第15章原子物理

本章先按原书第 454-460 页做成精修样板：保留页码对应，清理识别错误，把公式、图像结论、例题和答案整理成可检索的 Markdown。

本章核心图谱

原子物理核心图谱

小专题索引

No	小专题	原书页码	核心任务
01	光电效应的两大图像	454-456	判断光强、频率、遏止电压、逸出功
02	氢原子能级	457-459	能级公式、巴耳末系、跃迁与光谱线数
03	光流体问题	460	用光子动量求光压

01. 光电效应的两大图像

原书第454页

1. 曲线关系图像

光电效应实验常用单刀双掷开关电路，核心目的是测量：

光电效应实验电路图

饱和光电流；
遏止电压；
光电子最大初动能。

正向电压用于测量饱和光电流；负向电压用于测量最大初动能。负向电压逐渐增大时，光电流逐渐减小到零，此时的电压称为遏止电压 $U_{0}$ 。

光电子最大初动能：

E_{k} = e U_{0} = h ν - W_{0}

其中：

$E_{k}$ ：光电子最大初动能；
$U_{0}$ ：遏止电压；
$h ν$ ：入射光子能量；
$W_{0}$ ：金属逸出功。

原书第455页

2. 合并图像判据

在 $I - U$ 图像中：

光电流与电压关系图像

图像越高，饱和光电流越大，说明光越强；
图像与横轴交点越靠左，遏止电压越大；
遏止电压越大，最大初动能越大；
最大初动能越大，入射光频率越高。

口诀：

高强光，左大频。

也就是：

“高”判断光强；
“左”判断频率、遏止电压和最大初动能。

例1

在光电效应实验中，某同学用同一种材料在不同实验条件下得到了三条光电流与电压之间的关系曲线（甲光、乙光、丙光）。则可判断出（）

A. 甲光的频率大于乙光的频率
B. 乙光的波长大于丙光的波长
C. 甲、乙波长相等
D. 甲光对应的光电子最大初动能大于丙光的光电子最大初动能

解析：

根据“高强光，左大频”：

丙光对应的横轴交点最靠左，所以丙光频率最大；
由 $c = λ ν$ ，频率越大，波长越小，所以乙光波长大于丙光波长，B 正确；
甲、乙两光横轴交点相同，说明频率相同，所以波长相等，A 错误，C 正确；
丙光遏止电压大于甲光，由 $E_{k} = e U_{0}$ 可知，甲光最大初动能小于丙光，D 错误。

答案：

BC

原书第456页

3. 线性关系图像

光电效应方程：

E_{k} = h ν - W_{0}

以入射光频率 $ν$ 为横轴，以最大初动能 $E_{k}$ 为纵轴，可得一次函数图像。

最大初动能与频率关系图像

图像特点：

斜率相同，均为普朗克常量 $h$ ；
图像越靠右，纵截距越靠下，说明金属逸出功 $W_{0}$ 越大，金属越不活泼；
横轴截距为极限频率 $ν_{0}$ ，满足 $h ν_{0} = W_{0}$ 。

例2

用不同频率的紫外线分别照射钨和锌的表面而产生光电效应，可得到光电子最大初动能 $E_{k}$ 随入射光频率 $ν$ 变化的图像。已知钨的逸出功是 $3.28 eV$ ，锌的逸出功是 $3.34 eV$ ，若将两者图像分别用实线与虚线画在同一个 $E_{k} - ν$ 图上，正确反映这一过程的是（）

解析：

两种金属的 $E_{k} - ν$ 图像斜率都为 $h$ ，所以两条直线平行。锌的逸出功更大，极限频率更大，图像应更靠右。按原图选项，应选 A。

答案：

A

02. 氢原子能级

原书第457页

1. 经典氢原子模型能量公式

库仑力提供电子做圆周运动的向心力：

\frac{k e ^{2}}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}

动能：

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{2 r}

电势能：

E_{p} = - \frac{k e ^{2}}{r}

总能量：

E = E_{k} + E_{p} = - \frac{k e ^{2}}{2 r}

注意：氢原子束缚态总能量为负值。

2. 巴耳末光谱线

巴耳末系公式：

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}), n = 3, 4, 5, \dots

其中 $R$ 为里德伯常量。

3. 氢原子能级关系式

氢原子能级：

E_{n} = \frac{E _{1}}{n ^{2}}

常用能级值：

能级	能量
$n = \infty$	$0$
$n = 4$	$- 0.85 eV$
$n = 3$	$- 1.51 eV$
$n = 2$	$- 3.40 eV$
$n = 1$	$- 13.60 eV$

