第2章相互作用

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本章核心图谱

相互作用核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	如何通过旋转三角形方法解决力的合成	50
2	如何通过相似三角形方法解决力的合成	54
3	怎样利用摩擦角巧解共点力平衡问题	56
4	做圆揭示受力规律	60
5	如何通过独立方程法解决平衡类问题	62
6	如何通过独立方程法解决匀加速类问题	65
7	如何通过独立方程法解决水平匀速圆周类问题	68
8	如何利用共交力系解决多体平衡类问题	72
9	如何解决滑轮模型中的受力问题	74

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 050-075 页。第二章已先完成结构化精修，后续还可以继续对每个例题补更细的原图还原与二刷题组。
使用建议：先读“题型入口”，再看“几何图像”，最后把例题答案遮住自测。

01. 如何通过旋转三角形方法解决力的合成

原书第050页：力的合成与力的矢量三角形

两个力产生的作用效果若能由第三个力等效替代，则第三个力叫这两个力的合力；反过来，这两个力就是合力的分力。高中阶段处理共点力合成，核心工具是平行四边形法则，但真正做题时更常把平行四边形平移成力的矢量三角形。

需要区分两类图：

两个分力求合力：两个分力首尾相接，合力从起点指向终点。
三力平衡闭合三角形：三个力首尾相接形成闭合图形，此时没有哪一个力单独叫“合力”，它表达的是三力合矢量为零。

旋转三角形与力的闭合关系

一个力有大小、方向两个量，三个力共六个量。动态平衡题的本质，就是题目用几何关系限制其中几个量，再让你判断剩余力的变化。

原书第051页：动态平衡四种入口

动态平衡题常见四类入口：

入口	题面特征	首选方法
一个力大小方向确定，另一个力方向确定	重力不变，斜面支持力方向不变，挡板或绳方向变化	旋转三角形
一个力大小确定，另两个力方向都变	绳、弹簧、库仑力方向一起变化，且能找到几何相似	相似三角形
有摩擦力与支持力同时出现	四力平衡想转化成三力平衡	摩擦角/全反力
力的端点被特殊几何约束	夹角固定、端点在圆上、绳长固定	做圆法/正弦定理

本节先处理第一类：已知一个力的大小和方向，并且已知另一个分力方向。

原书第051-052页：旋转三角形口诀

这类题通常把重力看作“已知量”：重力大小、方向都不变。将重力反向翻折到三角形中，再平移方向变化的力，就能观察力的边长如何变化。

两条高频结论：

垂直不变出最小：一个力方向固定，另一个力转动时，转动力与固定方向垂直的位置常给出最小值。
竖小平大：在“横平竖直加倾斜”的三力模型中，倾斜力方向越靠竖直，力越小；越靠水平，力越大。

解题步骤：

选研究对象，可以选单个物体，也可以选整体。
做受力分析，确认是否为三力平衡。
把重力或已知恒力当作固定边。
将固定边反向翻折，构造闭合力三角形。
平移方向变化的力，判断它顺时针还是逆时针转动。
用“垂直不变出最小”“竖小平大”判断边长变化。

原书第052页：例1 光滑球、斜面与旋转挡板

题型定位：一个力为重力，大小方向不变；斜面对球的弹力方向不变；挡板对球的弹力方向随挡板转动而改变，属于旋转三角形。

结论：

挡板对小球的弹力：先减小后增大，当挡板弹力方向与斜面支持力方向垂直时达到最小。
斜面对小球的弹力：一直减小。

这题是“垂直不变出最小”的标准样板。不要急着列方程，先把固定方向和转动方向分清楚。

原书第052-053页：例2 圆筒中两个光滑小球

题型定位：上球受重力、桶壁支持力、下球支持力三力平衡；桶直径变大时，球间连线方向改变，是“横平竖直加倾斜”模型。

当桶的直径加大但仍小于 $2 d$ 时，倾斜支持力的方向逐渐变“平”。根据“竖小平大”，相关侧向支持力增大；再对两个小球整体分析，竖直方向的支撑由总重力决定，不随桶宽改变。

