-202页：系统动量定理

03. 如何利用微元法解决连续流体问题

原书第203-204页：连续体先截取一小段质量

04. 巧用完全弹性碰撞公式技巧解题

原书第205-209页：一维弹性碰撞公式

05. 巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题

原书第210-215页：共速就是完全非弹性碰撞

06. 非完全弹性碰撞可能发生的条件

原书第216-217页：真实碰撞的三条筛选线

07. 反冲势能摩擦板模型分析

原书第218-219页：反冲模型

08. 如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题

原书第220页：一次只处理真正参与的物体

09. 动量守恒与多过程问题

原书第221-225页：模型组合题的总流程

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

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第7章 动量

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精修正文（对照原书逐页校订）

01. 如何理解动量守恒的本质就是质心守恒

原书第195页：动量定理是矢量式

原书第195-196页：动量守恒的条件

原书第196-197页：质心守恒与人船模型

02. 如何利用系统动量定理解题

原书第201-202页：系统动量定理

03. 如何利用微元法解决连续流体问题

原书第203-204页：连续体先截取一小段质量

04. 巧用完全弹性碰撞公式技巧解题

原书第205-209页：一维弹性碰撞公式

05. 巧用完全非弹性碰撞公式技巧解题

原书第210-215页：共速就是完全非弹性碰撞

06. 非完全弹性碰撞可能发生的条件

原书第216-217页：真实碰撞的三条筛选线

07. 反冲势能摩擦板模型分析

原书第218-219页：反冲模型

08. 如何利用独立方程法解决复杂多过程碰撞问题

原书第220页：一次只处理真正参与的物体

09. 动量守恒与多过程问题

原书第221-225页：模型组合题的总流程

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