第3章牛顿运动定律

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本章核心图谱

牛顿运动定律核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	如何列整体、隔离受力方程组	76
2	起飞类临界问题	80
3	如何利用系统牛顿第二定律解决整体隔离法问题	81
4	如何利用内力公式解决连接体问题	83
5	如何利用内力公式解决板块问题	89
6	弹簧中的物块分离问题	95
7	弹簧连接块模型	97
8	加速度的瞬时判断	99
9	等时圆	101
10	通过 F-t 画 v-t	103

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 076-104 页。第三章已完成主干结构化精修；后续可继续对个别高考题补更细的原图复刻和二刷题组。

01. 如何列整体、隔离受力方程组

原书第076页：动力学方程的三种状态

牛顿运动定律题先分清运动状态，再决定方程长相：

状态	方程	建系原则
平衡	$\sum F = 0$	让尽可能多的力落在轴上
匀加速直线	$\sum F = ma$	一轴平行加速度，另一轴垂直加速度
水平匀速圆周	$\sum F_{径向} = m ω^{2} r$	水平径向列向心力，竖直列平衡

关联方程只在需要时写，例如 $f = μ N$ 、 $F = k x$ 、 $F = q v B$ 、绳长几何关系等。不要把所有可能公式都写上，方程越多越容易乱。

整体隔离独立方程法

原书第077页：整体隔离法的方程数量

若题中有 $n$ 个可独立研究的物体，常用规则是：

整体先列一组方程，内力自动消掉。
再隔离受力最少、方程最干净的物体。
除整体外，通常再列 $n - 1$ 个对象的方程即可。
横平竖直常列一个方向；出现倾斜受力或倾斜加速度，往往要列一组 $x / y$ 方程。
有临界先隔离临界物体。
对称结构少列一组。

“整体 + 隔离”不是口号，而是控制未知量数量的方法。真正要练的是：哪个对象方程最短，哪个对象必须隔离。

原书第077-079页：多体连接装置题

三物体、轻杆、轻绳、弹簧组合题的通用拆法：

先整体：得到外力与系统加速度的关系。
再隔离受力少的物体：通常能得到绳力、杆力或几何角。
若某物体受倾斜绳力或杆力：必须写水平、竖直两式。
对称装置：只列一侧，另一侧由对称性补足。

这类题的难点不是牛顿第二定律，而是“隐藏未知量”：角度、弹簧长度、圆周半径、杆力正负。题目越复杂，越要先数未知量，再决定列几组方程。

02. 起飞类临界问题

原书第080页：起飞临界的本质

“起飞”不是一定真的飞离地面，而是某个接触力变为零。典型信号：

接触面支持力 $N = 0$ ；
绳或杆的约束力刚好消失；
加速度变大导致竖直方向所需分力达到重力。

起飞类临界问题

做法：

先判断哪个物体会临界。
隔离临界物体。
把临界条件写成 $N = 0$ 、 $T = 0$ 或某分力等于 $m g$ 。
再用整体方程求外力范围。

原书第080页：斜劈无相对滑动

光滑斜劈被水平力 $F$ 推动，斜面上物块相对斜劈静止。对斜面上物块：

N cos α = m g

所以：

N = \frac{m g}{cos α}

同时水平分量提供共同加速度：

N sin α = ma

得：

a = g tan α

若系统总质量为 $M + m$ ，则：

F = (M + m) g tan α

原书对应选择为 B、D。这题是“起飞临界”前的标准无相对滑动模型。

03. 如何利用系统牛顿第二定律解决整体隔离法问题

原书第081页：系统牛顿第二定律

课本写法 $F = ma$ ，对系统更准确地说是：

\sum F_{外} = \sum m_{i} a_{i}

当各部分加速度相同时，才能提取公因式：

\sum F_{外} = (\sum m_{i}) a

若各部分加速度不同，整体法仍可用，但右边不能写成总质量乘同一个加速度。

系统牛顿第二定律

关键提醒：整体法的左边只写外力，系统内部的绳力、弹簧力、相互挤压力都不写。

原书第081-082页：木球上浮与弹簧秤示数

装满水的容器放在弹簧秤上，剪断绳后木球上浮。木球加速度向上，同时木球原来占据位置对应体积的水等效向下运动。

对“容器 + 水 + 木球”系统：

N - M g = m_{木} a_{木} + m_{水} a_{水}

由于木球密度小于水，同体积水的质量更大，向下项占优，系统等效失重，弹簧秤示数变小。

答案：B。

原书第082页：气泡、木球、铁球的惯性方向

容器突然向右加速：

气泡：被滞后的水挤向右，向前移动。
木球：同体积水的惯性更大，水对木球向右挤，木球向前。
铁球：铁球质量大于同体积水，惯性更大，相对水向后。

这类题不是“谁轻谁飘”这么简单，本质是比较物体与被排开液体的质量。

04. 如何利用内力公式解决连接体问题

原书第083页：什么是内力

受力物体和施力物体都在选定系统内部，该力就是内力。连接体里常见内力：

绳子拉力；
弹簧弹力；
轻杆压力或拉力；
两带电小球之间的库仑力。

注意：电磁感应“双棒”模型中，安培力往往来自外磁场，不一定能当系统内力处理。

连接体内力公式

原书第083-084页：单一外驱力模型

两个物体 $m_{1}, m_{2}$ 在同一直线上由外力 $F$ 共同加速。若 $F$ 直接作用在 $m_{1}$ 上，绳拉着 $m_{2}$ ，则：

a = \frac{F}{m _{1} + m _{2}}

T = m_{2} a = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} F

如果地面摩擦、斜面重力分力等对每个物体都与质量成正比，它们属于“环境场力”，在内力公式中会约掉，不改变这个结果。

原书第084-086页：双外驱力与杆连接

两端外拉模型中，外力分别作用在 $m_{1}, m_{2}$ 上，张力会被两端共同“拉大”。常用记忆：

外拉：交叉相乘再相加。

T = \frac{m _{1} F _{2} + m _{2} F _{1}}{m _{1} + m _{2}}

若是轻杆连接，两端外力可能让杆受压，也可能受拉，要规定正方向。内力大小常写成：

轻杆：交叉相乘再相减，最后取绝对值。

T = \frac{m _{1} F _{2} - m _{2} F _{1}}{m _{1} + m _{2}}

原书第086页：同质量带电小球释放

两个同质量小球电量分别为 $q_{1}, q_{2}$ ，在匀强电场中由细线连接，忽略重力和相互库仑力。若 $q_{1} > q_{2}$ ，两个小球单独加速度不同，细线内力负责把它们“拉成共同加速度”。

由内力公式：

T = \frac{∣ q _{1} - q _{2} ∣ E}{2}

这题的关键词是“外场力 $qE$ 不与质量成统一比例”，所以不能被当成普通环境场力约掉。

05. 如何利用内力公式解决板块问题

原书第089页：板块模型为什么能用内力公式

板块模型中，上下物块之间的静摩擦力，本质上就是系统内部的“连接力”。当上下物块不相对滑动、具有共同加速度时，可以把两物块间静摩擦力当成连接体内力，用上一节的内力公式快速求。