答案：A。
即两侧桶壁相关支持力增大，中间竖向约束对应的力保持不变。

原书第053页：例3 松鼠沿轻杆缓慢上爬

杆靠在粗糙水平地面和光滑竖直墙之间。墙面光滑，所以墙对杆只有水平弹力 $F_{1}$ ；地面对杆的作用力 $F_{2}$ 是支持力与摩擦力的合力。

松鼠沿杆上爬时，以杆和松鼠整体取矩，重力作用点到墙端的力臂变化使墙面弹力 $F_{1}$ 一直变大。水平平衡要求地面摩擦力随 $F_{1}$ 同步增大，而竖直支持力由总重力决定不变，所以地面对杆的合力 $F_{2}$ 也 一直变大。

答案：B。

02. 如何通过相似三角形方法解决力的合成

原书第054页：相似法的题型入口

旋转法要求“一个分力方向固定”。若除重力外的两个力方向都发生变化，旋转三角形就不够用了。此时要寻找：

力三角形；
与它形状相同的几何三角形；
固定边与变化边的对应关系。

口诀可记为：

几何与力常相似，力变只需看边变。

相似三角形解动态平衡

原书第054页：例1 带电小球与悬线拉力

固定带电小球 $A$ 位于悬点 $O$ 正下方附近，带同种电的小球 $B$ 用绝缘细线悬挂。增大 $A$ 的带电量后， $B$ 缓慢移动，悬线拉力 $T$ 与库仑力 $F$ 的方向都在变。

对 $B$ 受力：

重力 $G$ 竖直向下，大小不变；
悬线拉力 $T$ 沿 $BO$ ；
库仑力 $F$ 沿 $A B$ 。

平移三个力可得力三角形 $△ GTF$ ，它与几何三角形 $△ O A B$ 相似。对应关系为：

\frac{G}{O A} = \frac{T}{OB} = \frac{F}{A B}

其中 $G$ 、 $O A$ 、 $OB$ 均不变，所以 $T$ 不变。

答案：C。

原书第055页：例2 弹簧、轻绳与小球缓慢移动

小球 $A$ 受三力平衡：重力、弹簧弹力、绳拉力。滑轮 $O^{'}$ 在铰链 $O$ 的正上方，缓慢调节外力 $F$ ，本质上仍是力三角形与几何三角形相似的问题。

处理顺序：

对小球 $A$ 单独受力分析，先建立力三角形。
找到由 $O$ 、 $O^{'}$ 、 $A$ 构成的几何三角形。
用固定竖直边对应重力，判断弹簧弹力和绳拉力对应的几何边。
再对木板和铰链整体判断地面对木板的支持力、摩擦力。

