万有引力与宇宙航行

一、本页定位

本页负责把圆周运动方程迁移到天体问题：万有引力提供向心力，由此求速度、周期、角速度、加速度和中心天体质量。

二、核心概念

• 万有引力是天体圆周运动的向心力来源。
• 轨道半径不是离地高度，而是到中心天体中心的距离。
• 同一中心天体下，圆轨道半径越大，线速度越小，周期越大。
• 近地卫星速度约为第一宇宙速度。

三、公式与适用条件

公式	使用条件	易错提醒
$F=G\frac{Mm}{r^2}$	两质点或球对称天体	$r$ 为中心距
$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$	圆轨道	椭圆轨道不能直接套
$v=\sqrt{GM/r}$	同一中心天体圆轨道	$r$ 越大，$v$ 越小
$T=2\pi \sqrt{r^3/GM}$	圆轨道	开普勒第三定律形式
$g=GM/R^2$	星球表面附近	$R$ 为星球半径

四、高频题型

题型	题眼	第一动作
比值题	两轨道半径关系	写 $v,T,a$ 与 $r$ 的幂次关系
密度题	已知周期和半径	用 $GM=4{\pi }^2{r}^3/T^2$
同步卫星	周期等于地球自转周期	轨道平面必须在赤道平面
变轨题	点火加速或减速	看同一点速度和机械能变化

五、典型例题（带答案）

题目：同一中心天体的两颗圆轨道卫星轨道半径分别为 $r$ 和 $4r$，线速度之比是多少？

答案：圆轨道 $v=\sqrt{GM/r}$，所以

$$\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{4r}{r}}=2$$

六、典型题型加厚

1. 圆轨道核心方程

天体圆轨道题的第一方程通常是：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$$

或：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m{\omega }^{2}r$$

或：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$$

根据题目给的物理量选择右边形式。

2. 幂次关系

同一中心天体圆轨道：

$$v\propto r^{-1/2}$$ $$\omega \propto r^{-3/2}$$ $$T\propto r^{3/2}$$ $$a\propto r^{-2}$$

比值题先写幂次，少代数字。

3. 同步卫星

同步卫星满足：

• 周期等于地球自转周期；
• 轨道平面在赤道平面；
• 运行方向与地球自转方向相同；
• 轨道半径确定。

七、典型例题补充（带答案）

例 1：周期比

题目：同一中心天体两圆轨道半径比为 $1:8$，周期比是多少？

答案：

$$T\propto r^{3/2}$$

所以：

$$T_1:T_2=1^{3/2}:8^{3/2}=1:16\sqrt{2}$$

例 2：中心天体质量

题目：卫星圆轨道半径为 $r$、周期为 $T$，求中心天体质量。

答案：

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$$ $$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$$

例 3：轨道半径

题目：卫星离地高度为 $h$，地球半径为 $R$，轨道半径是多少？

答案：

$$r=R+h$$

不能只用 $h$。

八、教师备课提示

天体题其实是圆周运动题换了外衣。课堂上要先让学生把“谁提供向心力”说出来：万有引力提供向心力。然后再训练半径意识，所有公式里的 $r$ 都是中心距。

课堂追问：

1. 高轨卫星为什么速度反而小？
2. 同步卫星能不能停在北京正上空？
3. 离地高度和轨道半径差在哪里？
4. 椭圆轨道能不能直接套圆轨道速度公式？

九、易错点

• 把离地高度当成轨道半径。
• 认为高轨卫星线速度更大。
• 同步卫星可以在任意纬度上空静止的误解。
• 变轨题把椭圆轨道速度套圆轨道公式。

十、关联入口

• 05-天体物理
• 天体变轨模型
• 02-圆周运动