第13章热学

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本章核心图谱

热学核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	玻璃管装置	421
2	气缸活塞装置	425
3	热动力学独立方程总结	427
4	热学图像	429
5	变质量气体	431

精修正文（对照原书逐页校订）

01. 玻璃管装置

原书第421-424页：液柱压强 + 气体状态

玻璃管题的核心不是背图，而是把装置拆成两句话：

液柱给压强差：同种静止液体中，向下走 $h$ ，压强增加 $ρ g h$ ；用水银柱表示时，直接写成 $h cmHg$ 。
封闭气体写状态方程：同一段封闭气体，若温度不变，用 $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ ；温度改变，用 $\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}$ 。

玻璃管封闭气体压强模型

大招 1：斜管只看竖直高度。 斜管中液柱长度为 $L$ 、与水平夹角为 $θ$ ，真正造成压强差的是竖直高度 $h = L sin θ$ 。不要把气体压强分解，气体压强是各向同性的。

大招 2：U 形管同液面等压。 在同一种连通液体中，同一水平面压强相等。做题时从开口端的大气压出发，沿液柱“下加上减”，走到封闭气体端。

大招 3：二段封闭气体分别守恒。 如果管中有 A、B 两段气体，它们不是同一团气体，不能把 $p_{A} V_{A}$ 与 $p_{B} V_{B}$ 混在一起。应分别写：

p_{A 1} V_{A 1} = p_{A 2} V_{A 2}, p_{B 1} V_{B 1} = p_{B 2} V_{B 2}

再用液面高度关系列压强方程。

典型陷阱：

倒置玻璃管时，有些水银会流出，不能默认液柱长度不变。
旋转管子时，压强差由液柱的竖直投影决定，不由管长直接决定。
开口端始终接大气压，封闭端压强由液柱差推出。

标准步骤：

标出每段封闭气体的初、末长度，体积可写成 $V = lS$ 。
用液柱高度关系求 $p_{1}, p_{2}$ 。
对每一段封闭气体单独列状态方程。
若有注入或放出水银，再补几何关系。

02. 气缸活塞装置

原书第425-426页：活塞受力 + 气体状态

气缸活塞题要先分清“实体”和“气体”：活塞、杆、砝码是实体，写受力方程；封闭气体写状态方程。

气缸活塞受力与状态方程

单活塞模型：若活塞质量为 $M$ 、面积为 $S$ ，外界压强为 $p_{0}$ ，活塞静止，则常见方程为

pS = p_{0} S + M g

方向要按具体装置判断。活塞受到气体的作用力大小为 $pS$ ，方向沿活塞受力法线或约束方向；不要只凭“上、下”机械套公式。

两活塞有轻杆模型：轻杆内力一般不需要先求。优先取两活塞整体：

整体法：消去杆内力，直接求气体压强或外力。
隔离法：若题问杆力，再单独取某一个活塞。

降温移动类题：若活塞缓慢移动，通常视为每一瞬间平衡。先由受力方程判断压强是否恒定：

若 $p$ 恒定，就是等压变化， $\frac{V}{T} = 常量$ 。
若活塞顶到底或被卡住，后续变成等容变化， $\frac{p}{T} = 常量$ 。

解题模板：

状态1：对活塞/整体列受力方程，求 p1
状态2：对活塞/整体列受力方程，求 p2
气体：p1V1/T1 = p2V2/T2
几何：V = Sh 或 V = S1h1 + S2h2

03. 热动力学独立方程总结

原书第427-428页：实体写受力，气体写状态

热学综合题最容易错在“方程看起来很多，但不独立”。真正稳定的框架是：

热学独立方程流程

三类对象对应三类方程：

对象	方程	作用
活塞、隔板、杆、砝码	$\sum F = 0$ 或 $\sum F = ma$	求气体压强
一定质量理想气体	$\frac{p V}{T} = 常量$	连接初末状态
热过程	$Q = Δ U + W_{气}$	连接吸热、内能、做功
几何约束	$V = S h$ 、位移关系	把长度转成体积

