第5章天体物理

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本章核心图谱

天体物理核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	如何根据运动方程得到关键词结论	138
2	如何判断天体的哪种量无法计算	141
3	如何在天体物理中计算比值类数学问题	143
4	阳光照射及张角、遮光角问题	146
5	怎样求解天体物理中的追及相遇问题	148
6	万有引力的深度分析	150
7	怎样利用结论秒解双圆做比较类问题	152
8	如何利用结论秒解椭圆近远比类问题	156
9	利用圆和椭圆轨道特点直接得出答案	158
10	缓慢变轨问题	159
11	急速变轨问题	160
12	巧解双星体系类问题	162
13	如何利用质心法本质性解决三星类问题	164
14	拉格朗日点问题总结	166

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 138-167 页。第五章已完成结构化精修；后续可继续补高考真题二刷、错题卡和更细原图复刻。

01. 如何根据运动方程得到关键词结论

原书第138页：天体题的四个关键词

天体物理不要先背一堆结论，先看题眼。

关键词	方程入口	常求量
转	万有引力提供向心力	$v, ω, T, a$
表面	万有引力等于重力	黄金代换 $GM = g R^{2}$
近地/第一宇宙速度/完全失重	轨道半径等于星球半径	$v_{1} = g R$
密度	$M = \frac{4}{3} π ρ R^{3}$	$ρ, g, T$ 的关系

天体关键词方程

“转”对应：

\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}}

“表面”对应：

\frac{GM m}{R ^{2}} = m g

即：

GM = g R^{2}

这就是天体题最常用的黄金代换。

原书第139页：表面转与密度

若物体贴近星球表面做圆周运动，轨道半径近似为 $R$ ：

\frac{GM m}{R ^{2}} = m \frac{4 π ^{2} R}{T ^{2}}

又：

M = \frac{4}{3} π ρ R^{3}

联立：

ρ = \frac{3 π}{G T ^{2}}

这个结论常用于“星体稳定自转”“表面物体恰好漂浮”“星球瓦解”类问题。

原书第140页：表面重力加速度与密度半径

由：

g = \frac{GM}{R ^{2}}

代入：

M = \frac{4}{3} π ρ R^{3}

得：

g = \frac{4}{3} π GρR

所以平均密度相同的星球，表面重力加速度与半径成正比。

矿井题也用这个结论：均匀球壳对壳内物体引力为零，深度为 $h$ 的矿井底部只受半径 $R - h$ 的球芯引力，所以：

\frac{g _{井底}}{g _{地表}} = \frac{R - h}{R}

02. 如何判断天体的哪种量无法计算

原书第141页：先看谁被消掉

天体圆周运动方程：

\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}}

卫星质量 $m$ 会被消掉。因此只知道轨道半径、周期、中心天体半径等信息时，通常可以求中心天体的 $GM$ ，但不能求与卫星自身质量直接相关的量。

天体可计算量判断

常见不能求：

卫星质量；
卫星受到的万有引力大小；
卫星机械能；
需要卫星质量参与的动量、能量类量。

常见能求：

中心天体质量 $M$ ；
轨道速度 $v$ ；
轨道角速度 $ω$ ；
向心加速度 $a$ ；
若中心天体半径已知，还可求表面 $g$ 。

原书第141-142页：典型判断

嫦娥一号绕月题：已知轨道高度、周期、月球半径和引力常量，可以求月球质量、轨道速度、轨道加速度、月面重力加速度；但不能求月球对卫星的吸引力，因为缺少卫星质量。

原书例 1 答案：B。

张衡一号卫星题：已知卫星周期、地球半径、地表重力加速度，可先用 $GM = g R^{2}$ ，再由圆周方程求轨道半径，从而求线速度与离地高度；但不能求卫星密度或向心力大小。

原书例 3 答案：D。

核心舱题：若已知绕地线速度 $v$ 和绕地半径 $r$ ，由：

v^{2} = \frac{GM}{r}

可求地球质量。原书例 4 答案：D。

03. 如何在天体物理中计算比值类数学问题

原书第143页：先表达后正比

天体比值题的口诀：

先表达后正比，常量均当 1。

先写出目标量的表达式，再只保留变量之间的正比关系，最后代入比值。

天体比值题速算

常用正比：

g \propto \frac{M}{R ^{2}} \propto ρR

v_{1} = g R \propto \frac{M}{R}

T \propto \frac{r ^{3}}{GM}

a \propto \frac{GM}{r ^{2}}

原书第143-145页：表面下落实验与行星比较

同高度自由下落：

h = \frac{1}{2} g t^{2}

所以：

g \propto \frac{1}{t ^{2}}

再用：

M = \frac{g R ^{2}}{G}

和：

ρ \propto \frac{M}{R ^{3}}

即可连续推出质量比、密度比、第一宇宙速度比。

原书例 1 中，星球下落时间为地球的 4 倍，所以 $g$ 为地球的 $\frac{1}{16}$ ；再结合半径比推出密度选项，答案为 D。

两星密度相同且 $g_{A} = 2 g_{B}$ ，由 $g \propto ρR$ 得：

R_{A} : R_{B} = 2 : 1

再由 $v_{1} = g R$ 得第一宇宙速度比为 $2 : 1$ 。原书例 3 答案：B、D。

火星与地球比较题：

表面重力加速度看 $M / R^{2}$ ；
公转周期看 $T \propto r^{3/2}$ ；
公转线速度看 $v \propto r^{- 1/2}$ ；
向心加速度看 $a \propto r^{- 2}$ 。