氢原子能级图

例1

已知氢原子的基态能量为 $E_{1}$ ，激发态能量为：

E_{n} = \frac{E _{1}}{n ^{2}}, n = 2, 3, 4, \dots

巴耳末对可见光区的谱线分析得到：

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}), n = 3, 4, 5, \dots

若 $h$ 表示普朗克常量， $c$ 表示真空中的光速，则里德伯常量 $R$ 可以表示为（）

A. $- \frac{E _{1}}{h c}$
B. $\frac{E _{1}}{2 h c}$
C. $- \frac{E _{1}}{2 h c}$
D. $\frac{E _{1}}{h c}$

原书第458页

解析：

若 $n > m$ ，当 $n$ 向 $m$ 跃迁时，释放光子：

\frac{E _{1}}{m ^{2}} - \frac{E _{1}}{n ^{2}} = h ν

又因为：

ν = \frac{c}{λ}

所以：

E_{1} (\frac{1}{m ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}) = h \frac{c}{λ}

与巴耳末公式

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})

比较可得：

R = - \frac{E _{1}}{h c}

答案：

A

例2

每种原子都有自己的特征谱线，因此可以用光谱分析鉴别物质。氢原子光谱中巴耳末系的谱线波长公式为：

\frac{1}{λ} = \frac{E _{1}}{h c} (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}}), n = 3, 4, 5, \dots

锂离子 $Li^{2 +}$ 的光谱中某个线系的波长可归纳为：

\frac{1}{λ} = \frac{E _{1}^{'}}{h c} (\frac{1}{6 ^{2}} - \frac{1}{m ^{2}}), m = 9, 12, 15, \dots

已知这个线系光谱与氢原子巴耳末系光谱完全相同，求锂离子 $Li^{2 +}$ 基态能量与氢原子基态能量的比值。

解析：

两个线系完全相同，可取对应的 $n = 3$ 与 $m = 9$ ：

\frac{E _{1}}{h c} (\frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}}) = \frac{E _{1}^{'}}{h c} (\frac{1}{6 ^{2}} - \frac{1}{9 ^{2}})

化简得：

\frac{E _{1}}{E _{1}^{'}} = 9

答案：

C

4. 氢原子能级跃迁规则

从低能级向高能级跃迁：吸收能量，能级差需满足：

E_{m} - E_{n} = h ν

跃迁至无穷远即电离，吸收能量需满足：

h ν \geq ∣ E_{n} ∣

从高能级向低能级跃迁：辐射光子，放出能量：

E_{m} - E_{n} = h ν

若大量氢原子处于第 $n$ 能级，向低能级跃迁时最多产生的谱线条数：

N = C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}

原书第459页

例3

大量氢原子处于 $n = 4$ 的激发态，当向低能级跃迁时，会辐射出若干种不同频率的光。若用这些光照射逸出功为 $4.54 eV$ 的钨，下列说法正确的是（）

A. 氢原子能辐射 4 种不同频率的光子
B. 氢原子辐射的光子都能使钨发生光电效应
C. 氢原子辐射一个光子后，氢原子的核外电子速率增大
D. 钨吸收从 $n = 4$ 向 $n = 1$ 能级跃迁的光子能发生光电效应，且最大初动能为 $12.75 eV$

解析：

大量氢原子从 $n = 4$ 向低能级跃迁，最多谱线数为：

N = C_{4}^{2} = 6

所以 A 错误。

只有光子能量大于逸出功 $4.54 eV$ 时才可发生光电效应，并非所有辐射光子都满足，B 错误。
氢原子向低能级跃迁后，电子轨道半径变小，库仑力做功使电子速率增大，C 正确。
从 $n = 4$ 到 $n = 1$ 释放能量：