这里采用约定： $W_{气}$ 表示气体对外做功，则热力学第一定律写作

Q = Δ U + W_{气}

若题目把 $W$ 定义为外界对气体做功，则应改写为 $Δ U = Q + W$ 。做题时先确认符号约定。

高频判断：

理想气体内能只由温度决定： $T$ 不变则 $Δ U = 0$ 。
等容过程 $W_{气} = 0$ 。
等压过程 $W_{气} = p Δ V$ 。
循环过程回到初态， $Δ U = 0$ ，所以 $Q = W_{气}$ 。

典型大招：压强差触发隔板移动

如果题中说“压强差超过某值隔板才移动”，就要分阶段：

隔板未动：某侧体积不变，压强随外界推动改变。
达到临界：写 $∣ p_{A} - p_{B} ∣ = Δ p_{0}$ 。
隔板移动：继续保持临界压强差或重新平衡。

04. 热学图像

原书第429-430页：图像就是状态方程的投影

热学图像题不要先看形状，要先问三个问题：横纵轴是什么？斜率代表什么？面积代表什么？

热学图像判读

$p - V$ 图像：

等温线： $p V = C$ ，是双曲线。
同一体积下，压强越大，温度越高。
曲线下面积表示气体对外做功 $W_{气}$ 。
循环图像中，顺时针面积为气体净做功，逆时针面积为外界净做功。

$p - T$ 图像：

由 $p = \frac{n R}{V} T$ 可知，过原点直线的斜率为 $\frac{n R}{V}$ 。斜率越大，体积越小。

$V - T$ 图像：

由 $V = \frac{n R}{p} T$ 可知，斜率越大，压强越小。

图像题四句口令：

$p V$ 比大小看温度。
$p - V$ 面积看做功。
$p - T$ 斜率大，体积小。
$V - T$ 斜率大，压强小。

05. 变质量气体

原书第431-432页：把气体多少换成 $p V / T$

变质量气体的本质是物质的量守恒。对同种理想气体：

n = \frac{p V}{RT}, m \propto \frac{p V}{T}

变质量气体模型

连通混合模型：两个容器打开阀门后达到同一末态压强 $p$ ，若末温为 $T$ ，则

\frac{p ( V _{1} + V _{2} )}{T} = \frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} + \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}

若温度始终相同，可直接写

p (V_{1} + V_{2}) = p_{1} V_{1} + p_{2} V_{2}

打气筒模型：每打一次，加入的气体量相当于外界压强 $p_{0}$ 下、体积 $V_{0}$ 的气体。等温时：

p V = p_{初} V + N p_{0} V_{0}

抽气模型：每抽一次，容器内剩余气体按体积分数减少。若容器体积为 $V$ ，抽气筒有效体积为 $V_{0}$ ，等温抽一次后

p_{1} = p_{0} \frac{V}{V + V _{0}}

连续抽 $N$ 次：

p_{N} = p_{0} (\frac{V}{V + V _{0}})^{N}

错题提醒：

变质量题不能对“不是同一团气体”的初末态直接用 $p V / T = 常量$ 。
放气到大气中时，末态容器内压强常常等于大气压，但放出去的气体体积不是容器体积。
混合后若温度改变，要保留 $T$ ，不要偷换成等温。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 玻璃管装置

原书第421页

第十三章热学玻璃管装置如图，标准大气压下，管内水银液面到水银槽中水银液面的的距离为 5“ ，求管内气体的压强〖解析〗 p ：（76 一 5）纩 71cmHg 模型二如图，斜面夹角为 30。时，管内封闭液体的长度为 10 厘米，求封闭气体的压强 P 为多少？逋 cm 〖解〗液体受到封闭气体向下的压强和自身重力的分力：得： + 血 9： s 为液体的质量， s 为液面的横截面积，为大气压强）整理方程得 + pS 血：生向回疬故尹 + · gs 9：解得：71cmHg 注意此处只对液体重力进行分解，而不对气体压强分解。斜面夹角为 30。，管内液体长为 12 厘米，斜面光滑，求下滑过程中封闭气体的压强 P 为多少？光滑《20m