所以火星轨道半径更大，周期更长，线速度和向心加速度更小。

04. 阳光照射及张角、遮光角问题

原书第146页：遮光角与张角

卫星绕星球运动时，星球会遮挡来自远处的平行光。与星球相切的两条边界线围出的角，常称遮光角或张角。

若星球半径为 $R$ ，卫星轨道半径为 $r$ ，从卫星看星球的半张角为 $α$ ：

sin α = \frac{R}{r}

若讨论地表覆盖范围，常用地心角 $φ$ ：

cos φ = \frac{R}{r}

张角与遮光角

原书第146页：三颗同步卫星覆盖赤道

三颗同步卫星等间隔分布，要覆盖赤道任意两点，单颗卫星至少覆盖 $12 0^{\circ}$ 的地心角，因此半覆盖角为 $6 0^{\circ}$ 。

由：

cos 6 0^{\circ} = \frac{R}{r}

得：

r = 2 R

同步轨道周期满足：

T \propto r^{3/2}

当前同步轨道半径约为 $6.6 R$ 、周期 $24 h$ ，则最小自转周期：

T_{m i n} = 24 (\frac{2}{6.6})^{3/2} \approx 4 h

原书例 1 答案：B。

原书第147页：由周期和张角求密度

飞行器绕星球做匀速圆周运动，周期为 $T$ ，轨道半径为 $r$ 。

T^{2} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{GM}

又：

M = \frac{4}{3} π ρ R^{3}

若测得张角 $α$ ，由 $sin α = R / r$ 可得 $R / r$ ，进而求平均密度：

ρ = \frac{3 π}{G T ^{2} sin ^{3} α}

所以周期 + 张角能求密度；周期 + 轨道半径不能求密度，因为还缺星球半径。

原书例 2 答案：A、C。

05. 怎样求解天体物理中的追及相遇问题

原书第148页：圆周追及公式

天体追及就是圆周追及。若两个天体同向绕同一中心运动，角速度分别为 $ω_{1}, ω_{2}$ ，相邻两次相遇或冲日的时间间隔 $t$ 满足：

∣ ω_{1} - ω_{2} ∣ t = 2 π

也就是：

\frac{1}{t} = \frac{1}{T _{1}} - \frac{1}{T _{2}}

天体追及相遇

低轨天体角速度大，高轨天体角速度小，所以追及题常先用“高轨低速大周期”判断谁追谁。

原书第148-149页：行星冲日

地外行星冲日：地球运行到太阳和地外行星之间，本质是地球追上地外行星一个角度周期。

若地球周期为 $T_{E} = 1 年$ ，外行星周期为 $T_{P}$ ，相邻两次冲日间隔：

\frac{1}{t} = \frac{1}{T _{E}} - \frac{1}{T _{P}}

外行星轨道越高，周期越大， $\frac{1}{T _{P}}$ 越小，所以冲日间隔越接近 1 年，反而更短。

原书例 1 答案：B、D。

赤道城市每 3 天看到卫星 5 次，说明相邻两次正上方经过的追及周期为 $0.6 T_{E}$ ：

\frac{1}{0.6 T _{E}} = \frac{1}{T _{s}} - \frac{1}{T _{E}}

得：

T_{s} = \frac{3}{8} T_{E}

2021 湖北火星与地球相距最近题：由会合周期和地球公转周期可求火星公转周期，再由开普勒第三定律求轨道半径比，进而求绕太阳向心加速度比。原书答案：D。

06. 万有引力的深度分析

原书第150页：质点、球壳、均匀球体

万有引力公式：

F = \frac{GM m}{r ^{2}}

只适用于质点模型，或球体外部把球体质量等效集中到球心。

球壳模型：

壳外：等效为质量集中于球心的质点；
壳内：球壳对内部任意点引力为零。

均匀球体内部：只有半径 $r$ 内的球芯产生引力，外层球壳引力为零。

万有引力分布

若球体半径 $R$ 、总质量 $M$ 、密度均匀，内部距离球心 $r$ 处：

M_{r} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}}

F = \frac{G M _{r} m}{r ^{2}} = \frac{GM m}{R ^{3}} r

所以球内引力与 $r$ 成正比；球外引力与 $r^{2}$ 成反比。

原书第151页：矿井与单摆

矿井深度为 $h$ ，井底到地心距离为 $R - h$ ：

\frac{g _{井底}}{g _{地表}} = \frac{R - h}{R}

若单摆周期：

T = 2 π \frac{l}{g}

则同一单摆在地面和井底：

\frac{T _{地表}}{T _{井底}} = \frac{g _{井底}}{g _{地表}}

可反求矿井深度。

07. 怎样利用结论秒解双圆做比较类问题

原书第152页：双圆比较口诀

圆轨道由：

\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2} r}{T ^{2}}

得：

v = \frac{GM}{r}, ω = \frac{GM}{r ^{3}}, T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}

能量：

E_{k} = \frac{GM m}{2 r}

E_{p} = - \frac{GM m}{r}

E = - \frac{GM m}{2 r}

双圆轨道比较

口诀：

高轨低速大周期，大机大势小引力。
低轨高速小周期，小机小势大引力。

注意：如果两颗卫星质量未知，只能比较 $v, ω, T, a$ 等与卫星质量无关的量；不能比较引力、动能、势能、机械能大小。

原书第153-155页：典型比较

火卫一周期小于火卫二，所以火卫一低轨，速度、角速度、向心加速度更大；火卫二高轨，周期更大。

太空电梯题：电梯上物体与地球同轴转动，角速度等于地球自转角速度；同高度卫星满足万有引力提供向心力。若电梯物体到达同步轨道以上，其线速度大于同高度卫星所需圆轨道速度，脱离后可能出现近心或离心需比较实际向心需求与万有引力。原书例 3 答案：B、D。

赤道物体、近地卫星、同步卫星、高空探测卫星比较：

赤道物体与同步卫星角速度相同；
近地卫星速度最大、周期最小；
高轨卫星机械能最大；
同步卫星高度确定，除质量外其他轨道量一定。

原书相关例题答案：B、D。

08. 如何利用结论秒解椭圆近远比类问题

原书第156页：椭圆近远点口诀

同一椭圆轨道上，机械能守恒。近日点 $r$ 小，远日点 $r$ 大。

比较结论：

近日点速度更大；
近日点角速度更大；
近日点向心加速度/万有引力更大；
远日点势能更大；
同一椭圆轨道机械能相等。

椭圆近远点比较

口诀：

近点高速大引力，远点低速大势能；同轨机械能相等。

原书第156-157页：远近点例题

海王星从近日点到远日点，轨道半径变大，速率逐渐变小；从短轴端点到远日点再到短轴端点，万有引力先做负功后做正功。原书例 1 答案：C、D。

东方红一号椭圆轨道：

近地点势能小于远地点；
近地点速度、角速度、加速度均大于远地点；
近地点速度可能大于近地圆轨第一宇宙速度，具体看轨道参数。

天问一号在近火点减速，可降低机械能进入更低的圆轨道，原书例 4 答案：D。

09. 利用圆和椭圆轨道特点直接得出答案

原书第158页：椭圆半长轴当半径

开普勒第三定律：

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = 常量

椭圆轨道的 $a$ 是半长轴。和圆轨道比较周期时，可把椭圆半长轴当作“等效半径”。

圆轨道与椭圆轨道比较

口诀：

椭圆半长当半径，高轨大周期。

同一切点变轨时，在同一点中心天体引力相同，所以瞬时加速度相同；轨道机械能越大，同点速度越大。

原书第158页：赤道城市看到卫星

城市 3 天看到卫星 5 次，地球转 3 圈，卫星相对地球多追 5 圈，因此卫星在 3 天内转 8 圈：

T_{s} = \frac{3}{8} T_{E}

卫星由圆轨道进入椭圆轨道时，若椭圆半长轴小于原圆轨道半径，则周期变小、机械能减小；同一椭圆轨道上各点机械能相等。

原书例 1 答案：A。

10. 缓慢变轨问题

原书第159页：慢变轨口诀

缓慢变轨指轨道参数缓慢改变，天体始终近似在一系列圆轨道上运动。

口诀：

大 G、大 M、大摩擦，半径减小；卫星质量无关。

含义：

万有引力常量 $G$ 增大：引力变大，原轨道向心力不足以保持原圆轨道，轨道半径减小；
中心天体质量 $M$ 增大：同理半径减小；
摩擦/阻力做负功：机械能减小，轨道半径减小；
卫星自身质量 $m$ 在圆轨道方程中消去，不影响轨道半径。

缓慢变轨

例：探测器飞越月球质量密集区上空，相当于中心天体局部引力增强，轨道半径略减小；低轨高速，所以速度略增大。原书答案：C。

若过去万有引力常量 $G$ 较大，则地球过去轨道半径较小、线速度较大、角速度较大、周期较小。原书例 2 答案：C。

11. 急速变轨问题

原书第160页：点火变轨原则

急速变轨是瞬时点火改变速度：

加速：机械能增大，进入更高轨道或外侧椭圆；
减速：机械能减小，进入更低轨道或内侧椭圆；
同一变轨点：中心天体引力不变，瞬时加速度相同；
同一点比较轨道：外圈轨道速度更大。