Δ E = E_{4} - E_{1} = - 0.85 - (- 13.60) = 12.75 eV

光电子最大初动能应为：

E_{k} = Δ E - W_{0} = 12.75 - 4.54 = 8.21 eV

所以 D 错误。

答案：

C

5. 损失阈限值

当实物粒子撞击氢原子时，碰撞粒子可以把完全非弹性碰撞中的最大动能损失传递给氢原子：

Δ E_{k} = \frac{1}{2} \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{0}^{2}

当撞击粒子为电子时， $m_{e} ≪ m_{H}$ ，近似有：

Δ E_{k} \approx \frac{1}{2} m_{e} v_{0}^{2}

因此电子动能可近似完全用于提供跃迁所需的能级差。

提醒：

相比光子，实物粒子可以“找零”式传递能量。电子能量大于某个能级差时，多余能量可退还给电子；光子吸收则必须严格等于能级差。

例如，若使氢原子从基态跃迁到第一激发态，电子至少需提供：

Δ E = E_{2} - E_{1} = - 3.40 - (- 13.60) = 10.20 eV

例4

用大量具有一定能量的电子轰击基态氢原子，观测到一定数目的光谱线。调高电子能量后，观测光谱线数目增加了 5 条。用 $Δ n$ 表示两次观测中最高激发态量子数之差， $E$ 表示调高后电子的能量。根据氢原子能级图判断， $Δ n$ 和 $E$ 的可能值为（）

A. $Δ n = 1, 13.22 eV < E < 13.32 eV$
B. $Δ n = 2, 13.22 eV < E < 13.32 eV$
C. $Δ n = 1, 12.75 eV < E < 13.06 eV$
D. $Δ n = 2, 12.75 eV < E < 13.06 eV$

解析：

设原来的最高能级为 $n$ ，调高后的最高能级为 $n + Δ n$ 。谱线数增加 5 条：

\frac{( n + Δ n ) ( n + Δ n - 1 )}{2} - \frac{n ( n - 1 )}{2} = 5

即：

2 n Δ n + Δ n^{2} - Δ n = 10

讨论：

当 $Δ n = 1$ 时， $n = 5$ ，调高后最高能级为 $n = 6$ 。能量需大于从基态到 $n = 6$ 的能级差，并小于从基态到 $n = 7$ 的能级差：

- 0.38 - (- 13.60) = 13.22 eV < E < - 0.28 - (- 13.60) = 13.32 eV

当 $Δ n = 2$ 时， $n = 2$ ，调高后最高能级为 $n = 4$ 。能量需大于从基态到 $n = 4$ 的能级差，并小于从基态到 $n = 5$ 的能级差：

- 0.85 - (- 13.60) = 12.75 eV < E < - 0.54 - (- 13.60) = 13.06 eV

答案：

AD

能级跃迁计数与阈值

03. 光流体问题

原书第460页

光子具有类似流体的性质。流体中有压强，相应地光也会有“光压”。光子动量：

光压模型图

p_{γ} = \frac{E}{c} = \frac{h}{λ}

例1

根据量子理论，照射到物体表面的光子被物体吸收或反射时都会对物体产生压强，这就是光压。一台二氧化碳气体激光发射器发出的激光，功率为 $P_{0}$ ，射出光束的横截面积为 $S$ 。当它垂直照射到一物体表面并被全部反射时，求该激光对物体的光压。

解析：

“全部反射”说明光子动量变化量为 $2 p$ 。根据动量定理：

F = \frac{Δ p}{Δ t}

又因为：

p = \frac{E}{c}

设在 $Δ t$ 时间内照到物体表面的光能量为 $E = P_{0} Δ t$ ，则反射造成的动量变化为：

Δ p = \frac{2 E}{c}

所以光压：

p_{E} = \frac{F}{S} = \frac{2 E}{Δ t c S} = \frac{2 P _{0}}{c S}

答案：

p_{E} = \frac{2 P _{0}}{c S}

扩展：斜射时的光压

若光束以入射角 $θ$ 照射并全部反射，其余条件相同。只有垂直于物体表面的动量分量提供压力，因此：

p_{E} = \frac{2 E sin θ}{Δ t c S}

答案：

p_{E} = \frac{2 E sin θ}{Δ t c S}

若仍用激光功率 $P_{0}$ 表示：

p_{E} = \frac{2 P _{0} sin θ}{c S}

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