原书第422页

《解析〗以整体为研宄对象，得： g 血 9：5《以水银为研宄对象，受力分析得: plSgsin9+POS-PS=plSa;得 = 76C11 g 老王提醒：如果斜面光滑》封团气体的压强等于外界气体的压强尹 = 若斜面存在有摩擦力以整体为研宄对象得：口 = g 血一声“ 以水银为研宄对象：尹血 + s 一一 p & 《解得： P=PO+PICOSB,即压强变得更大。模型四:二段封闭问题如图， U 型玻璃管左侧封闭两段气体气体，求两段封闭气体的压强舀、蟲〈单位 cmHg)0’ 彡讲义贫一小通过’以 1：一注意：该模型为“帕斯卡原理”的通俗理解，即压强具有“液传气不传”的特性。故方程@不应写模型五:注入水银等液面如图， = 19“ ，封闭气体长度 =40cm ，大气压：76cmHg ，当两侧液面等高时，应向左端注入多少水银？密封气体等温变化右侧封闭气之前的压强 = 76 一 19 = 57cmHg ；液面相平后的压强蟲： = ％ c 微信搜索丿公夫．弓．，

原书第423页

右侧封闭气体温度不变，故由等温定律得：1 =P2V2 代入数据：57 × 40 = 76； = 30cm ，说明液面上升了 10 厘米，故： + 2 × 侈一儿）：39cm 密封气体等温变化 10 1 例 1 孬如图，一粗细均匀的 U 形管竖直放置，侧上端封闭， B 侧上端与大气相通，下的开口处开关 K 关闭，侧空气柱的长度为仨思 0“ ， B 侧水银比侧的高 = 3 £ cm ·现将开关 K 打开，从 U 形管中放出部分水银，当两侧水银面的高度差：10·时将开关、闭合·已知大气压强 = 75.0cmHg 〈1)求放出部分水银后侧空气柱的高度；（2）此后再向 B 侧注入水银，使朩 B 两侧的水银面达到同一高度，求注入的水银在管内的高度· 当的稿愈晡！ bzPo 例 2· （2021 全国乙）如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管 A 、 B 、 C 粗细均匀， A 、 B 两管的上端封闭， c 管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。 A 、 B 两管的长度分别为 = 13·5cm ，12 =32cmo 将水银从 c 管缓慢注入，直至 B 、 c 两管内水银柱的高度差历 =5cm 。己知外界大气压为 =75cmHg 。求 A 、 B 两管内水银柱的高度差。 0 刂：由 04 = · hA 釒》：加（柿卟 0 汕柯他一

原书第424页

例 3。如图》一上端开口，下端封闭的细长玻璃管，下部有长厶 6 的水银柱，中间封有长 h=6.6cm 的空气柱，上部有长/3 4cm 的水银柱》此时水银面恰好与管口平齐。已知大气压强为 p 76c lg 。如果使玻璃管绕低端在竖直平面内缓慢地转动一周在开口向下和转回到原来位置时管中空气柱的长度。封入的气体可视为理想气体，在转动过程中没漏气。求: 〈 I)在开口向下时管中空气柱的长度 0）转回到原来位置时管中空气柱的长度（结果保留一位小数）〖解析〗（1)由受力分析得雪封闭空气柱压强舀 = + g /3， = 120c 黿地当倒置玻璃管时水银流出，会使得原先底部玻璃管变成真空真空气体/产 6，、水印讲 ` 料添、微信：蜢解得：66cmHg 为上图试管下端空气柱长度）根据等温定律舀 S /2：代入数值 120 × 6·6：66 = 12cm （2）若玻璃管再转一周，此时的玻璃管状态如图，下端水银柱长为 = 66“ ，上端水银柱长为/3 由受力分析得：島十尹解得 =86cmHg 丛 = 《0cm 6 根据等温定律得 = s ；代入数值 120 × 6·6 = 86 解得 = 9．2“ =10cm ，