急速变轨

口诀：

外圈速大，加速度相等。

原书第160-161页：飞船、流浪地球、航天飞机

神舟十一号从椭圆轨道到圆轨道对接，外圈轨道机械能更大、周期更大；在相同切点处，外圈轨道速度更大。原书例 1 答案：D。

流浪地球类题：从椭圆轨道到更大圆轨道，需要在切点加速，向后喷气；轨道半径越大周期越大。同一点加速度只由太阳引力决定，轨道不同但位置相同则加速度相同。

航天飞机由圆轨道降入椭圆轨道：在切点减速，椭圆周期小于原圆轨道；同一点加速度相同。

12. 巧解双星体系类问题

原书第162页：双星基本模型

双星只受彼此引力，绕连线上的公共质心做同周期圆周运动。

设两星质量 $m_{1}, m_{2}$ ，到质心距离 $r_{1}, r_{2}$ ，两星间距 $L = r_{1} + r_{2}$ 。

质心关系：

m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}

周期关系：

T = 2 π \frac{L ^{3}}{G ( m _{1} + m _{2} )}

双星体系

结论：

两星角速度、周期相同；
两星向心力大小相同，均为彼此间万有引力；
距质心更远者线速度更大；
距质心更近者质量更大。

原书黑洞双星例： $A O > BO$ ，所以 A 线速度更大、A 质量更小，向心力相等。答案：B。

双星演化题：

T \propto \frac{L ^{3}}{M _{总}}

若总质量变为 $k$ 倍、距离变为 $n$ 倍：

T^{'} = T \frac{n ^{3}}{k}

2018 新课标双中子星题：已知距离和周期，可估算两星质量之和。原书答案：B。

13. 如何利用质心法本质性解决三星类问题

原书第164页：三星两类模型

三星常见两类：

共线模型：第三星位于双星质心附近，与两端星体保持相对静止或共线运动；
等边三角形模型：三颗星体位于等边三角形三个顶点，绕系统质心同周期转动。

通法是先找质心。

三星质心法

质心法步骤：

先任选两颗星，按 $m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}$ 找两星质心；
把这两颗星等效成总质量 $m_{1} + m_{2}$ ；
再与第三颗星按质心公式二次合成；
求出各星绕质心半径；
用万有引力合力提供向心力列方程。

原书第165页：等边三角形三星

若三颗星质量分别为 $m, 2 m, 3 m$ ，位于等边三角形顶点，先找 $m$ 与 $2 m$ 的质心，再与 $3 m$ 合成系统质心。

对任一星，合引力方向指向系统质心，大小由两条万有引力矢量合成得到，再列：

F_{合} = m_{i} \frac{4 π ^{2} r _{i}}{T ^{2}}

这比硬凑特殊图形稳，尤其适合质量不相等的三星题。

14. 拉格朗日点问题总结

原书第166-167页：五个拉格朗日点

拉格朗日点是小天体能与主天体、伴天体保持相对静止的位置，三者具有相同角速度。

拉格朗日点

简记：

$L_{1}$ ：两大天体之间；
$L_{2}$ ：小天体外侧；
$L_{3}$ ：主天体另一侧；
$L_{4}, L_{5}$ ：与两大天体构成近似等边三角形。

$L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 位于两大天体连线上，不能简单套“高轨低速大周期”，因为伴天体引力不可忽略。

$L_{4}, L_{5}$ 可用三星质心思想理解：当小天体质量近似为零时，它与两大天体构成等边三角形，并能保持与伴天体相同周期。

核心判断：

拉格朗日点不是“没有引力”；
是合引力刚好提供与系统同步转动所需向心力；
分析时必须把两个大天体引力都写入。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 如何根据运动方程得到关键词结论

原书第138页

第五天体物理飞如何通过独立方程法得到关键词结论、天体独立方程理论 1.关键词’啭” 质量为羽的行星围绕质量为 M 的中心天体转动，两星中心距离为’ 。当两颗星体相距较远时，可视为两个质点进行计算；当两颗星体距离较近，各自的体积大小不能被忽略时，可将天体的质量集中于各自的中心作为质点处理。 GMm 俨 4 冗 2’ 当题目中出现“转”时：列 F -F 即引一向， 2 由此可求出， T ，。等值。 2，关键词“表面” 在半径为灭，肖袅荃嘉个量为讵物体，随星体一起运动取不 G 荐而》当题目中出现“表面”时：列：，即 2 得黄金代换公式 GM ：2〈注意;黄金代换通常在物体位于星球表面时使用，尤其是出现“表面重力加速度”时。） 3·词“表面 + ，质量为羽的物体贴近质量为 M 的星球表面围绕星体转动，此时物体的运动轨道半径即为星球半径

原书第139页

当题目中出现“近地卫星、完全失重、第一宇宙速度、星球瓦解”时： 2 泐 4 冗 2R GMm “2 列：，即 = 10 ”一-7·9- ，第一宇宙速度推导。 4·关词“密度” ，利用已知的星体质量和半径可求星体密度 3 题目中可能会将多个关键词以及其背后的模型结合起来，考察考生对知识点的掌握以及灵活应用程度。此时我们接下来会推导一些结论和技巧，以便快速正确地解答出题目。、第一类关键词结论当题目同时出现“表面转”以及“密度”时，应用天体的独立方程理论可列出 GMm 4 冗 2R 灭 2 M 4 一 3 3 ，联立解得 T 口诀可简记为“有 3 没 4，1” （1，2 表示对应的指数）其自转周 s ，假设星体为质量均匀分布的球体，己知万有引力常量为 6·67 × 10 一· /2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为（） D.5 × 1018k 刨 m3 C.5 × 10 巧 k 刨 m3 B.5 × 10 汔 k m3 A.5 × 109k m3 《解析〗星体稳定自转意味着星体不能被瓦解，物体表面的物体不会因为星体的自转而漂浮起来。 3 冗 3 冗由第一类关键词结论得知 T ： Gp ’ GT2 根据题目选项可知只需计算密度的数量级即可快速选出正确答案， T2 的数量级为 10 六 G 的数量级为 10m ，估算得密度的数量级接近并小于 7 、第二类关键词结论一 GMm 题目中出现“表面” “密度”关键词时，根据独立方程列出 = M 4 3 ，故选 co

原书第140页

解得 g = 一 G 那 R ，即重力加速度 g 与密度和半径的乘积成正比。根据比较星球密度与半径的乘积可快速比较不同星球重力加速度大小。例 1.1990 年 5 月，紫金山天文台将他们发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为 16，若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。己知地球半径灭 = 00，地球表面重力加速度为 go 这个小行星表面的重力加速度为（） A.4 g 1 B. 400 1 C.20g 《解析〗根据结论 g ，快速推出一灭小一 1 。选 B g 地 R.地 400 例 2·假设地球是一半径为灭、质量分布均匀的球体。一矿井深度为已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 B.1 十一〖解析〗重力加速度由万有引力提供，由于质量分布均匀的球壳对壳内物体引力为零，因此矿井底部的重力加速度仅由球芯提供，球芯半径为 R 一地面处重力加速度由整个地球提供，则本题可看作平均密度相同，半径分别为 R 一及 R 的星体表面的重力加速度大小之比。根据第二类关键词结论可知，：二旦 = 1 一一，故 A 正确。例 3·己知地球半径为 R’地球表面重力加速度为 g,不、〈 D 推导第一宇宙速度的表、（2）亮镀刂蝕过 T 例 4· （2014 新课标 2）假设地球可视为质量均匀分布的球体，己知地球表面的重力加速度在两极的大小为 go ，在赤道的大小为 g;地球自转的周期为 T’引力常数为 G ，则地球的密度为（） 3 冗 go¯g A. B. GT2 go—g 微信搜索 3 C. 2 GT 1 羽 GT2 g