本题的要害不是“慢”，而是“每一刻都平衡”，所以可以逐位置套用相似关系。原书给出的做法是先判小球三力，再把小球对弹簧、绳的反作用转移到木板系统中判断。

答案整理：A、B、D 正确，C 错误。
外力 $F$ 逐渐减小；弹簧弹力大小保持不变；地面对木板的支持力不按“逐渐减小”判断；摩擦力逐渐减小。

03. 怎样利用摩擦角巧解共点力平衡问题

原书第056页：全反力与摩擦角

遇到支持力 $N$ 与摩擦力 $f$ 同时出现时，可以先把它们合成为一个力，称为全反力 $R$ 。

若物体正在滑动， $f = μ N$ ，则全反力 $R$ 与支持力 $N$ 的夹角 $φ$ 满足：

tan φ = \frac{f}{N} = μ

这样四力平衡就能变成三力平衡：重力、外力、全反力。

摩擦角与死锁角

原书第056-057页：例1 拉动物块时拉力最小

水平面上物块受重力、拉力、支持力、摩擦力。把支持力和摩擦力合成全反力后，全反力方向固定，与竖直方向夹角为摩擦角 $φ$ 。

为了让拉力 $F$ 最小，利用“垂直不变出最小”：当 $F$ 与全反力 $R$ 垂直时， $F$ 取最小。

结论：

tan θ = μ, F_{m i n} = m g sin φ = \frac{μ m g}{1 + μ ^{2}}

这里 $θ$ 是最省力的拉力方向与水平面的夹角， $φ$ 是摩擦角，二者相等。

原书第057-058页：例2 拉推同一物块求动摩擦因数

物块在水平地面上：

用与水平方向成 $6 0^{\circ}$ 的力拉，匀速；
改用与水平方向成 $3 0^{\circ}$ 的力推，仍匀速；
两次外力大小相等。

把两次的支持力和摩擦力都合成为全反力 $R$ ，由于动摩擦因数相同， $R$ 相对支持力的倾角相同。两幅力三角形可叠成一个几何图形，得到摩擦角 $φ = 1 5^{\circ}$ 。

因此：

μ = tan 1 5^{\circ} = 2 - 3

答案：B。

原书第058-059页：静摩擦角与死锁

若是静摩擦，摩擦力范围为 $0 \leq f \leq f_{m a x}$ ，因此全反力不再是一条固定直线，而是在一个范围内摆动。这个范围的边界叫摩擦圆锥，侧视图对应的极限角就是静摩擦角。

判断原则：

合外要求的全反力方向在摩擦圆锥内：物体可以静止。
超出摩擦圆锥：所需摩擦力大于最大静摩擦力，物体必滑。
外力方向恰好落入“越推越压紧”的死锁区：即使外力无限大，也无法启动。

原书第059页：例3 拖把临界角

拖把杆与竖直方向夹角为 $θ$ 。沿拖杆方向推时，推力越大，水平推动分量变大，同时向下压紧地面的分量也变大，最大静摩擦力随之增大。

设拖把刚要动时，水平推动分量与地面对拖把正压力之比记为 $n$ 。临界条件就是推力方向刚好脱离死锁边界：

tan θ_{0} = μ

若题中用 $n$ 表示临界时“水平推力/正压力”，则 $n = μ$ ，所以：

tan θ_{0} = n

这个题不要硬列很长方程，关键是看懂“推得越大，压得也越紧”的死锁结构。

04. 做圆揭示受力规律

原书第060页：做圆法的题型入口

前面三节都在用“平移”构造力三角形。本节处理新的几何约束：两个力的夹角始终不变、某个力大小始终不变，或者力的端点只能落在某个圆上。

三类提示语要敏感：

两力夹角始终不变：力三角形中对应角不变，可以做外接圆，利用同弧对等角。
一个力大小始终不变：把这个力当作圆半径，力的端点在圆上运动。
三力平衡且夹角清楚：直接用拉密定理，也就是力三角形中的正弦定理。

做圆法与拉密定理

原书第060-061页：例1 两绳同时转过 90°

物体 $G$ 由两根绳悬挂，开始时绳 $O A$ 水平。两绳同时顺时针缓慢转过 $9 0^{\circ}$ ，两绳夹角 $α$ 保持不变，物体始终静止。设 $O A$ 拉力为 $T_{1}$ ， $OB$ 拉力为 $T_{2}$ 。

做法一：把三力平移成力三角形。由于两绳夹角 $α$ 不变，力三角形中对应的钝角 $π - α$ 不变，因此可以给力三角形做外接圆。

根据同弧对等角和正弦定理：

\frac{T _{1}}{sin θ} = \frac{T _{2}}{sin φ} = \frac{G}{sin α}

其中 $G$ 与 $α$ 不变。

变化判断：

$T_{1}$ ： $θ$ 从锐角开始变大，到 $9 0^{\circ}$ 时最大，之后变小，所以 先增大后减小。
$T_{2}$ ： $φ$ 从 $9 0^{\circ}$ 开始增大， $sin φ$ 变小，所以 逐渐减小，最终可为零。

答案：B、C、D。

原书第061页：例2 2022 河北圆柱体与转动木板

圆柱体用两根等长细绳悬挂在竖直木板上，木板以底边为轴缓慢转到水平，绳与木板夹角保持不变。忽略圆柱体与木板间摩擦。

这题的结构是“两个绳拉力合力 + 木板支持力 + 重力”三力平衡。由于两绳等长且对称，先把两绳拉力合成，再把问题化为一个合力、一个支持力和重力的力三角形。做圆后可见木板支持力先增大后减小。