板块模型内力公式

基本判断：

研究两物块整体：两物块间摩擦是内力，不写。
研究上块或下板单独：两物块间摩擦是外力，要写。
地面摩擦是否能约掉，取决于你怎样划分系统；不能机械当“环境场力”。

原书第089-090页：四个基本模型

模型一：光滑地面上拉上块，二者共加速。上、下物块间静摩擦力为：

f = \frac{m _{下}}{m _{上} + m _{下}} F

模型二：地面粗糙，外力拉上块。地面对下板的摩擦只作用在下板，不按两物块质量同比例分配，因此要按双驱模型处理。

模型三：外力作用在下板，地面粗糙。下板受到外力与地面摩擦的合效果，可以先合成，再对上块求所需静摩擦。

模型四：上下块各有外力，且下板还受地面摩擦。先把每一侧外驱力整理清楚，再用“交叉相乘”公式求内部静摩擦。

板块题最容易错在“看见摩擦就想写 $μ m g$ ”。先问自己：这个摩擦是系统内力，还是选定系统外力？

原书第090-091页：底滑面糙，共加共减

当上下物块共同加速或共同减速，且系统中没有额外复杂外力时，能否保持相对静止，主要看上、下接触面的摩擦能力。

原书口诀：

底滑面糙，共加共减。

含义：下板与地面相对滑动时，若上表面的最大静摩擦能力不足，就无法带着上块共同加速或共同减速；通常需要上表面摩擦因数大于下表面摩擦因数，才有共同运动的可能。

原书第091-093页：先表达，后临界

求最大拉力、最大绳力、最大加速度时，推荐顺序不是直接猜临界，而是：

先假设共加速，写出两物块间静摩擦力的一般表达式。
再令这个表达式达到最大静摩擦力。
判断是哪一处接触面先达到临界。
最后回代求外力、绳力或加速度。

这个方法比“上来就设某处临界”稳，因为它能看见每个接触面随外力增大如何变化。

原书第093-094页：2014 江苏叠放物块

两物块 $A, B$ 叠放在水平地面上， $A, B$ 间动摩擦因数为 $μ_{1}$ ， $B$ 与地面间动摩擦因数为 $μ_{2}$ ，对 $A$ 施加水平拉力 $F$ 。

解题主线：

若 $A, B$ 共同运动，先用整体法求共同加速度。
再用隔离或内力公式求 $A, B$ 间所需静摩擦。
与最大静摩擦比较，得到是否相对滑动。
若已相对滑动，则 $A$ 的加速度由滑动摩擦限制，不会无限增大。

原书答案：B、C、D。

06. 弹簧中的物块分离问题

原书第095页：分离的两个临界方程

弹簧分离题的本质：两物体原来被弹簧或挡板约束在一起，后来某个接触内力逐渐减小，直到为零。

分离临界同时满足：

N = 0

a_{1} = a_{2}

第一式表示二者刚好没有相互挤压；第二式表示这是最后一个“还能一起运动”的瞬间。

弹簧分离临界

原书第095-096页：斜面弹簧与挡板

小球沿光滑斜面下滑，挡板以给定加速度向下运动。球与挡板分离时，挡板对球的支持力为零，且球的加速度等于挡板加速度。

沿斜面列球的方程：

m g sin θ - k x = ma

令 $a = a_{挡板}$ ，解出分离位移。原书例题中：

x = 0.1 m

速度最大不是分离时刻，而是分离后满足合力为零：

m g sin θ = k x

原书得到速度最大位置为 $x = 0.5 m$ 。

答案：A。

原书第096页：水平面两物体变力分离

两物体紧靠在一起，外力随时间变化。判断分离时，不要只看外力谁大，而要看接触力何时减为零。

步骤：

先假设两物体共同运动，求共同加速度。
隔离其中一个物体，写接触力 $N (t)$ 。
解 $N (t) = 0$ 得分离时刻。
分离后两个物体按各自受力单独运动。

原书该例为“不正确项”选择题，答案标注为 C。

07. 弹簧连接块模型

原书第097页：抬起下方物块的位移结论

两个物块通过轻弹簧连接，下方物块放在地面或挡板上。若缓慢拉上方物块，直到下方物块刚要离开支撑面：

初态：弹簧形变量由上方物块的平衡决定。
末态：下方物块刚离地，支持力为零，弹簧拉力等于下方物块重力分量。
上方物块位移等于弹簧从初态形变量变到末态形变量的总变化量。

竖直等质量常见结论：

Δ x = \frac{2 m g}{k}

斜面上把 $m g$ 换成沿斜面的分量 $m g sin θ$ 。

弹簧连接块模型

原书第097-098页：恒力拉 A，B 刚离地

等质量 $A, B$ 用劲度系数 $k$ 的轻弹簧相连，静止在水平面上。对 $A$ 施加竖直向上的恒力 $F = 2 m g$ 。

刚施加力时，弹簧形变量尚未来得及改变，原来 $A$ 受力平衡，因此新增的合外力就是 $F$ ：

a_{A} = \frac{F}{m} = 2 g

所以“刚施力瞬间 $a = g$ ”错误。

$B$ 刚离地时：

k x = m g

此时弹簧对 $A$ 向下拉力为 $m g$ ，外力 $2 m g$ 向上，重力 $m g$ 向下，故 $A$ 合力为零：

a_{A} = 0

再用动能定理可得对应速度。原书答案：B、D。

08. 加速度的瞬时判断

原书第099页：哪些力能突变，哪些力不能突变

瞬时判断题先分力的“突变能力”。

力	突变特点
弹簧弹力	不能突变，因为形变量不能瞬间改变
橡皮筋弹力	通常不能突变，前提是在弹性限度内且长度瞬间不变
轻绳拉力	可突变，剪断后立即为零
轻杆作用力	可突变，可拉可压
支持力、摩擦力	可突变，接触条件变了就变

加速度瞬时判断

口诀：

弹簧看原长，绳杆看新态。

原书第099页：抽去木板的双木块弹簧

上、下木块由轻弹簧连接，系统原来静止在水平木板上。突然抽去木板的瞬间：

弹簧长度不变，所以弹簧力不变。
上木块原来由弹簧平衡重力，瞬间仍然平衡，故 $a_{1} = 0$ 。
下木块失去木板支持力，受到自身重力和弹簧向下作用力。

若上木块质量为 $m$ ，下木块质量为 $M$ ，则：

a_{2} = \frac{( M + m ) g}{M}

方向向下。

原书第100页：剪绳、剪杆、吊盒问题

剪断绳或杆的瞬间：

先删除被剪断的约束力。
保留弹簧当时的弹力。
对每个物体重新列瞬时牛顿第二定律。

吊盒内用弹簧悬挂物体时，剪断吊盒上方绳子的瞬间，弹簧长度不变，内部物体受力可暂时保持原弹簧力；吊盒本身则失去上方拉力，出现更大的向下加速度。原书该例答案：D。

09. 等时圆

原书第101页：等时圆母题

等时圆指：在竖直圆的最高点沿不同光滑弦轨道释放小环，到达圆周上对应点所用时间相等。

证明骨架：

设圆半径为 $R$ ，弦与竖直方向夹角为 $θ$ 。

弦长：

s = 2 R cos θ

沿弦方向加速度：

a = g cos θ

由 $s = \frac{1}{2} a t^{2}$ ：

t = \frac{2 s}{a} = \frac{4 R}{g}

与 $θ$ 无关，所以等时。

等时圆模型

原书母题答案：D，三个时间相等。

原书第102页：等时圆的构造题

等时圆常用于“找最短时间路径”：

把起点作为等时圆的最高点或最低点。
让目标轨道、斜面或传送带与圆相交/相切。
通过圆的半径判断时间，半径越小，等时时间越短。

2021 全国甲光滑平板下滑时间随夹角变化题，夹角从 $3 0^{\circ}$ 增大到 $6 0^{\circ}$ 时，下滑时间 先减小后增大。

答案：D。

10. 通过 F-t 画 v-t

原书第103页：方法论

通过 $F - t$ 或 $a - t$ 图像考查分段匀变速运动，核心不是硬套公式，而是把它转成 $v - t$ 图像。

步骤：

由 $F$ 求 $a$ ：无摩擦时 $a = F / m$ ；有摩擦时先扣除摩擦力。
用 $a - t$ 面积求速度变化量： $Δ v = \int a d t$ 。
画出 $v - t$ 图像。
用 $v - t$ 面积判断位移，用斜率判断加速度。
若问功和动能，优先用动能定理交叉校验。