02. 如何判断天体的哪种量无法计算

原书第141页

、如何判断天体的哪种量无法计算高考中有一类问题考察为“判断哪些量可以计算” ，我们可运用逆向思维，先排除哪些量不能计算，从而缩短解题时间。由前面提及的天体独立方程理论，我们一般可由题列出以下方程： GMm “2 GMm 2 4 冗 r = “或灭 2 方程中的都可以同时消去，即无法通过计算得出，因此无法计算的是与直接相关的“三量” 质量、能量、力量下例 1· （2008 北京）据媒体报道，．娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度为 200，运行周期 127 分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ B ） A.月球表面的重力加速度 C.卫星绕月运行的速度冯忄 h 》例 2· （2010 年安徽）为了对火星及其据，可以计算出〈〉匚 0 B.月球对卫星的吸引力 D.卫星环绕于月运行的加速度鞰气柿 5 35 彙《国预计于 2011 年 10 月发射第一面高度分别为和的圆轨道上运动时，周期分别为和。灭厘哥量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为 GO 仅利用上数 A.火星的密度和火星表面的重力加速度 B.火星的质量和火星对“萤火一号”引力 C.火星的半径和“萤火一号” D.火星表面的重力加速度和火星对嗤火一号” 》

原书第142页

例 3．〈2018 天津〉2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球半彳地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据上数据可以计算出卫星的()D ） A.密度 C.离地高度 B.向心力的大小 D.线速度的大小例 4·0021 广东）2021 年 4 月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，己知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是〈 P ） A.核心舱的质量和绕地半径 B.核心舱的质量和绕地周期 C.核心舱的绕地角速度和绕地周期 D.核心舱的绕地线速度和绕地半径料添加微信

03. 如何在天体物理中计算比值类数学问题

原书第143页

、如何在天体物理中计算比值类数学问题比值类问题是高中物理中较为常见的一类题目，尤其在天体运动题目中出现频率较高·这类问题的解题方法为： “先表达后正比，常量均当 1” 即通过简化表达式中的常量，只列出所求物理量与相关变量的正比关系，可以有效规避易出错的繁杂计算，提高正确率。本类考题也是天体中出题比例最高的一类。例 1.宇航员在离地球表面高处由静止释放一小球，经时间’小球落到地面《若他在某星球表面同样高处由静止释放一小球，需经时间 4’小球落到星球表面。己知该星球的半径与地球的半径之比为：则星球与地球的〈） A.表面附近的重力加速度之比旦：！ B.第一宇宙速度之比为遤一 c.质量之比为生一 1 D.密度之比为一 2 方 1 2 〖解析〗 A.根据运动学公式得：一 2，解得 g ：万 g 地（4D2 B.根据关键词“第一宇宙速度” ，得：、 1 8 1 ， A 选项错误。 16 故两颗星球的第一宇宙速度之比 Y-L= g 星 R 星一 c•根产泓鉴式。得一严，解得一 g.灭 2 2 R2 1 2 G 位 2 因此质量之比．一一 GM=gR2 2 2 1 1 。 C 选项错误 4 M 兰星一星一 1 ， D 选项正确。 3 2 4 3 例 2·两物体分别在某行星表面和地球表面上由静止开始自由下落相同的高度，它们下落的时间之比为 2：3。己知该行星半径约为地球的 2 倍，则该行星质量与地球质量之比约为（） A.9：1 B.2：9 C.3：8 D.16：9 〖解析〗根据关键词“表面’ ‘及运动学公式，得 GM-gR2 R2 ，解得 M = 1 2 因此一旦：（生） 9 灭 2 2 》正确答案为 AO

原书第144页

例 3。有密度相同的两颗行星和 B ，己知星的表面重力加速度是 B 星表面重力加速度的 2 倍（忽略行星自转的影响），则下列说法正确的是 A.两行星么 B 的质量之比为 4：1 B.两行星厶 B 的半径之比为 2：1 两行星厶 B 的第一宇宙速度之比为 1：2 D.两行星 B 的第一宇宙速度之比为 2：1 〖解析〗根据天体独立方程理论中的第二类关键词结论，得 g = 一 G R ，由于两颗行星密度相同，因此：型一 2， üB 选项正确。 2 由黄金代换公式 GM 一 2，得 = ocgR2’故 = 2 × 2 = 8， A 选项错误。根据关键词“第一宇宙速度” ，得则：一-一 2，故 C 错误 D 正确。例 4· （2005 北京）己知地球质量大约是月球质量的 81 倍，地球半径大约是月球半径的 4 倍。不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出〈 c ） A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为 9：8 B.地球表面重力加速度与月球表 c.靠近地球春面襠醐，．器周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为获取不 D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为 81：4 例 5。（2010 全国 ID 己知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的 6 倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的 2．5 倍，则该行星的自转周期约为〈0） A.6 小时 B.12 小时 C.24 小时 D.36 小时

原书第145页

例（2010 海南）火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的 1，5 倍，根据以上数据，以下说法正确的是（） A.火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B.火星公转的周期比地球的长 c.火星公转的线速度比地球的大 D.火星公转的向心加速度比地球的大 CtM 上森为’筑肯。0 例 7· （2020 新课标 3）．娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的 K 倍。己知地球半径 R 是月球半径的 P 倍，地球质量是月球质量的 0 倍，地球表面重力加速度大小为 go 则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为（ P ） A. B · Qg C. 仨叩衿劂 = p 例& 〈2021 河北） “祝融号’伙星车登陆火星之前， “天问一号’髁测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为 2 个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为 2 个火星日，己知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的 0，1 倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为（ D ）耵葒《：心啭剮他时帛

04. 阳光照射及张角、遮光角问题

原书第146页

四、阳光照射及张角、遮光角问题、遮光角若地球外圈轨道上有一卫星》当卫星运动到一定位置时，由于地球对太阳光（可视为平行光）的遮挡作用，使得卫星处于本影区，本影区所对应的夹角度称为遮光角，为 2。设地球半径为 R,卫星运行轨道半径为 r,由几何关系可得：血。 = 假设卫星可以发光，则所发出的光线恰好与地球相切的两条射线之间的夹角称为张角。料添加微信般巯球半径，卫星轨道半艹。由几何关系可得血：一即张角与遮绍大小相等。例 1. 〈2016 新课标 I)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 6·6 倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的》则地球自转周期的最小值约为〈） A. lh B.4h C.8h D.1 〖解析〗若仅用三颗同步卫星达到地球表面全覆盖的目的，易得每个地球同步卫星的张角 = 60。，如图所示根据山。 = 一，得卫星运动轨道半径为，：2R 巛为地球半径）。目前地球同步卫星轨道半径约为， ’ ：6，6R ， 3 4 冗 2，根据天体独立方程理论》得卫星运动周期 T = GM 3 则周期比值一 = （一一）2，解得地球自转周期约为 4h0 B 正确。 24 6·6 讵球熟嚹的 1 60。