答案：B。

原书第061页：例3 恒力拉悬挂小球求最大偏角

小球质量为 $m$ ，受重力 $m g$ 、绳拉力 $T$ 和大小恒定的水平力 $F$ ，其中 $F < m g$ 。因为 $F$ 的大小不变，可以把 $F$ 的端点看成落在以受力交点为圆心、 $F$ 为半径的圆上。

当绳线方向与这个圆相切时，绳与竖直方向夹角最大。由力三角形：

sin θ_{m a x} = \frac{F}{m g}

所以：

θ_{m a x} = arcsin \frac{F}{m g}

总结成一句话：一个力大小固定，就让这个力当半径做圆；最大角通常出现在切线位置。

05. 如何通过独立方程法解决平衡类问题

原书第062页：平衡类独立方程模板

独立方程法是力学计算题的主干。前面几节偏“几何秒杀”，但一旦图形不够特殊，就回到独立方程。

平衡题固定流程：

选研究对象，必要时先整体后隔离。
做完整受力分析。
建坐标系，尽量让更多力落在坐标轴上。
分解不在轴上的力。
列独立方程： $\sum F_{x} = 0, \sum F_{y} = 0$ 。
联立摩擦、弹簧、几何等约束条件。

平衡类独立方程模板

原书第062页：例1 水平力推粗糙斜面物块匀速上滑

质量为 $m$ 的物块在倾角为 $θ$ 的粗糙斜面上被水平力 $F$ 推动，沿斜面匀速向上运动，动摩擦因数为 $μ$ 。

沿斜面与垂直斜面建系：

F cos θ = m g sin θ + f

N = m g cos θ + F sin θ, f = μ N

联立得：

F = \frac{m g ( sin θ + μ cos θ )}{cos θ - μ sin θ}

分母 $cos θ - μ sin θ$ 很重要，它也对应后面“再大力也推不动”的死锁临界。

原书第063页：例2 拉水平面物块的最小力

水平面上物块被拉力 $F$ 拉动，拉力与水平面夹角为 $θ$ 。若用独立方程而不是摩擦角：

F cos θ = μ N, N + F sin θ = m g

解得：

F = \frac{μ m g}{cos θ + μ sin θ}

要让 $F$ 最小，就让分母最大。写成：

cos θ + μ sin θ = 1 + μ^{2} sin (θ + α)

其中 $tan α = \frac{1}{μ}$ ，最终得到：

tan θ = μ

这与摩擦角法的结论一致：最省力方向等于摩擦角。

原书第063-064页：死锁与缓慢移动类例题

若外力越大，法向压力也越大，摩擦极限跟着变大，就可能出现死锁。独立方程中通常表现为分母趋近零或变号。

典型判断：

能运动：推动方向的有效分量大于最大摩擦。
临界：有效推动分量恰好等于最大摩擦。
死锁：外力增大时，阻力上限同步增大，方程无正解。

2021 湖南凹槽题中，小滑块沿半圆弧缓慢移动，推力沿切线，支持力沿半径，所有摩擦忽略。对滑块列切向、径向平衡，再对凹槽整体看墙面作用。原书答案为 C：墙面对凹槽的压力先增大后减小。

06. 如何通过独立方程法解决匀加速类问题

原书第065页：有加速度时的建系原则

平衡类是 $\sum F = 0$ ；匀加速类是沿加速度方向 $\sum F = ma$ ，垂直加速度方向 $\sum F = 0$ 。

做题时优先让一个坐标轴：

平行加速度；
或平行斜面、绳、接触面等最强约束方向；
另一轴负责列“无加速度”的约束方程。

匀加速独立方程模板

原书第065-066页：例1 风力作用下粗糙斜面滑块

物块沿倾角 $3 7^{\circ}$ 的粗糙斜面由静止下滑，水平风力向右，大小与风速 $v$ 成正比： $F_{w} = k v$ 。图像给出 $a - v$ 的一次函数关系。