通过F-t画v-t

原书第103页：力的方向不变，速度何时为零

质点从静止开始受同一直线方向变力作用。判断“速度改变方向”不能只看力变号，要看冲量面积累计到零的时刻。

原书例 2：

第 2 s 末不是速度改向；
第 4 s 末总冲量为零，速度回到零；
位移不一定回到出发点。

答案：D。

原书第104页：2022 全国甲水平力图像

有摩擦的 $F - t$ 图像题，先画净力：

F_{合} = F - μ m g

再由：

a = \frac{F _{合}}{m}

画 $v - t$ 。速度图像的面积给位移，净力对物块做功等于动能变化；外力 $F$ 做功要用 $F$ 与位移分段计算。

原书答案：A、D。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 如何列整体、隔离受力方程组

原书第076页

第三窳牛顿运动定律如何列整体飞隔离受力方程组本专题是整个高中物理的精髓，它彭洗脑般的存在了诸多人的心中多年，即便是毕业也久久挥之不去。在过往十七年的教学中，我精雕细刻的修缮了这部分的做题逻辑及知识体系，其中将大学物理课本中的、 “达朗贝尔原理用高中生听得懂、敢用、敢做的的方式形成了独树一帜的做题方法一一·整体隔离法的独立方程理论！希望同学们反复思考，熟稔本专题的解题方法。本部分的内容涉及到单个物体及多个物体的动力学的建系列独立方程的方法，我们逐个梳理一下知识体系：、不同状态的动力学方程: 平衡：习 F ：0（公式 3·2·1）匀加速： EF ： “ 〈公式 3·2·2）匀速圆（水平头 F 一一。向（公式 3 办 3）、单体或系统建立坐标系准则：平衡 £ 使尽可能多的力落在轴上（分解的少）匀加速：平行与加速度；犭尺、列分解方程独立方程匀加速类 2 匀速圆周类关联方魁歹 = ，： B ，：@ ，4=qvB 〖老王提醒〗关联方程和独立方程不一定都要写出，如果受力出现倾斜，才需要写出一组独立方租〈業方向和/方向），如果受力是横平竖直，往往写出一个方向的方程就可以，其通常是待求的方向的方程。微信搜索

原书第077页

接下来我们正式讲解当存在个单独的研宄对象时整体、隔离独立方程组方法仑．整体列一个（组） @隔离受力少的列 1 个（组） O 横平竖直列一个，倾斜列一组 @有临界的先临界 O 对称情形少一组以上就是整体隔离法的独立方程原理，对应方法，我来解释一下：． + 0 两句很多同学应该在学校里也听老师讲过，包括笔者以前在上学时，常听老师敲黑板： “整体列。然后隔离受力少的列’ ，！但是这句话并不完整，因为如果出现三个甚至更多的物体，我们应该隔离受力少的列几个呢？在．中我给出了答案，除了整题外，其余方程只能再列艹·1 个，只有这样才得方程数不多不少，恰好包含了所有未知数。．句解释了．和．中的“个” 、 “组”的疑惑，其中： “个”指的是包含了加速度方向的受力方程 “组”的是 x 及/轴方向当物体受力是水平、竖直时，往往都是其中一个方向有加速度，另外一个方向保持平衡，我们需要列出的是带有加速度方向的方程；当物体受力是倾斜的，或者加速度方向为倾斜时，此时必然含有角度》因此，我们需要写出两个方才能满足方程数量的要求。连， B 与凸起之间的绳是水平的。用一水平向左的拉力作用在物体 B 上，恰使物体 B 、 C 保持相对静止，如图，己知物体、从 c 的质量均为功，重力加速度为 g’不计所有的摩擦，则拉力 F 应为多大？《解析〗本题己知量少未知量多，与第一章中的难题师出同门，其具体解题步骤：〈1)包含三个单独的研宄对象朩丛 C B F 〈2）经整体受力分析发现，所受力方向为横平和竖直，所以只需要列一个水平方程就可以。（3）经隔离受力少的 B 发现，所受力方向仍为横平和竖直，设绳上拉力为 T ，列出一个水平方程即可。〈4）隔离 C 发现，所受力为竖直重力和倾斜拉力 T ，其中还包含一个位置角度一一一绳与竖直方向夹角 9，因此需要列出水平和竖直两个方程一一水平方向提供加速度，竖直方向保持平衡。由图可知有 3 个单体，所以应列 3 组方程整体列一组： F = 3“ ，隔离受力少的 B,为“横平竖直”所以只用列出一个方程，设物体 B 受到的拉力为，可列为： F-TD=ma 根据右下角物体的受力情况，设拉力为，物体 c 与竖直方向上的夹角为

原书第078页

可列出方程组花 cos ： g 代入求解，根据 F ：3“与 F 一： “解得：2“ ，又：花，花 s 9 = 把：2“代入，得血 = 一（注意隐藏未知量也可解出），。 = 3 Tccos9=mg 把。：一 g 代入 F ：3“ 解得 F ： g 。例 2· （20 巧江苏）一转动装置如图所示，四根轻杆、 OC 、和与两小球及一小环通过铰链连接，轻杆长为球和环的质量均为 0 端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在 0 与小环之间，原长为磊装置静止时，弹簧长为旦 L ，转动装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 g,求: （1)弹簧的劲度系数炝：（2）杆中弹力为零时，装置转动的角速度《〈3）弹簧长度从缓慢缩短为一的过程中，外界对转动装置所做的功。〖解析〗刁 2 〈 D 因为、0 对称，由方法论中的第 O 句一一出现对称少一组。的只列认逆即可球受力分析如图：设创、杆中的弹力分杆．1 小环受到的弹力设为，血：血对于球 *B 受力分析如图所示： s = s 血巪对于环（是环与 F 的夹角）： + 2“巪针对可列出（其中为球到弹簧的距离）》解得炝： 3 cosq = 互一〈2〉设、杆中的弹力分别为场、写，弹簧长度为球屋受到的力有重力，一个沿着指向点 0 的拉力，方向上力为零即圬一 0，设厶为，球屋到弹簧的距离为 0 为 0 球屋实际上是做圆周运酸，所以可列出关于球的方程《：一 mg 环君受到的力有重力，一个向上的拉力， BC 方向上无力，所以不用写水平方向上的受力，只有竖直方向受力微信搜索丿公 0／夫．号·