原书第147页

例 2．如图所示，飞行器尸绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为下列说法正确的 A.轨道半径越大，周期越长 B.轨道半径越大，速度越大 c.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度〖解析〗根据天体运动中口诀 1“高轨低速大周期” 》得 A 正确， B 错误。设星球半径为飞行器飞行轨道半径为 r ，张角为由几何关系得血一根据天体独立方程，得飞行器运动周期 4“2，3 4 r3 GM 3 p 一灭 3G sin 一 G 若 T 和孕己知，则可求得平均密度， C 正确；若 T 和己知，无法求得灭，故无法求得平均密度， D 错误若卫星是近地卫星，轨道半径相当于星体半径，，此时只需知道卫星运行周期即可知道星体平均密度。例 3· （2022 辽宁）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆 0 动！易测得地球一水星连线与地球一太阳连线夹角，地球一金连新网谋无水讠。则（ A.水瞓后期比金星的大 B.水星的公转向心加速度比金星的大 c.水星与金星的公转轨道半径之比为血： sinß,n D.水星与金星的公转线速度之比为- · 、醚牘忉斗狲 0．0：由 f 舻 T’

05. 怎样求解天体物理中的追及相遇问题

原书第148页

五、怎样求解天体物理中的追及相遇问题在直线运动中，追及问题的公式为：一：六为二者间隔。天体运动的追及问题，其实就是圆周的追及相遇问题。由口诀“高轨低速大周期”得位于低轨道的天体角速度较快，因此当恰好超过高轨天体一圈时间间隔 2 冗纟为一：2 籠，即一 2 1 1 1 一 ` = 2 冗，化简， 2 2 例 1。〈2014 新课标全国卷 I)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳亻甩动·当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间》！一” ’ “一《 ’ “ ：据报道， 2014 年各行星冲日时间分别是：1 月杰早柞《肩日火星冲日；5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日· 。己知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的（地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU) A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B.在 20 巧年内一定会出现木星冲日 C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短《解析〗 A 、 “行星冲日”现象即星体的追及问题，由题意：1， 1 1 1 -若’为 1 年，则行星公转周期一根据天体中的追及公式，得一一根据“高轨低速大周期” ，得行星轨道高度应该在无穷远处，故 A 项错误。 B 、根据天体独立方程，得 4 r3 3 3 1 1 1 GM ，2 则：5 2，即木星公转周期约为 12 年，根据一地木木解得木星的“行星冲日”时间间隔为睬·1 年，题中提及 2014 年 1 月 6 日为木星行星冲日，可推得 20 巧年内也有木星行星冲日， B 项正确。 1 羽

原书第149页

c 、天王星的轨道半径为土星的两倍，根据上述解析，得轨道半径与冲日时间间隔并不成正比， C 项错误。 1 1 1 ，得冲日时间间隔最短，则一最大，即最大，该行星的轨道高度也最高，海 D 、根据一王星符合要求， D 项正确。例 2。赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，设地球周期为，则卫星周期〖解析〗赤道上的人 3 天恰好看到 5 次卫星，即平均每看一次卫星时间间隔为 0．6 天即 0、6，根据天体中的追及公式， 1 1 1 T ％0·6％ 3 8 例 3。〈2021 湖北）2021 年 5 月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约 26 个月相距最近，地球公转周期为 12 个月。由以上条件可以近似得出（ D ） A.地球与火星的动能之比 B.地球与火星的自转周期之比 c.地球表面与火星表面重力加速度大小之比，添加微信： D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比 p: 「： T• 「态昀碍 0 年

06. 万有引力的深度分析

原书第150页

六》万有引力的深度分析模型一对质点模型，由表达式可知当’的时，万有引力 F 0；万有引力表达式为 F = 2 但需要注意的是》当，0 时，星体不能再视为质点，故万有引力尸砩的结论是错误的，对于质量分布均匀的、无法视为质点的星体而言，可将其质量集中于几何中心处，即，为球心与星体间的距离模型二．球壳模型（1)物体位于球壳内部时，有结论：球壳包围的空间内任意位置的物体受到球壳的万有引力为 0 （2）物体位于球壳外部时，球壳可看作为质量集中于质心的质点， GMm 此时可用万有引力表达式 F ：球壳模型的万有引力分布如图所示，灭为球壳的模型三、球体模型（ I)物体位于球体内部时，利用割补法》可视为物体受到以球心到该物体距离，为半径的球芯和外部球壳的万有引力，设球芯质量为 Mt ，根据球壳模型，得堠：0 GM#n GP—3 4 则 F —F + 尸一 F 引一芯壳一芯一 2 3 微信搜索公众号

原书第151页

即万有引力与物体距离球心的位置成线性关系。 GMm 〈2）物体位于球体外部时，球体可为质量集中于质心的质点，万有引力表达式为 F = 球体模型的万有引力分布如图所示，灭为球体半径。例 1·假设地球是一半径为依质量分布均匀的球体。一矿井深度为矶己知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）〖解析〗本題为球体模型，得产，，即重力加速度之比等于等于引力之比，如图所示韧又爭灭 1 即：底 = 底一， A 项正确。 R R 例 2·一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为设地球的半径为 RO 假定地球的密度均匀。己知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度矶

07. 怎样利用结论秒解双圆做比较类问题

原书第152页

七、怎样利用结论秒解双圆做比较类问题、双圆比较口诀根据天体独立方程理论，得 2 化简得 GM 此外补充天体运动中的三类能量： G 而，动能： ”2： 2r GMm 引力势能 = 2 2 GM 3 龐 4 冗 2r 4 冗 2，3 GM 2 GM GMm 〔机械能在圆轨道时表达式中带有负号，但是其他类型的轨道不一定）机械能： + ：观察可知：@机丨，：2。当天体之间的距离 r 增大时， GM 获取最新即口诀 GM GM GMm G.了琬仁君： “高轨低速大周期，大机大势小引力”隽 “低轨高速小周期，小机小势大引力” 该口诀可适用于双圆轨道运动情景的比较。注意# “高轨低速大周期” 、 “低轨高速小周期”所提到的物理量与灧无关 “大机大势小引力” 、 “小机小势大引力”所提及的物理量与有关因此当两颗不明质量的卫星环绕中心天体运动，只能作廿三速”以及周期的大小判断，而无法比较能量和引力的大小。但如果是卫星自身变轨问题则可以根据轨道高低判断出所有物理量的变化。

原书第153页

一、类比拓展氢原子能级 4 3 一 0．5 eV —ISI eV —3.4eV 司 3．6eV 0．85 eV jSl eV 3．4 eV 13.6eV —1.7 eV 一 3．02 eV -6，8 eV ·27．2 eV 电子动能：《 № E ：2 氤总 = + E 若大量激发态氢原子辐射电光子后，氢原子会降到更低的能级，动能增大势能减小。可记为： “高轨低动，大能大势” 。例 1·火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为 7 小时 39 分。火卫二的周期为 30 小时 18 分，则两颗卫星相比〈） D.火卫二的向心加速度较大〖解由题可知火卫二运动周期更大，根据口诀 1“高轨低速大周期” ，得火卫一所处轨道较低，火卫二所处轨道较高，则火卫二的角速度以及向心加速度都较小，故 B 、 D 错误， A 、 C 正确。例 2·2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙·2251”卫星和美国的“铱·33”卫星在西伯利亚上空约 805 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（） A.甲的运行周期一定比乙的长 0 甲的向心力一定比乙的小〖解析〗 B.甲距地面的高度一定比乙的高 D.甲的加速度一定比乙的大由题可知甲的运行速率比乙大，根据口诀 1“低轨高速小周期” 得甲所处的轨道高度较低，则甲运行周期比乙小，向心加速度比乙大，因此 A 、 B 选项错误， D 选项正确。题目中未给出甲乙的质量，因此无法比较向心力大小。微信搜索公众号