02. 气缸活塞装置

原书第425页

二、气缸活塞模型例 1·如图：气缸内倾斜活塞水平面之间的夹角为质量为 M,面积为 S,大气压强为，求气缸内封闭气体压强卩？强调:作用在活塞上的气压方向为竖直方向，可直接写出竖直方向受力平衡，而无需分解： F ： PoS + Mg 得： P ：瑞 + 例 2·如图，一气缸内有朩 B 两活塞，活塞的质量为 12kg ，活塞 B 的质量为 8kg ，活塞的横截面积：4 × 1 俨 m 气活塞 B 的横截面积：2 × 1 m2，两活塞之间有一根杆，外 =l(fpa ， g 取 10，气缸内部光滑: (I ）若活塞水平放置，当两活塞平衡时求气缸内气体压强。（2）若把活塞竖直放置，当两活塞平衡时求气缸内气体压强。〖解析〗〈1)以活塞哀为研宄对象：设杆的内力为，方向向左，受力分析得 PS 刁 + ：． nS 以活塞 B 为研宄对象作受力分析: 由活塞 B 的受力分析得彦 + ：．一@得厂炻 s 厂炻，整理得屋 + 炻： + 解得 p =

原书第426页

（2）两活塞的受力情况如图所示: 以整体作为研宄对象得： + 尹 + + g 一 + S 解得 p ：9 幻阝 = 0 上例 3· 〈20 巧新课标 1)如图，一固定的竖直气缸有一大一小两个同轴圆筒组成，两圆筒中各有一个活塞，已知大活塞的质量为，横截面积为：80-2，小活塞的质量为一 1•50kg ，，横截面积为 S2：羽 cm2；两活塞用刚性轻杆连接，间距保持为/ ：40cm ，气缸外大气压强为：1•00>< ，温度为 T = 303K ，初始时大活塞与大圆筒底部相距一，两活塞间封闭气本的温度为 = 495K ，现气缸内气体温度缓慢下降，活塞缓慢下移，忽略两活塞与气缸壁之司的摩檫，重力加速度 g 取 10 s2·求：尺添加微信：（1)在大活塞与大筒底部接触前的瞬间，缸内封闭气体的温度乃· （2）缸内封闭的气体与缸外大气达到热平衡时，缸内封闭气体的压强· 〖解析〗（1)因为在活寒缓慢下移的过程中，根据受力平衡，有： + S2 + + ） g 一 2 + SI 从方程式中可看出气缸内气体的压强是不变的，所以是等压变化之》代入：]一 + S2 一， Vz=S21, ：495K ；解得谷 = 330K 。根据等压变化有过 2 ：鱼（ T 为室外温度）代入数值，解得’ ：1·01 × 105Pa 〈2）根据等容变化有一

03. 热动力学独立方程总结

原书第427页

、热动力学独立方程总结〈一）方程书写原赃对“实体”写受力方程对“气体”写状态方程〖步骤 &印找状态一实体，由受力分析得找状态二实体，由受力分析得 s 2：状态一到二有气体状态方程得· s 3：结合题干条件得· “ 例 1· 〈2021 全国甲）如图，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为 A 、 B 两部分；初始 B 的体积均为猻压强均等于大气压隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过 0 0 时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始终保持不变。向右缓慢推动活塞，使 B 的体积减小为一 2 (i)求 A 的体积和 B 的压强：乁，求此时 A 的体积和 B 的压强。活瘪隔板

原书第428页

例 2。（2021 湖南）小赞同学设计了一个用电子天平测量环境温度的实验装置，如图所示。导热汽缸开口向上并固定在桌面上，用质量叫 = Og 、截面积 S = 20cm2 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。一轻质直杆中心置于固定支点 A 上，左端用不可伸长的细绳竖直悬挂活塞，右端用相同细绳竖直悬挂一个质量：12 佣 g 的铁块，并将铁块放置到电子天平上。当电子天平示数为 600 g 时，测得环境温度写：300K 。设外界大气压强炻 =1.OxWPa ，重力加速度纟：10 s2 〈 D 当电子天平示数为 400·0g 时，环境温度为多少？（2）该装置可测量的最高环境温度灬为多少？细绳 4 轻杆细绳电子天平 Fi+B 犭尺