原书第079页

水平方向无方程所以可列出关于环的方程组 x 一乙） = 呕 r 一 tsin 三？解得％再把’和 4 的方程组写出来，可列为 2 （3）当弹簧长度为时，球关受重力，方向的向心力设此时厶一，角速度为刎，球到弹簧的距离为根据弹簧长度改变说明装置成压缩状态，则环 B 重力和弹力’都向下，则在方向上也有一个拉力圬（对于环 B 来说方向是指向球的，但对于球屋来说方向是指向环 B 的）血 + 血名：狲刎关于球关可列出方程组 co 蚂： + cos 水平方向无方程关于环 B 可列出方程组弓 =Isin93 衤卜充萁它条件，表达出小’ 、蚂，可列出方程’ ： k(L——) COS 名其中弹性势能由于先伸长了，再缩短了，所以其弹性势能变化为 0 釔 L 3 乙刁 + 2（一所以可列出系统总功：（一 16 g /2 得出 = gL + 《答案〗 4mg 〈1)弹簧的劲度系数党：（2）装置转动的角速度％ 16 刨 2 （3）外界对转动装置所做的功一 + 〖老王总结] （1）由于出现装置对称，所以可少列一组方程即 c 不需要列，只需列 A 、 B ，因为全隔离也不需要用整体方程。因为装置状态为平衡，所以写出 A 、 B 各自一组的平衡方程组〈2）由于带有角速度、圆周运动，所以要写出一组带有角速度、圆周运动关联物体的方程组。

02. 起飞类临界问题

原书第080页

、起飞类临界问题加速度与内力不共线导致临界的物体严起飞。为鼽心 F 难丁 0 = 鼽然〖老王总结〗结合本题可看出，当整体加速度增大时．一一物体 m 的加速度也相应增大一·一水平方向拉力增大一一繩的内力 T 增大一．一竖直方向拉力 T 增大一一一当 = g 时，出现“起飞”类的临界状态。故列方程时，除去整体外，优先隔离出现临界的物体，会使得运动状态更清晰。例 I.如图所示，质量均为 M 的两个木块厶 B 在水平力 F 的作用下》一起沿光滑的水平面运动，与 B 的接触面光滑》且与水平面的夹角为 60。，求使与 B 一起运动时的水平力 F 的最大值。〖解析〗当推力 F 过大时》会使得物体有向上运动的趋势，对整体： F = 2 对 A ：联立解得： F = 2 60。例 2·如图所示，在光滑水平而上有一质量为 M 的斜劈，其斜面倾角为，一质量为的物体放在其光滑斜面上，现用一水平力 F 推斜劈，恰使物体与斜劈间无相对滑动，则斜劈对物块的弹力大小 A.忉 g sc B. COSC （ M + 血〖解析〗当推力 F 过大时，会使得物体有向上运动的趋势，故物体会“起飞” 。 M + 对 m: cosa = g 可得 = ， B 对。 COSC 也可化简得： = ， D 对。 SIII 0 BO

03. 如何利用系统牛顿第二定律解决整体隔离法问题

原书第081页

、如何利用系统牛顿第二定律解决整体隔离法问题书本中对于牛顿第二定律公式是这样描述：物体所受到的合外力等于对应的质量乘以加速度》即尸其实质是习 F ，意为所有外力之和其实质是习宀意为所有物体质量之和当口相同时，公式为 F ：（习忉所以此时有两种情况当口不相同时，公式为 F ：伽。）本质无谓是当各个部分加速度相等时，可提取公因式“而已这便时我们上一讲一一整体隔离法中的整体法的书写方式。本讲的重点是:当各个部分的加速度不相等时，牛顿定律方程依然成立一一 F ：乥伽 0）。即:物体所受的合外力：各部分的质量与加速度的乘积之和。〖老王提醒〗：整体法中的 EF 写的是外力，忽略内力。比如《如图，两物体在光滑水平面上，上面物体质量为 lkg ，以 2 的加够动下面物体质量为匈’ ！ “ “加“哽补緔赙律方。 ’ ：习- ，再比如：如图，两物体用弹簧相连，左物体质量为 3kg,加速度为 4 耐 S2，右物体质量为 lkg’加速度为 2 s2，则其合力 F ：0 × 2） + （3 × ：14N 。所以：不管加速度是否一都可以用整体法解决丨一一．躺以勤除此之外，再某些题型中，整体合外力只提供部分加速度。例 1·在装满水的容器中用细绳栓着木球，将此容器放置在弹簧秤上。当剪短绳子，木球在上浮过程中，弹簧秤显示的示数会发生怎样的变化？〈 A.变大 B.变小 c.不变以无法确定〖解析〗当木球向上浮时，浮力大于重力，加速度向上。但因为水具有流动性，当木球上浮过程，会在木球离开的位置产生同样体积的水球，且水球的加速度向下。

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因为 > ，所以吆球大于球。对于整体列方程：一木球。一水球。（为秤的支持力》 M 为整体质量），因为吆球大于球，。相同，所以结果小于零，由此可知木球属于失重的状态，所以称示数变小。〖答案〗 B 〖老王总结〕此类水中含有质量的模型，须既要考虑物体本身，也要考虑因物体占据而排开的水的运动形态。我们再通过几个例子加深一下理解。例 2·在装满水的水桶中有一个气泡，当水桶突然具有向右的加速度时，气泡向前还是向后移动？〖解析〗这是一个考察惯性的问题气泡是因为水没装满而形成的。当木桶加速向右运动时，由于水有惯性运动会滞后，故水会把气泡向右推，所以气泡向前移动。〖拓展〗在装满水的水桶中有一个木泡，、桶突然具有向右的加速度时，木球向前还是向后移动？如果把木球换成水球呢？〖解析〗当木桶加速向右运动时，水由于惯性而滞后，从而排挤木球旁边的水球向前运动，由于 > 纵，水球 > “ ，故根据 F = ～可算出，当加速度相同时》质量越大其合力越大，所以水向后的作用力更打大，会把木球向右推，所以木球向前移动。类似的，如果木球换成铁球，则铁球会向左运动。例 3·如图所示，在物块以加速度。加速下滑总程瘧，、：為支持力与摩擦力。〖解析〗需将物体加速度进行分解，设加速度与水平向左之间的夹角为，《 M 于的》水平方可： “ “ e 根据牛顿第二定律，竖直方向（ M + m)g 一： “血解得 = （ M + g 一“血六歹 = “佣例 4·如图所示，小球的初速度为细杆长度为小球恰能滑到顶部，求龐上滑过程中》地面对底座 M 的支持力。粗糙

04. 如何利用内力公式解决连接体问题

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四、如何利用内力公式解决连接体问题本讲中我们将会针对连接体问题中的“内力”深挖，首先我们了解一下什么是内力：受力物体与施力物体都在系统之内》此时的力称之为内力。比如通过绳子两端拉着两个物体共加速运动，则绳子内力即为内力，类似的像弹簧上的弹力，杆上的拉力、带电小球之间的库仑力等，都是内力。需要格外强调的是，电磁感应中的“双棒’型，其中安培力是因为外接磁场提供的，即便大小相等，也不能认为是内力。如果想要推导连接体中内力的一般表达式，我们分几个模型分别分析： (1)单一外驱力模型．基础模型（图 3·3· l) （图 3·3·2）如图 3·3·1，地面光滑，求绳上拉力 T 可写出方程如下: 整体：丆 = （叫 + ）口隔离： T=nqa 〖老王提醒〗 “隔离受力少的物体” ，应选。 @水平有摩擦模型〈图 3·3．3）接上题，如果地面摩擦因数为声，求绳上拉力 TO 同理可列出方程如下：整体： F 一声 + 忉 2） g ：@ + ）口隔离： T 一声泐 = 0 惊奇的解得: T = ，其中答案与上一模型“惊人”的相同。接下来我们来分析一下，为何最终答案与物体是否会受到摩擦无关。在进行化简的过程中，将方程两端同时除各自质量化简得：微信搜，、公众口： wkzv21198