沿斜面向下列方程：

m g sin θ - f - F_{w} cos θ = ma

垂直斜面列方程：

N = m g cos θ + F_{w} sin θ, f = μ N

代入 $F_{w} = k v$ ：

a = g sin θ - μg cos θ - \frac{k}{m} (cos θ + μ sin θ) v

这就是 $a - v$ 图像为直线的根源。

由纵截距 $a = 4$ 得：

0.6 g - 0.8 μg = 4

取 $g = 10 m/s^{2}$ ，得：

μ = 0.25

由斜率可得：

k \approx 0.84 N \cdotp s/m

原书第066页：例2 加速斜面上小球

光滑斜面体以加速度 $a$ 水平向右运动，小球相对斜面静止，细线与斜面平行。对小球在地面参考系中列方程，沿斜面和垂直斜面分解：

T = m (g sin θ + a cos θ)

N = m (g cos θ - a sin θ)

答案：A。

原书第067页：例3 橡皮筋悬球与小车加速

小车向左加速，橡皮筋拉力的水平分量提供加速度，竖直分量平衡重力。稳定偏斜后，橡皮筋拉力变大，伸长量增加，但由于方向偏斜，球的位置相对原竖直悬挂点会上升。

答案：A。

07. 如何通过独立方程法解决水平匀速圆周类问题

原书第068页：水平圆周建系

水平匀速圆周不是“平衡”，但竖直方向通常平衡，水平方向提供向心力。

模板：

\sum F_{水平径向} = m ω^{2} r

\sum F_{竖直} = 0

水平圆周独立方程模板

原书第068页：例1 圆锥摆秒杀公式

小球在水平面内做圆周运动，悬点到圆周平面的高度差为 $h$ 。

T sin θ = m ω^{2} r, T cos θ = m g

两式相除：

tan θ = \frac{ω ^{2} r}{g}

几何上 $tan θ = \frac{r}{h}$ ，所以：

ω = \frac{g}{h}

结论：圆锥摆角速度只由悬点到圆周平面的高度差决定。

原书第068-069页：例2 粗糙斜杆套环的角速度范围

套环相对杆不动，但做水平圆周运动。临界时摩擦力达到最大静摩擦。

若杆与竖直方向夹角为 $θ$ ，圆周半径为 $r$ ，摩擦因数为 $μ$ ，则可用两组临界方程：

最大角速度，摩擦沿杆向下：

N cos θ + μ N sin θ = m ω_{m a x}^{2} r

N sin θ - μ N cos θ = m g

最小角速度，摩擦沿杆向上：

N cos θ - μ N sin θ = m ω_{m i n}^{2} r

N sin θ + μ N cos θ = m g

解得：

ω_{m a x}^{2} = \frac{g ( cos θ + μ sin θ )}{r ( sin θ - μ cos θ )}

ω_{m i n}^{2} = \frac{g ( cos θ - μ sin θ )}{r ( sin θ + μ cos θ )}

临界题最容易错的不是代数，而是摩擦方向。先判断“速度太大要往哪滑、速度太小要往哪滑”。

原书第069-071页：圆周临界题

两绳圆周、半球面圆周、带弹簧的转动框，本质都一样：

先找圆心和半径；
再找哪一个力即将为零或达到极限；
水平方向列向心力，竖直方向列平衡；
若题目问范围，分别列上下临界。

2021 河北弹簧小球随金属框转动题，角速度较大时合外力 $m ω^{2} r$ 变大，原书答案为 D。

08. 如何利用共交力系解决多体平衡类问题

原书第072页：为什么强调“共交”