04. 热学图像

原书第429页

四、热学图像、理想气体状态方程等温变化：／ C （波义耳定律），面积为与温度有关的定值， T 大时图像高，不 < 不 ` ，／ P v Ti T2 等容变化： E=c （查理定律），斜率代表的是一，斜率越大越小， < 讲义资料添加微信率代表的是一，斜率越大尹越小， < 、热学图像与一般函数图像的区别．图像中的箭头代表的是反应过程的方向 @尹一尸一‰ ／一 T 三类图像可相互转化 O 使用热力学第一定律厶 U ： + AU 看 T ，看

原书第430页

例 1．〈2021 全国甲）如图，一定量的理想气体经历的两个不同过程，分别由体积·温度〈肉）图上的两条直线 I 和表示，和分别为两直线与纵轴交点的纵坐标；为它们的延长线与横轴交点的横坐标，是它们的延长线与横轴交点的横坐标， ·273，巧 ℃ ； b 为直线 I 上的一点。由图可知，气体在状态。和 b 的压强之比一：气体在状态 b 和 c 的压强之比：一。 V/m3 ， b ．2 六倦鈄寒沏下． “嗯 V= 歹 435 p/po A.劢程中，气体始终吸热 B. “过程中，气体始终放热 C. “过程中，气体对外界做功 D. bc 过程中，气体的温度先降低后升高 E. bc 过程中，气体的温度先升高后降低 /刈．，了心 b -乙 2 1

05. 变质量气体

原书第431页

五飞变质量气体若理想气体在充气或者抽气的变化过程中，质量为的气体分成两个或若千个不同状态的部分、一灭易得： “ · “ ·的同种气体的混合，则应用克拉伯龙方程一叾琢 2 2 1 〖老王提醒〗气体的体积相加时需要满足压强相等》故用 = C 进一换算例 1. 〈2020 山东）中医拔罐的物理原理是利用玻璃罐内外的气压差使罐吸附在人体穴位上，进而治疗某些疾病。常见拔罐有两种，如图所示，左侧为火罐，下端开庙右侧为抽气拔皚，下端开口，上端留有抽气阀门。使用火罐时，先加热罐中气体，然后迅速按到皮肤上，自然降温后火罐内部气压低于外部大气压，使火罐紧紧吸附在皮肤上。抽气拔罐是先把罐体按在皮肤上，再通过抽气降低罐内气体压强。某次使用火罐时，罐内气体初始压强与外部大气压相同，温度为 450K ，最终降到 300K ，因皮肤凸起，内部 20 20 气体体积变为罐容积的一。若换用抽气拔罐》抽气后罐内剩余气体体积变为抽气拔罐容积的一，罐内气压与火罐降温后的内部气压相同。罐内气体均可视为理想气体，，史的变化。求应火罐抽气拔罐〖解析〗设火罐内气体初始状态参量分别为、翁、温度降低后状态参量分别为、乃、罐的容积为由题意知叩 0、 TI 50 K 、为 = 、乃 = 300 K, ／20／1 20 由理想气体状态方程一”2’ 一一韭一；代入数据得 2 司·枷。 2 对于抽气罐，设初态气体状态参量分别为、乃，末态气体状态参量分别为、，罐的容积为，由题意知印 0、乃： ‰ ’ 、 P4 2 由玻意耳定律得’ = ‰ 。

原书第432页

10 代入数据得‰ ：万‰ ’ 。设抽出的气体的体积为 ^ 由题意知厶/一‰一 21 故应抽出气体的质量与抽气前罐内气体质量的比值为一一例 2。〈2021 广东）为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再 1 代入数据得 4 抽取药液，如图所示，某种药瓶的容积为 0，9“内装有 0.5mL 的药液》瓶内气体压强为 1·0 × 105Pa ，护士把注射器内横截面积为 0·3cm2、长度为 0·4cm 、压为 1·0 × 105Pa 的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强。一终鶥诲禍苇恤 L ： “瀰例 3· “河北） ’ ” 。 ’ ，。。。时，压强为 3·0x103Pa 。 +c,求此时夹层中空气的压；（2）」葆、杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为 27 ℃ ，大气压强为 1，0 × 105Pa 。 = 0 其 pa ”搁》蚯鼽一，奂廬恂笛满讠捕鼾稔讯加筲巛一一泌

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