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一,ug = 0 得出： T = 也就是说，如果对于整体或者隔离的部分，施加的外力与自身质量成正比的话，写出的整体隔离方程经过化简之后，必然可以约掉其“比例系数” 。这种力如此的有个性和魅力，我给它起了一个名字一一环境场力，表示与质量成正比的外力，这种外力最终不会影响内力 T 的结果。这样推广下去，我们还可以得到 @斜面摩檫模型当用外力 F 拉动整体在粗糙的斜面上以共同的加速度运动的时候，求绳上内力 T 的大小：（图 3·3·4）通过这道题目我们来检验一下，印证我们刚才的想法：隔离： T 一叫 gs 血一声 g s9：0 〖老王提醒〗注意式子中的“摩擦力”及“重力分力“都是与质量成正比的力，其比例系数分别为 pgcos9、 gsin9。所以答案依然是 T ：一亠，印证了我们刚才的想法。对与该答案我们强调记忆一下苤叫：不与 F 直接作用的物体质量， F ：单一外驱力， + ：总质量（2）取外驱力“外拉”模型 FI 〈图 3·3 巧）如上图 3·3 巧，假设 F2>F1’地面可以光滑、粗糙，也可以是斜面，这些都属于环境力，不影响绳子上拉力。为了方便，下面光滑水平面的情况列出方程组求解。整体;一： + 隔离: T 一 = 叫解得： T=n?2-±22-F-L 叫 + 该结果与（ D 中不相同，为方便记忆，故针对结果的分子部分总结口诀老交叉相乘再相加。微信搜索

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如下图 3·3·6 所示（图 3·3）格外强调，针对此类模型，我们可以这样的定性理解:假设两端只存在单一外驱力，则其中

忉 2 当两端拉力同时存在的时候，可以理解为，两端受力必然会使得绳子的张力变大，所以应该将上式相加，得到 T ：一（3）双外驱力模型·杆连接〈图 3·3·7）整体法可得： + 场：（叫 + ）口，将“隔离出来，由于我们无法确定轻杆上是压力还是拉力，所以需要我们规定正方向，暂且假设水平方向受杆的力 T 方向水平向左，呐水平方向受力示意图如图所示， y»xa5 因此一 T = 。，总结一下：隔离：一 T ：叫。解得禀 T = 叫一叫 + 注意此处，结果最终含有绝对值，是因为杆上的作用力可以是向外扩张或是向里收缩的两向性，添加上绝对值保证所计算结果最终为正值，但是具体是谁减谁可以通过规定正方向来获得。该式为内力公式的原始形式，对分子记忆方式总结一句口诀：交叉相乘再相减。同样的，我们也可以这样理解：当后面的物体加速度大于前面的物体时，杆上的力为向外扩张的张力，反之为向里收缩。在此，我们一共讲解了三个基础内力公式的结论，我们现在来梳理一下: 内力公式． T 一一一叫 + 忉 F + 内力公式@T 一彐亠一一一一叫 + 衍 2 内力公式 OT ：一叫 + 胼 2

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三个式子中，第三个式子为最终表达式，毕竟它的计算结果最复杂，如果在 O 式中规定向右为正方向，则当向左的时候为负，便得到了第二个式子，同时，如果将两端的力只保留一个，则得到第一个式子。在以上三个式子中，其中第二个式子应用最为广泛，通常在下一专题一内力公式在叠块模型中的应用比较常见。但是，第一个式子最广为人知，很多人也可以将其理解为“力与质量成正比” ，但是在高考中的直接考察比较少。实则真正的内力公式为第 O 式。总结：内力公式一· ．〈适用范围最少，使用频率最少） OT=

吗（叠块模型中运用较多，使用频率最少）叫 + 〈完整版内力公式，是决定好正方方向） OT= 叫 + 例 1·两个质量相同的小球用不可伸长的细线连结，置于场强为 E 的匀强电场中，小球 1 和小球 2 均带正电，电量分别为和 > 他）。将细线拉直并使之与电场方向平行，如图所示。若将两小球同时从静止状态释放，则释放后细线中的张力 T 为（不计重力及两小球间的库仑力）（ C. T=—@I + q2）霆球 2 一球 | D. T=@I 十‰ ）霆〖解析〗因为两小球受电场力同向，
忉 2 一%故选 AO 2 羽例 2。在倾角为的斜面上》用平行于斜面的力 F 拉质量为和 4 的物体向上加速运动》则〈 A.若斜面光滑，则和 4 忉间绳子上的张力为一 F B.若斜面光滑，则和輛间绳子上的张力为 F 0 若物体与斜面间的动摩擦因子为声，则和 4 軛间绳子的张力为一（ F + 声 g ） D.无论斜面是否光滑，和绳子张力都是鱼 F 〖解析〗题为单方向的驱动力，无论是否存在摩擦，摩檫力为环境场力， 4 F 4 所以直接代入内力公式 OT 一亠，得到 T ： —F ，故选 D 。 5 5 叫 + 例 3·如图，机车。拉着两辆拖车 b ， c 以恒定的牵引力向前行驶，连接 b 间和 b ， c 间的绳子张力分别为行驶过程中发现翁不变，而乃增大，则造成这一情况的原因可能是〈） A. b 车中有部分货物落到地上 B. c 车中有部分货物落到地上 c.孬车中有部分货物抛到 c 车上 D. c 车上有部分货物抛到 b 车上

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《解析〗将 b 、 c 视为一个整体，口与 b 、 c 之间的内力为， b+C 根据内力公式． T ：一凸一可列出： F 。因为不变，故 A 、 B 错。 0 + b + C 叫 + 泐 2 一一．可列出：设 b 、 c 内力为，根据内力公式． T = 口 + b + c 因为变大，所以当 c 的质量增大时变大，故 c 对。而当 b 的质量增大时变小，故 D 错。本题选 CO 例 4·如图 3·3·12 所示》光滑水平地面上放有一质量为 2 羽的导热气缸，用活塞封闭了一部分气体。活塞质量为截面积为可无摩擦滑动，气缸静止时与缸底距离为。现用水平恒力 F 向右推气缸，最后气缸与活塞达到相对静止状态。己知大气压强为。求：稳定时封闭气体的压强？解析：稳定时气缸与活塞具有共同加速度，气缸内气体的压力相当于系统的内力， F 俨〈图 3·3 一 12）根据内力公式可得该部分气体的压力 = 3 所以封闭气体压强：一（ F + S ） + 2 S _F+3PoS 一 £ 3 3 例 5·如图所示，一夹子夹住木块，在力 F 作用下向上提升·夹子和木块的质量分别为、 M ，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为若木块不滑动，力 F 的最大值（為） 2/伽 + A. 2 歹 + M) 2/ + B. 2 歹伽 M) [J 、处办一可酶例 6· （2020 江苏）中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路” ，为国际抗疫贡献了中国力量。某运送防疫物资的班列由 40 节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第 2 节对第 3 节车厢的牵引力为 FO 若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第 3 节对倒数第 2 节车厢的牵引力为（ C ） 19F B. 20 C.