一般刚体平衡要同时满足：

\sum F = 0, \sum M = 0

高中阶段通常不直接考力矩，所以题目往往通过“共点力”规避转动问题。若一个物体受三个非平行力而平衡，则三力作用线必共点。这就是共交力系的核心。

共交力系找重心与未知力

原书第072-073页：用共交反推重心

不规则杆或非均匀物体无法直接用几何中心找重心。若物体静止，且已知两个接触力方向：

画出两个接触力的作用线。
找到它们的交点。
重力作用线必须通过这个交点。
重力竖直向下，竖直线与物体相交处就是重心所在位置。

这个方法的本质是：三力平衡时，三条作用线共点。

原书第073页：斜面静止小球找重心

小球在水平地面上静止时，重心一定在竖直过接触点的直线上；换到倾角 $3 0^{\circ}$ 且摩擦足够大的斜面后，支持力、摩擦力、重力三力平衡，三力作用线共点。两次位置给出两条重力作用线，交点确定重心。

遇到这类题不要上来列方程。先画作用线，共交点比方程更快。

09. 如何解决滑轮模型中的受力问题

原书第074页：滑轮模型三条基本事实

理想轻绳、光滑滑轮模型中：

同一根绳上张力处处相等。
同一根不可伸长绳上，各点沿绳方向速度大小关联。
绳的内力对整个系统不做功。

本章只用第一条：绳力处处相等。

滑轮模型受力模板

原书第074页：例1 晾衣绳母题

细绳绕过滑轮悬挂重物，移动墙上端点时，若绳长和两固定点间几何关系满足相似，晾衣绳两侧与竖直方向夹角保持不变。

对重物：

2 T cos θ = m g

若 $θ$ 不变，则 $T$ 不变。

结论：

绳上张力相等；
两侧角相等；
晾衣绳上、下移动端点时，在该模型约束下角度和拉力不变。

原书第075页：例2 动滑轮平衡后高度与角度

系统静止，物块质量不变，所以绳上张力始终由物重决定。绳端从 $O$ 缓慢移到 $P$ 后，物体重新平衡；由于张力不变，滑轮两侧绳与水平方向的夹角不变。左侧绳长增加，为保持总绳长，物块升高。

答案：C。
即物体高度升高，夹角不变。

原书第075页：例3 两小球穿在竖直杆上

两球都穿在光滑竖直杆上，同一根绳跨过定滑轮连接两球，绳与水平方向夹角分别为 $θ$ 和 $2 θ$ 。

对两个球分别列竖直平衡：

T sin θ = m_{A} g

T sin 2 θ = m_{B} g

所以：

\frac{m _{A}}{m _{B}} = \frac{sin θ}{sin 2 θ} = \frac{1}{2 cos θ}

答案：B， $m_{A} : m_{B} = 1 : 2 cos θ$ 。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 如何通过旋转三角形方法解决力的合成

原书第050页

第二窳相互作用、如何通过旋转三角形方法解决力的合成 1、力的合、则力的合成是指当两个力产生的作用效果可以用第三个力来替代的时候，我们就把三个力叫做另外两个力的合力，而另外的两个力我们叫做第三个力的分力。得出合力或者分力的过程称为力的合成或者分解。根据数学中的向量知识，我们知道，通过分力求合力需要使用平行四边形法则# 分我们对于平行四边形法则的研宄明显不如三角形透彻，所以通常我们会通过平移将一个平行四边形转换为三角形，但是这个三角形的三条边都是由矢量构成，我们称为力的矢量三角形。矢量三角形的合成法则：《咧詣“舅需要注苤葙风火轮”一样的的图形: 实则是三个共点力的平衡三角形因此，该图中则没有一个力为合力。所以，对于一个力的矢量三角形，每一个力均有大小及方向两个物理量，三个力总共有六个量。我们的第一种制约图形则会从六个量中选择三个来考察。