原书第154页

例 3·石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使’呔空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本地发射绕地人造卫星。如图所示，假设某物体 B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星比较（） A. B 的线速度大于 C 的线速度 B.的线速度小于 C 的线速度 0 若 B 突然脱离电梯， B 将做离心运动 D.若 B 突然脱离电梯， B 将做近心运动同步 P.星〖解析〗 B 和地球之间通过电梯相连，属于同轴转体问题，同轴转体的特征为等速度、等周期。由于为地球同步卫星，得：吻：，根据衫 = “ ， > ，得 > 。 C 均为卫星，的运动半径大于 C 的运动半径，根据口诀 1“高轨低速大周期” ，得 > ，故” e > 吻。选项 B 正确， A 错误。 2 ，又因为 > ，得 B 所受的向心力小于同高度所受的万 B 、 C 运行轨道高度一样，根据：有引力，即 < ，因此当脱离了电梯之后， B 会作近心运动。 D 选项正确。例 4·如图所示，。为放在地球赤道上随地球表面一起转动的物体， b 为处于地面附近、地轨道上的卫星， c 是地球同步卫星，是高空探测卫星，若口、 b 、 c 、的质产鸷 0 地餅附无水讲义资料添“艹 g.则下列说法正确的是（）力加速度为 A• 。重力加速 B. b 的角速度最大 C. c 距离地面的高度不是一确定值 D.是三颗卫星中动能最小，机械能最大的《解析〗地球上的物体。与地球同步卫星 c 角速度相同，属于同轴转体，则 = ％，又因为 > 得 > b. c 、都属于卫星，质量相同，运行半径逐渐增大，由口诀 1“高轨低速大周期，大机大势小引力” ，得 > > 吻， B 、 D 选项正确。得 > ‰ ，又 b 为近地卫星，向心加速度近似可认为等于重力加速度 g; 则郟 g > ‰ > ‰ ，故 A 选项错误同步卫星的特点为“除了质量全都一定” ，即距离地面的高度是确定值， c 选项错误。微信搜索公众号

原书第155页

例 5。如图所示，佑 b 、 c 是环绕地球圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，它们的质量关系是％，则〈 A. b 、 c 的线速度大小相等，且大于。的线速度 B. b 、 c 的周期相等，且小于的周期 C. b 、 c 的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度 D. b 所需向心力最小〖解析〗由口诀 1“低轨高速小周期，小机小势大引力” ，得处于低轨道的具有较大的线速度、较大的向心加速度和较小的运行周期，心、 c 两者轨道高度相同，则线速度、加速度、周期大小相等， A 、 B 、 c 选项错误。若三颗卫星质量相同，则 > = ，又 = < ，故 D 正确。例 6· 〈2011 全国）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24 小时轨道’ ‘上绕地球运行（即绕地球一圈需要 24 小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48 小时轨道”和“72 小时轨道” ；最后奔向月球·如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比〈 D ） B.里星动能增大，引力势能增大 A.卫星动能增大，引力势能减小 m 卫星动能减小，引势能增大 C.卫星动能减小，引力势能减小 435 获取最新网课例 7· （20 巧四川）登上火星是人类的梦想， “嫦娥之父”欧阳自远透中国计划于 2020 年登陆火星。地球和火星是公转视为匀速圆周运动。忽略行星自转影响：根据下表，火星和地球相比〈 b ）行星地球火星 A.火星的公转周期较小 C.火星表面的重力加速度较大娟两半径/ m 6·4 × 109 3·4 × 106 质量 6·0 × 1024 6·4 × 10 轨道半径/ m 1，5 × 1011 2·3 × 10u B.火星做圆周运动的加速度较小 D.火星的第一宇宙速度较大 9[巩瓠了

08. 如何利用结论秒解椭圆近远比类问题

原书第156页

八、如何利用结论秒解椭圆近远比较问题、椭圆比较口诀地球围绕太阳做椭圆运动，设近日点到太阳的距离为巧，远日点到太阳的距离为殇。由对称性可知，近日点与远日点处的圆弧曲率半径均为 p 。地球列出两点的 F ：，得引 2 2 G 为 = 吗 P = 2 得 y ： “2 殇，由于 < 殇，因此 > 。同理可得叫 > 叫，刍 > 02。一的远地点， “低速”指代远日点处” 、、。低于近日点处，同一轨道上各点机械能相等，由于远日点动能更小，因此势能更大， GMm 得远日点所受万有引力比近日点小。推知。由：也可以通过势能表达式，2 例 1· （2017 新课标 II 卷）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， p 为近日点，0 为远日点，为轨道短轴的两个端点，运行的周期为，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经过 M ，0 到的运动过程中（） A.从 P 到 M 所用的时间等于一 4 B.从 0 到阶段，机械能逐渐变大 C.从 p 到 0 阶段，速率逐渐变小 D.从 M 到阶段，万有引力对它先做负功后做正功〖解析〗远日点附近卫星运动速度小，近日点附近卫星运动速度大。海王星“ “艹一” 因此轨道上的运动并不是均匀的，即各段运动时间并不均分，故 A 错误。根据口诀 2“高轨低速等周期，等机大势小引力“ ，得 0、点在同一轨道上，机械能守恒， B 错误。从 p 到 0 阶段》轨道逐渐升高，则速率逐渐变小， c 正确。从 M 到阶段，轨道先变高后变低，势能先变大后变小。则万有引力先做负功后做正功， D 正确。

原书第157页

例 2。（2010 山东）1970 年 4 月 24 日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。 “东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点 M 和地点的高度分别为 439 和 2384 1，则（） A.卫星在 M 点的势能大于点的势能 B.卫星在 M 点的角速度大于点的角速度 c.卫星在 M 点的加速度大于点的加速度 D.卫星在 M 点的速度大于 7·9/ s 初弛球例 3· （2019 江苏）1970 年成功发射“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动·如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为、忉近地点到地心的距离为，，地球质量为 M,引力常量为 G.则（ b ） GM GM GM GM C. < V2，远地点近地点仨叩役骊肋固轨邕《鬍辋衲小 № 例 4· （2021 北京）2 1 年 5 月， “天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。 “天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星表面 2·8 × 102 妯、远火点距离火星表面 5．9 × 105，则“天问一号” （ D ） A.在近火点的加速度比远火点的小 c.在近火点的机械能比远火点的小十簿翱攸嘲· B.在近火点的运行速度比远火点的小 D.在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动