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《解析〗将 b 、 c 视为一个整体， “与 b 、 c 之间的内力为写， b+C F 。因为写不变，故 B 错。根据内力公式． T 一一一口列出一口 + b + C 叫 + 可列出：设 b 、 c 内力为，根据内力公式 OT ： a+b+c 叫 + 因为变大，所以当 c 的质量增大时变大，故 C 对。而当 b 的质量增大时变小，故 D 错。本题选 c 。例 4。如图 3·3·12 所示，光滑水平地面上放有一质量为的导热气缸，用活塞封闭了一部分气体。活塞质量为截面积为可无摩擦滑动，气缸静止时与缸底距离为儿 0。现用水平恒力 F 向右推气缸，最后气缸与活塞达到相对静止状态。已知大气压强为 0。求:稳定时封闭气体的压强？〖解析〗稳定时气缸与活塞具有共同加速度，气缸内气体的压力相当于系统的内力， m(F + 2 S 根据内力公式可得该部分气体的压力 = 所以封闭气体压强一一 3S 尹 + 3 S 3 （图 3·3·12） 3 例 5。如图所示，一夹子夹住木块，在力 F 作用下向上提升·夹子和木块的质量分别为、 M ，夹子与木块两侧间的最大静摩擦力均为若木块不滑动，力 F 的最大值（） 2 丆伽 + A. 2 歹伽 + 一伽 + M)g C. 2 歹 + B. 2 歹十 D. 7 讠 J:蟛处勤为吻虻一例毳〈2020 江苏）中欧班列在欧亚大陆开辟了“生命之路’ ’ ，为国际抗疫贡献了中国力量。某运送防疫物资的班列由节质量相等的车厢组成，在车头牵引下。列车沿平直轨道匀加速行驶时，第 2 节对第 3 节车厢的牵引力为若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等则倒数第 3 节对倒数第 2 节车厢的牵引力为（ C ） F 19F B. F’ 36m 微信搜索 D.

05. 如何利用内力公式解决板块问题

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五、如何利用内力公式解决板块模型在本讲中我们分析，我们通过建立模型来学习如何对板块模型使用内力公式: 模型用力 F 在光滑的地面上拉动、，求当二者能够以共同的加速度运动时，两者之间静摩擦力的大小。《解析〗上图中的模型等价为下图恚光滑 F 拉着物体 1，静摩擦力丆拉着物体 2，可使用内力公式． T =

2 叫 + 模型 2:用力 F 在摩擦因数为的地面上拉动、羽 2，求当二者能够芍翹运动时，两者之间静摩擦力的大小。尹（ g + 世 g} 不砟岳帕上〖解析〗〖老王提醒〗此时的摩擦力并不属于环境场力》需要将其视为下图模型：此模型属于反向双驱力，故内力公式． T = + 2 （ + 2） +rnzF 叫 + 模型用力 F 在摩擦因数为的地面上拉动 2，求当二者能够以共同的加速度运动时，两者之间静摩擦力的大小。

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《解析〗此时的摩擦力同样、属于环境场力，且由于物体 2 上的两个力因为同作用在物体 2 上，所以物体 2 受的力可合成为 F 一 + 忉 2） g 此模型属于同向单驱力用内力公式． T ：一亠，得/ ： [F 一叫 +“h)g] 叫 + 型 4 两物体在摩擦系数为声的地面上运动，物体质量分别为、，物体 1 有一个向右的拉力，物体 2 有一个向右的拉力，规定右方向的力为正方向的九求两物体间的静摩擦力的最大值是多《解析〗此时的摩擦力并不属于环境场力，与质量不成正比，物体 2 上的两个力因为共同作用，所以物体 2 受的力可合成为 F 一 +mDg 。此模型属于同向双驱内力公式 OT ：叫馬一犭尺 + 忉 2 例 1·两物体在斜面上运动，斜面与地面的夹角为，物体质量分别为、，物体 1 与物体 2 的摩擦系数为刍，物体 2 与斜面的摩檫系数为，当两物体共同向下加速运动时，两物体间的静摩檫力的最大值是多少？《解析〗受力分析得: 平行斜面:物体 1 上重力沿斜面向下的分力为 g 物体 2 重力沿斜面向下的分力为 mzgsin9，摩檫力为（叫 + ） gco ，两者之间的内力为此模型属于同向双驱内力公式@T = @场一埚叫 + 得歹：一叫》夕 ` ” ， mDgcos9 2 解得/ = g I 伽

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推论：若要使二者之间不发生相对滑动，须满足馬码 gcos 孓,qngcos 即孓。重要结论:底滑面糙》共加共减。（当底部物体上表面的动摩擦因数大于下表面的动摩擦因数时，两物体才能有共同的加速度或减速度）如果当底部物体上表面的动摩擦因数小于下表面的动摩擦因数，两物体就会出现相对滑动，就不可能有共同的加速度或减速度。例 2。两物体在地面上运动，物体质量分别为叫、，物体 1 与物体 2 的摩擦系数为角，物体 2 与斜面的摩擦系数为，两物体往右做减速度运动，求两物体间的静摩擦力的最大值是多少？〖解析〗此模型可使用内力公式． T 一一一一，得歹：叫（叫，解得丆 = 叫 g 所以要满足馬 g 孓 g ，即孓强调：在环境场力（无其他外力）的条件下“底滑面糙”用于初步判断两物体能否共加速共减速。模型三个物体在摩擦系数为的地面上向左运动，物体质量分别为确、、，物体 1 有一个向右的拉力，物体 2 有一个向右的拉力，物体 3 有一个向存力一！规高的力为正方向的力，求物体’与物体“忐步获取最新叫讠〖解析〗料添加艹将物体 1 与 2 看成一个整体，此模型属于反向双驱力，用内力公式@T ：所以： [+ 忉 2 模型如图所示状态中，用力 F 使得系统以共同的加速度向前运动，求拉力 T 及呐与砌之间的摩擦力。（图 34·12）〖解析〗通过这个模型，帮助大家掌握重新划分系统的能力，当我们要录绳子拉力 T 的时候，可以如下图划

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分，此处的摩擦力可以视为环境场力。（图 34·13〉由内力公式．得 T = +Fh)F

“2 + 搦 3 当求解、砌之间的静摩擦力的时候，此处地面的摩擦力显然不再是环境场力，因此，需要使用内力公式@，重新划分系统为两部分如下图所示; （图 3414）解得：例 3．如图 3416 所示，小车上有一竖直杆，总质量为 M,杆上套有一块质量 3 态块，杆与木钅窄；吓晁其 ¥ 个质量为的木块间块间的动摩如图所示，光滑水平面上放置质量分别为、 Ågo 现用水平拉力 F 拉其中一个质量为的木块，使四个袤麯巪，则轻绳对的最大拉力为（） 3 声 g A. 5 3#忉 g B. 4 2 3 声 C. 2 2m 〈图 3416） D.3 声 g 〖解析〗本题研宄对象比较多，临界状态比较难以判断，如果贸然下手，基本上找不准做题的方向，利用上一题的思考，我们通过静摩擦力的一般表达式，可作为解题的突破口。（ I)如果用并不太大的力向右拉动，此时左右两侧的接触面的静摩擦的一般表达式分别是多少，通 -EF ，系统重组如图 3417 所示: 过内力公式得;一 2m 〈图 3417） -EF,系统重组如图 3418 所示：

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2 （2）比较，左： 2n1 （图 34·18）先达到最 F 容易发现，当外力 F 增大的时候，必然是： 6 大静摩擦力，此时右侧两个物块之间的摩擦力 =png 。〈3）不用再通过 F 求解，直接通过灬： g 再重组一下系统， 2m 〈图 3 19） 3 再利用内力公式得： T=a—vmg’本题选 BO 点评》利用三次内力公式，取代了整体隔离法解方程的繁琐，我们将本题解得如此销魂，有心之人必然叹为观止。格外强调的是：我们在分析最大拉力等一系列临界状态的时候，是采用了先表达，后临界的思想，这和传统的直接临界还是不一样，应用我们的方法，可以看到过程变化，沐家遠〖老王总结〗当面对板块求拉力芦的最大值解决方法有两“ ：加戕．先极值后方程表达式，我们在教学中通常使用的是第．类。．先函彗质犭尺例 4· （2014 江苏）如图所示，朩 B 两物块的质量分别为和静止叠放在水平地面上。厶 B 间的动摩擦因数为 B 与地面间的动摩擦因数为纟。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 go 现对 A 施加一水平拉力 F ，则〈 A.当 F < 2 声 g 时，关、 B 都相对地面静止 B.当 F 一一# g 时，的加速度为一 C.当 F > 3 g 时，相对 B 滑动 D.无论 F 为何值，的加速度不会超过一声 g 〖解析〗 2 × 一劝 g + F 叫圬 + ，代入得到/ ：本题属于反向双驱力可使用内力公式@T = 叫 + 狲 2 3 要保证物体能做共同加速且不滑动，则 AB 间的内力还要小于间的最大静摩擦力 2 × 一 g + F 孓 2#劝 g ；得 F 孓 3 g 则有歹：

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但要保证 F 能够拉动物体还要满足一声孓 F 孓 3 声，故 C 对。选项 B ：将 F ：一声代入一“得到一声一一声 = （2 + “ 解得口：一，故 B 对。选项 A ：根据一声孓 F 孓 3 声以，当 F < 2 g 时，物体可以发生滑动，故 A 错。选项 D ：物体向左的最大静摩檫力 2、物体 B 向右的最大静摩擦力 2 声 g 根据 F = “ ，对于物体 B 可写出方程 2 声一一： “ ，解得口：一，故 D 对。〖答案〗 BCD 总结恚先用整体法写方程，再隔离写其他方程，最后直接根据内力公式写出内力答案，节省计算时间例 5· （2021 全国乙）水平地面上有一质量为叫的长木板，木板的左端上有一质量为的物块，如图（劢所示。用水平向右的拉力 F 作用在物块上， F 随时间’的变化关系如图 0）所示，其中、分别为时刻 F 的大小。木板的加速度刍随时间’的变化关系如图(c)所示。己知木板与地面间的动摩擦因数为，物块与木板间的动摩擦因数为，假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为 go 则（ et-D ）图@ A. = g 叫 + 吗 2 微信搜索图(c) （馬一 g D.在 0 一时间段物块与木板加速度相等

06. 弹簧中的物块分离问题

原书第095页

弹簧中的物块分离问题本讲我们重点分析分离问题时的方法禀侔加 § ，山》一緲的勒加柏车通过模型可知，两物体期初随弹簧共加速向上运动，随着整体的加速度减小，二者之间的内力也逐渐减小，当内力时即为分离的临界状态，而此时两物体加速度为最后的相等时刻，在此时刻之后，两物体彻底分离，加速度也不再相等。〖老王总结〗两物体分离时临界方程：．两物体间内力为零； @两物体加速度相等刍 = ，例 1·如图所示，在倾角为 0 的光滑斜系舅 j0N/m 的轻质弹簧，弹簧下端连一 7 1 ’ “ 。 “挡住，此时弹簧没有形变。若挡板以的加速度沿斜面向下匀加速运动，则（ A.小球向下运动 0.lm 时与挡板分离 B.小球向下运动 0·4m 时速度最大 C.小球速度最大时与挡板分离 D.小球从一开始就与挡板分离《解析〗 A ·球下滑过程中沿斜面方向受力情况如下：噁 sin30 根据牛顿第二定律有： gsin30。一一 = “ 由“弹簧分离”模型可知，球与挡板内力为零: ：0 · · mgsin300— = 癆

原书第096页

（30。一艹 9 解得： = · · ·小球向下运动 0·1 时与挡板分离， A 正确。 B ．球和挡板分离后，小球受力情况如下劝 gs 30 由物体所受合力为零时，速度最大可得：狲： s 30。 1 20 × 一 gs 30 解得: 2 冽 = 0·5 20 · · ·速度最大时小球向下运动的路程为 0．5m ， B 错误， CD ·速度最大时，运动的位移为 0·5，小球运动 0·1“与挡板已经分离，0、 D 错乱〖答案〗 ^ 例 2·如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的熘两物体，召的质量是 A 的 2 倍， B 受到向右的恒力 = 2N ，受到的水平力 = （9 一 N 。从产 0 开始计时，则下列说法中丕正确的是〈 C ） C.产．醫，〗物体的速度为零 ` > 4．5s 后，的加速度方向相反 t>4s 后》 B 物体分离 0：

07. 弹簧连接块模型

原书第097页

七、弹簧连接块模型本讲主要介绍弹簧中的一个常见模型及结论：如图所示，两个物块质量分别为，，二者通过弹簧连接，用力把向上拉至恰好离地，求此过程中上升的距离类似的结论也可以在斜面中应用，比如：例 1.如图所示，在倾角为 9 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块、 B,它们的质量分别为、砌，弹簧的劲度系数为么 c 为一固定挡板。系统处一静止状态，现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块使之向上运动，求物块 B 刚要离开 c 时物块的加速度。和从开始到此时物块的位移重力加速度为获取最新叫及无 8 例 2· A 、 B 两物体质量均为腩通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连放在水平面上，如图所示，开始时两者都处于静止状态·现对 A 施加一竖直向上的恒力 F = 2(g 为重力加速度），若不计空气阻力，则以下说法正确的是（） A.刚施加力 F 的瞬间， A 的加速度大小为 g»方向竖直向上 B. B 刚离开地面时》 A 的速度大小为 2g 2 c. B 刚离开地面时， A 的速度大小为 g D. B 刚离开地面时， A 的加速度为零

原书第098页

〖解析〗 A ·由题可知，在施加恒力 F 之前， A 物体是平衡状态。则刚施加恒力 F 的瞬间， A 物体所受合外力为 F ，由牛顿第二定律得： F = “ ， ’ “ = 2g ，方向竖直向上，错误； BC.当 B 离开地面时，两物体受力情况如下：由 B 刚离开地面可得:塌：冽 g ． mg mg 由“弹簧质量块’ ‘模型可得，物块 A 上升高度： = 由动能定理可得：一：一冽 O 例 3·如图所示，两个物块质量分别为，，二者通过弹簧连接，使向上做匀加速运动，经过 2 冽 g @代入O得:2 g 2 2 忉 g 1 2 一 iV ， B 正确， c 错误；《化简得： ” = 2g D ·由上述分析，对 A 由牛顿代入“盅确〖答案〗 BD 物块离地，求所施加拉力的最小值和最大值 Fmin 灬。娟，艹， Fmnx