09. 利用圆和椭圆轨道特点直接得出答案

原书第158页

九、利用圆和椭圆轨道特点直接得出答案轨道问题中还有一类题目是将椭圆轨道和圆轨道进行比较，如图所示中心大体若两卫星绕中心天体分别在椭圆轨道及圆形轨道上运动，可使用开普勒第三定律： c 比较两者的运动周期大小，其中，为轨道半长轴。设远地点距离中心为近地点距离中心为 b ，变轨之前椭圆轨道周期为，变轨之后圆轨道周期为 T ， G.旃 4 帚 2 根据远地点处万有引力定律及开普勒第三定律，得 a+b 3 3 2 2 a+b 由于一 < 0，故尸 < T 。总结为口诀椭圆半长当半径，高轨大周期。即可将椭圆的半长轴视为圆轨道的半径，通过“半径”比较周期的大小。例 1。己知》某卫星在赤道上空轨道半径为的圆形轨道上绕地运行的周期为，卫星一动方向与地，该卫星如图在球自转方向相同，赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星点变轨进入椭圆轨道，近地点到地距 (h)T 巧 + 殇 1 C.卫星在图中椭圆轨道由到 B 时，机械能增大 D.卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中，机械能不变〖解析〗根据开普勒第三定律，得 3 （弓(%)T ， B 选项错误。 2 解得’ = （202 1 1 卫星在椭圆轨道由 A 到 B 时，根据口诀 2“高轨低速等周期，等机大势小引力” 。得同一轨道上各点机械能相等， C 错误。根据口诀 3“高轨大机大周期” ，得由圆轨道进入椭圆轨道时，机械能减小， D 错误。赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方，可知地球转 3 圈，卫星转 8 圈》则卫星的周期 T ：一，故 A 项正确，本选项也可利用天体中的追及公式解决，具体方法见“怎样求解天体物理中的迫及相遇问题” 。 15B

10. 缓慢变轨问题

原书第159页

十、缓慢变轨问题、缓慢变轨间题主要有两大类情境和三小类问题。当卫星沿圆形轨道围绕中心天体运动，由万有引力提供向心力讨论：若出现以下变化： (1) G 变化 7 V GMm G 增大增大向心力不变 > 砩近心运动运行半径减小此时对于同一个卫星的轨道变化可应用口诀 1“低轨高速小周期，小机小势大引力”求出其他物理量的变化。（2）中心天体质量变化 GMm M 增大增大向心力不变 > 近心运动运行半径减小比如：当卫星运动到质量密度较大的区域时，由于所受引力增加，便看作中心天体质量增大。强调：卫星的质量变化时不引起轨道变化。情形二；若天体运动过程中受到摩擦力增大，由于摩擦力做功增大，机械能减小。应用口诀 1“低轨高速小周期，小机小势大引力”可以得至丨、结论 0 上述磊以归结出口诀 4：大 G 大 M 大摩半径减小无关。即的变化不影响轨道半径的大小，但 G 、 M 以及摩擦力的增大都会使轨道半径减小。例 1。 “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为乃运行速率为沩当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 A.厶都将略为减小 c. ，将略为减小， v 将略为增大 B. ，、 v 都将保持不变 D. ，将略为增大， v 将略为减小《解析〗由题意可得中心天体质量增大，根据口诀 4“大 G 大 M 大摩擦，半径减小泐无关’ ’ ，得探测器运行半径减小。根据口诀 1“低轨高速小周期” ，得探测器运行速度增大。故答案为 CO 例 2。在研宄宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说“ ，这种学说认为万有引力常量 G 在缓慢地减小·根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（） A.公转半径较大 c.公转速率 v 较大 B.公转周期 T 较大 m 公转角速度 o 较小〖解析〗由题意可得过去 G 较大，根据口诀 4“大 G 大 M 大摩，半径减小无关” ，得过去地球运行轨道半径较小， A 错误；根据口诀严低轨高速小周期” ，得过去地球运行线速度、角速度较人，周期较小。 C 正确， B 、 D 错误。微信搜索公众号

11. 急速变轨问题

原书第160页

十一、急速变轨问题当飞船在屋点加速点火，速度增大机械能增大一轨道半径增大对于切点有：外圈速大相等。 2 增大 > 离心运动砩即在变轨前后加速点处，该点速度在外圈轨道上更大。在同一点由于受到中心天体的万有引力不改变》因此加速度不变。本情景也可结合椭圆于圆轨道比较、椭圆远近比较等问题综合考察。例 1·我国“神舟”十一号飞船先沿椭圆轨道 I 运行，在接近 400 高空 Q 处与“天宫”二号完成对接，对接后组合体在轨道上做匀速圆周运动，两名宇航员在空间实验室生活、工作了 30 天。飞船于 11 月 17 严中“ “5’ 日与“天宫”二号成功实施分离，并于 11 月 18 日顺利返回着陆场·下列、 A.飞船变轨前后的机械能守恒一的周期大于组合体在轨道 II 上运行的周期 D.飞船在轨道 I 上运行时经 p 点的速度大于组合体在轨道 II 上运行的速度〖解析〗 AC,根据口诀 3， “椭圆半长当半径，高轨大机大周期” ，变轨后相当于轨道半径增大，故飞船机械能增大、周期增大。 AC 错。 B 、第一宇宙速度是航天器最大环绕速度，故组合体速度不可能大于第一宇宙速度。 B 错误。 m 可假设近地圆轨 0 与 I 轨相切于 P,根据“外圈速大”则 < 《对于 0 和两个圆形轨道，由高轨低速可知， > ，所以 > ， D 对。〖答案〗 D 1 闐

原书第161页

例 2。科幻影片《流浪地球》中为了让地球逃离太阝日系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道 I 上运行到远日点 P 变轨进入圆形轨道在圆形轨道上运行一段时后在点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚。对于该过程，下列说法正确的是（） 1 太彐 P A.地球在 p 点通过向前喷气减速实现由轨道 I 进入轨道 ll B.若地球在 I 、 II 轨道上运行的周期分别为脒则 TI 灯 2， c.地球在轨道正常运行时（不含变轨时刻）经过 P 点的加速度比地球在轨道 II 正常运行（不含变轨时刻）时经过 P 点的加速度大 D.地球在轨道 I 上过 0 点的速率比地球在轨道 II 上过 P 点的速率小〖解析〗 A 、地球向外圈变轨须加速》故向后唢气， A 错误。 B 、由口诀 3“椭圆半长当半径，高轨大机大周期” ，轨道 2 半径大，故 > B 对。由口诀 2“外圈速大。相等” ，故二者加速度相等， C 错误心例 3· （2010 江苏）2009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在点从圆形轨道 I 进入椭圆轨道， B 为轨道上的一点，如图所示》关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有） A.在轨道 II 上经过的速度小于经过召的速度 B.在轨道 II 上经过屋的动能小于在轨道吐经过的动能 C.在轨道上运动的周期小于在轨道吐运动的周期 D.在轨道上经过的加速度小于在轨道吐经过的加速度鴟：《鬍周辄等氕鈾啕勿／ ·轨道

12. 巧解双星体系类问题

原书第162页

十二、巧解双星体系类问题如图所示，星体 1 与星体 2 只在彼此之间的引力作用下，将会以连线上的某点 0 为圆心做圆周运动，且系统稳定，故运行周期必然相同。设两颗星体到 0 点的距离分别为弓、，根据万有引力独立方程及关联方程，得 G 叫一 4 解得即两颗星体的公共旋转中心位于其质心处，此公式可类比于初中所学杠杆原理，即质心在杠杆支点处。当叫，则《，即公共旋转中心无限接近于某一星体质心，也就是中心天体模型。 4 冗 2 + 0）当叫，则确 + 郐叫，卯相似，同样也是中心天体模型。 GM 例亂 2016 年 2 月 11 巳科学家宣轍光干涉引力波天文台(LIGO)测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念 1 周年后，引力波被首次直接观测到·在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统·如图所示，黑洞 B 可视为质点，它们围绕连线上 0 点做匀速圆周运动，且 0 大于 BO’不考虑其他天体的影响·下列说法正确的是〈） A.黑洞的向心力大于 B 的向心力 B.黑洞的线速度大于 B 的线速度 C.黑洞的质量大于 B 的质量 D.两黑洞之间的距离越大。的周期越小〖解析〗受到的万有引力相等，万有引力提供向心九两者向心力相等， A 错误．由题意可知，两个黑洞为同轴转体，角速度相等，根据 = “ 》得黑洞的线速度较大， B 正确。根据双星体系结论 = 又 > ，得 < ， C 项错误。 4 冗 2 + 3 得黑洞之间的总距离增大，总质量不变，因此的周期增大，根据双星体系结论 T ： D 错误。