08. 加速度的瞬时判断

原书第099页

八、加速度的瞬时判断本讲中，我们重点分析弹簧及“绳杆”模型中的受力如果突变时的状态。筑 M 的力可以突变，故只需分析突变之后的运动状态，通过运动反推受力。例 1。（2010 全国 l)如右图，轻弹簧上端与一质量为的木块 1 相连，下端与另一质量为 M 的木块 2 相连，整个系统置于水平放置的光滑木坂上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块 1、2 的加速度大小分别为刍、吩重力加速度大小为 go 则有（乙）口 1：0，口 2 刍 = g ， = g

M
M 刍 = g ，02 = 2

原书第100页

例如图所示，两个完全相同的轻弹簧一端均固定在水平面上，另一端均与质量为的小球相连《轻杆 c 一端固定在天花板上，另一端与小球相连。三者互成 120。角，且两个弹簧的弹力大小均为。如果将轻杆突然剪断，则剪断瞬间小球的加速度大小可能为（） C.巧 g D.3g 例 3．如图所示，吊盒与物体的质量相等，用轻弹簧将物体 B 悬挂在吊盒内，且静止，当悬挂吊盒的绳突然剪断的瞬间，吊盒和物体 B 的加速度分别为（ D ） B 、连在两根：囤亳连接在细线一端，弹簧和细线的下端固定在装水的杯子底部，该水杯置于用绳子悬挂的静止吊篮内·若将挂吊篮的绳子剪断，则剪断的瞬间相对于杯底（不计空气阻力，木水 < 铁） A.球将向上运动， B 、 C 球将向下运动 B. B 球将向上运动， C 球不动 C.球将向下运动， B 球将向上运动， C 球不动 D.球将向上运动， B 球将向下运动， C 球不动沁一顓勒枉就一亥刍后一咖、排谚躲狲缸仉宦和 F; № 向和 0 下 0 1 佣

09. 等时圆

原书第101页

九、等时圆所谓等时圆，指的是在圆环最高点沿不同路径释放小球，到达圆周的时间均相等·同样的，根据运动对称性，当小球沿着不同路径滑到最低点时，时间也均相等。我们通过一道母题证明一下这个结论: 母题:如图所示，是竖直面内三根固定的光滑细杆， b 、 c 、位于同一圆周上，。点为圆周的最高点，点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出)‘三个滑环 b 、 c 分别从处释放（初速为 0），用為、依次表示滑环到达 d 所用的时间，则（ D ） A. tl 2 < 9 B. > > 纟 3 *貊）氛衤面上，一条公共斜弦过两圆切点例 2．如图所示，半径分别为，和 R 圆、且分别与两圆相干《枣在玄光滑轨道，且令一小球从 b 点以某一初速度沿轨道向上抛出，设小球羲窃时不受阻挡·若该小球恰好能上升到癆点，则该小球从 b 点运动到。点所用时间为多少？ 5

原书第102页

作为二级结论》构造等时圆模型也可常作为运动学分析中的特殊技巧。例 3·如图所示，倾角为的传送带，以一定的速度将送料机送来的料货物，传送到仓库里．送料漏斗出口 P 距传送带的竖直高度为送料管 PQ 的内壁光滑且有一定的伸缩性（即，在 PQ 管与竖直夹角孕取不同值时，通过伸缩其长度总能保持其出口 0 很贴近传送带）沩使被送料能尽快地从漏斗出口 P 点通过送料直管运送到管的出口 0 点，送料直管与竖直方向夹角应取何值，料从 p 到 0 所用时间最短，最短时间是多少？、香料添加微信猶苹鬏薷端直于铁架台水平底座上的挡板处，上部架在横杆例 4·0021 全国甲）如上。横杆嚓垦调节，使得平板与底座之间的夹角 9 可变。将小物块由平板与竖直杆交点处静止释放，物块沿平板从 0 点滑至 P 点所用的时间与夹角的大小有关。若由 3 俨逐渐增大至 60。，物块的下滑时间将〈 D ） B.逐渐减小 A.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大光滑长平板横杆/ 铁架台

10. 通过 F-t 画 v-t

原书第103页

十、通过 F-t 画 v-t 〖方法论〗通过 F-t, a-t 图像考察分阶段的匀变速运动也是较为常见的考点。其解题的方法也较为固定，即通过 t 画 v-to 再通过 v-t 图像中的“面积、斜率”等信息对应分析题目中的所求物理量。例 1。若货物随升降机运动的 v-t 图像如图所示（竖直向上为正），则货物受到升降机的支持力 F 与时间’关系的图像可能是（） a ：。：窮咖果 F ：犭尺例 2．一个静止的质点，在 0 时间内受到力 F 的作用》力的方向始终在同一直线上，力 F 随时间 ‘的变化如图所示，则质点在（ D ） A.第 2s 末速度改变方向 B.第 2s 末位移改变方向 C.第 4s 末回到原出发点 D.第 4s 末运动速度为零 3 0-00J 0 0-

原书第104页

例 3 孬（2022 全国甲）质量为 1 的物块在水平力 F 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动， F 与时间的关系如图所示。己知物块与地面间的动摩擦因数为 0，2，重力加速度大小取 g ：10。则（ AD ） 4 4s 时物块的动能为零 6s 时物块回到初始位置 2 4 C.3s 时物块的动量为为 12· s 0、6s 时间内 F 对物块所做的功为 40J 戔] ：趣阝· t 画斗一孬在

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第3章 牛顿运动定律

第3章 牛顿运动定律

本章核心图谱

小专题索引

精修正文（对照原书逐页校订）

01. 如何列整体、隔离受力方程组

原书第076页：动力学方程的三种状态

原书第077页：整体隔离法的方程数量

原书第077-079页：多体连接装置题

02. 起飞类临界问题

原书第080页：起飞临界的本质

原书第080页：斜劈无相对滑动

03. 如何利用系统牛顿第二定律解决整体隔离法问题

原书第081页：系统牛顿第二定律

原书第081-082页：木球上浮与弹簧秤示数

原书第082页：气泡、木球、铁球的惯性方向

04. 如何利用内力公式解决连接体问题

原书第083页：什么是内力

原书第083-084页：单一外驱力模型

原书第084-086页：双外驱力与杆连接

原书第086页：同质量带电小球释放

05. 如何利用内力公式解决板块问题

原书第089页：板块模型为什么能用内力公式

原书第089-090页：四个基本模型

原书第090-091页：底滑面糙，共加共减

原书第091-093页：先表达，后临界

原书第093-094页：2014 江苏叠放物块

06. 弹簧中的物块分离问题

原书第095页：分离的两个临界方程

原书第095-096页：斜面弹簧与挡板

原书第096页：水平面两物体变力分离

07. 弹簧连接块模型

原书第097页：抬起下方物块的位移结论

原书第097-098页：恒力拉 A，B 刚离地

08. 加速度的瞬时判断

原书第099页：哪些力能突变，哪些力不能突变

原书第099页：抽去木板的双木块弹簧

原书第100页：剪绳、剪杆、吊盒问题

09. 等时圆

原书第101页：等时圆母题

原书第102页：等时圆的构造题

10. 通过 F-t 画 v-t

原书第103页：方法论

原书第103页：力的方向不变，速度何时为零

原书第104页：2022 全国甲水平力图像

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

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第3章牛顿运动定律

第3章牛顿运动定律