原书第163页

例 2· （2013 山东〉双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研宄发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T,经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的炝倍，两星之间的距离变为原来的”倍，则此时圆周运动的周期为（ B ） 3 A. B. lc C. D. 0 式加律 T 例 3· （2018 新课标 l)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100s 时，它们相距约 400，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星〈 B9 A.质量之积 B.质量之和 c.速率之和 D.各自的自转角速度文阻 F 加微信一噲一’ /腐 0 掏．尺’ ：冫灬 1 例 4·券另 M 的两个星球关和 B 在引力作用下都绕 0 点做匀速周运动，星球关和 B 两者串心之间距离为乙。已知 B 的中心和 0 三点始终共线，和 B 分别在 0 的两侧。引力常数为 G. （1)求两星球做圆周运动的周期。（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响}可以将月球和地球看成上述星球和月球绕其轨道中心运行为的周期记为 TIO 但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期乃。己知地球和月球的质量分别为 5·98 × 1 kg 和 7·35 对 kg 。求与乃两者平方之比。（结果保留 3 位小数）迦到微信搜索公众号

13. 如何利用质心法本质性解决三星类问题

原书第164页

十三、如何利用质心法本质性解决三星类问题三星问题类比双星模型及拉格朗日点问题。有两类模型： @共线模型：在双星模型的质心处增加第三颗星体，三星共线，其质心处卫星保持相对静止，另外两颗以其为中心进行转动。《耐甲 @等边三角形模型：无论三颗星体质量是否相等，都处于等边三角形的三个顶点处，绕质心做同周期旋转。对于一般的三星模型找质心的方法如下: O 利用两两找质心：叫 = ，先确定某两颗星体的质心，如图: 3“ 2 厂 5m @将“等效质量”与第三颗星“两两找质心” ，即得孚统、 ·窟图所示质心 0 利用质心即可快遠求出各个皇体的旋转半径以及旋转周。例如图所示，三星体系三颗星体的质量分别为忉、2、3 分别位于等边三角形的三个顶点上，各自相距距离为求三星的质心位置 3D1

原书第165页

〖解析〗．确定质量较小的两颗星体之间的质心位置，由 = 2，得质心位置为两颗天体连线的三等分点处。 3 @由 3：3 再次求得系统质心位于质量 3 星体和两颗星体质心连线的中点处。 3m 3 O 利用余弦定理求得质量 3 星体和两颗星体质心之间的距离为 G3 帚講又黾孬网讠 2 一 6 口 2 O 由余弦定理可知引力合力为忉 = （6）2 + （3 场）2 一 36“120。一 3 4 窟 O 由万有引力提供向心力得对： T2 2 03 解得 T = 3G 2 总结:通过上述一般性问题，我们找出了求三星周期的一般解题通法，这样不需要再通过特殊问题凑图形特征而迷失解题方向。 1

14. 拉格朗日点问题总结

原书第166页

十四、拉格朗日点问题总结在拉格朗日点，人造卫星可与月球具有相同的周期。由于考虐月球对卫星的引力，第一个拉格朗日点：位于与月球相同的轨道高度，在月球的对面位置，由于距离较远，此时月球对卫星的引力可以忽略，如图中。乙《第二个拉格朗日点 4：如图，运行高度低于月球轨道，此时由于卫星受到的月球对它的引力不可忽略，因此不可用“高轨低速大周期”分析，卫星周期可能与月球相等，如图中位于地月连线的处。第三个拉格朗日点 4：所在高度比月球轨道高度更高，同样由于此时不可忽略月球的引力，卫星的运行周期可以与月球相等，如图中与。对于可列如下方程求解: 设月球到地球距离为行卫星到月球距离为地球、月球、卫星质量分别为 M 、、砌，根据万有引力提供向心力，得

原书第167页

GMmo G 0 4 2 2 ，又写一，可根据以上方程求解 0 2 GMm 4 冗 2 第四个拉格朗日点 L4，与月球轨道相同，该点与地球、月球一起构成三星体系，即三颗星体分布呈等边三角形。推导如下设质量均为 M 、相距为口的两个天体所组成的双星模型，两颗星体到该质心的距离分别为、，运行周期为，根据万有引力提供向心力，得 GM2 M4 冗 2 2 4 冗 20 + ）3 GM2 M4 冗 2 2 运用心法解决三星体系问题，设卫星质量为，则相对于两颗同质量星体，卫星的质量近似为 0，故此三星体系质心的位置就在两星体中点处，由几何关系得卫星运动半径 r = 一口，卫星受到的万有引力合力为 02 × 一忉 4 窟 2 § 根据万有引力提供向心力，得 = 2 卫 4 窕 2 + ）3 嫲 2 口 3 解得： _ Gx2M Gx2M 故兀 4 处即为第四个拉格朗日点。根据对称性，第五个拉格朗日点与关于两星体连线对称。

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第5章 天体物理

第5章 天体物理

本章核心图谱

小专题索引

精修正文（对照原书逐页校订）

01. 如何根据运动方程得到关键词结论

原书第138页：天体题的四个关键词

原书第139页：表面转与密度

原书第140页：表面重力加速度与密度半径

02. 如何判断天体的哪种量无法计算

原书第141页：先看谁被消掉

原书第141-142页：典型判断

03. 如何在天体物理中计算比值类数学问题

原书第143页：先表达后正比

原书第143-145页：表面下落实验与行星比较

04. 阳光照射及张角、遮光角问题

原书第146页：遮光角与张角

原书第146页：三颗同步卫星覆盖赤道

原书第147页：由周期和张角求密度

05. 怎样求解天体物理中的追及相遇问题

原书第148页：圆周追及公式

原书第148-149页：行星冲日

06. 万有引力的深度分析

原书第150页：质点、球壳、均匀球体

原书第151页：矿井与单摆

07. 怎样利用结论秒解双圆做比较类问题

原书第152页：双圆比较口诀

原书第153-155页：典型比较

08. 如何利用结论秒解椭圆近远比类问题

原书第156页：椭圆近远点口诀

原书第156-157页：远近点例题

09. 利用圆和椭圆轨道特点直接得出答案

原书第158页：椭圆半长轴当半径

原书第158页：赤道城市看到卫星

10. 缓慢变轨问题

原书第159页：慢变轨口诀

11. 急速变轨问题

原书第160页：点火变轨原则

原书第160-161页：飞船、流浪地球、航天飞机

12. 巧解双星体系类问题

原书第162页：双星基本模型

13. 如何利用质心法本质性解决三星类问题

原书第164页：三星两类模型

原书第165页：等边三角形三星

14. 拉格朗日点问题总结

原书第166-167页：五个拉格朗日点

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

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第5章天体物理

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