原书第051页

2、动态平衡中的四种考法# ．己知一个力的大小、方向和另一个力的方向通常我们用旋转一条边，构成动态三角形的做法 @已知一个力的大小，另外两个力的方向均变化；这种往往是通过平移相似制约，可以通过力的三角形和几何三角形相似来得到力的变化。 O 应用摩擦角来解题可以通过合成摩擦力和支持力使其四力变三力。 O 已知一个力的大小和方向，其他力在特殊的相互制约下变化、往往需要通过做圆的方法解决。 3、本讲先学习考法．，即已知一个力的大小和方向以及另一个力的方向。每个力都具有两个量一一一大小和方向。标出力的矢量三角形中分力及合力的大小和方大小方向大小方向大小方向通常重力的大小和方都是不变的，所以我们可以这样来理解题目，即把重力当合力一一己知重力的大小和方向，及某分力的方向，求另一个分力的省璺方向的变化。一料添加微信：对于这种问题，我们常用矢量三角形的旋转法来解决。其中尹的大小方向确定，的方向不变，则駡会出现多种可能，当垂直时的时候，会有最小值。结论# “垂直不变出最小” 。特别的，对于“横平竖直加倾斜”的受力模型，还会有另一种结论： “竖小平大” 我们现在对这个口诀做个简单描述：当倾斜的力，方向“变竖”的时候力变小， “变平”时力变大。

原书第052页

解题步骤: （1)选定研宄对象〈可以整体也可以单个）〈2）受力分析〈这类题型都是三个力）（3）把重力当合力（4）重力向上翻折（5）平移方向变化的力（6）判断方向变化是按照顺时针还是逆时针（7）注意口诀的使用一竖小平大十垂直不变出最小实际举几个例子来说明: 例 1。如图所示，重 G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小、各如何变化？ G 大小．方向不变方向不变考法．的“将向上翻折，一肀艹’ “过的“艹’故满足以，此先减小后增大（当垂直时最小），此过程一直减小；获取最盡脲例 2，如图所示，光滑的两个球体，直径均为 d,置于一直径为 D 的圆筒内，且 d < D < 2 六在桶与球接触的三点从 C,受到的作用力大小分别为、駡、，如果将桶的直径加大，但仍小于 2 则、、的大小变化情况是（） A.增大、駡不变、增大 B.减小、駡不变、减小 C.减小、减小、增大 D.增大、减小、减小〖解析〗先以上面的小球做为研宄对象訂发现受力情况满足“横平竖直加倾斜” ： FN

原书第053页

显然：桶径变大时，缓再以整体做为研宄对象：平，所以，和都变大根据受力平衡，始终等于 G ，：；二，增大，駡不变例 3·夕阳把庭院抹上了一层金黄，院内一只小松鼠感到惊慌，它爬上一根轻杆向墙外张望。如图所示，假设轻杆斜靠在水地面和竖直光滑院墙上，小松鼠沿杆缓慢上爬过程中杆始终保持平衡。设墙壁对杆的作用力大小为 FI ，地面对杆的作用力大小为在此过程中，关于 FI 与的大小变化是（） A. 、一直变小 B. 、一直变大 c. FI 一直变小、 F2 一直变大 D.一直变大、一直变小 · ：艿小飭翦：：中杠构 3

02. 如何通过相似三角形方法解决力的合成

原书第054页

、如何通过相似三角形方法解决力的合成通过上一专题，我们得出的结论是，只要合力大小方向不变，且一个分力方向不变，就可以使用“旋转”法，但是，我们经常会碰到除去重力之外，基他两个力的方向都发生了变化，，比如：例 1·如图所示，将一带电小球丸用绝缘棒固定与水平地面上的某处，在它的正上方处有一悬点 0，通过长度为 I 的绝缘细线吊一个与球带同性电的小球于是悬线与竖直方向成某一夹角六现设法增大球的带电量，则悬线 OB 对 B 球的拉力 T 的大小将（） A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定〖解析〗容易看出，当球电量增大时，小球向上转动，绳拉力 T ，之间的库仑力丆方向都发生变化，二此时没有办法使用考法．的技巧，不能按照“旋转”的方法解题。我们还薨男上去，先合成为一个力的三角形，争取通过图形来分析。容易看出， AGTF 是通过平移得到的一个三角形，故必然可以得到一个与之相似的几何三角形。 AGTF ～ ^ 0 B 0 AB OB OB 二相似三角形对应边成比例，即一· ， G G F T 和长度不变》此过程绳的拉力保持不变。我们甚至可以得出结论，通常几何竖边对应的是重力，而重力不变，二竖边通常也不变，二要想看某力变化，只需要看对应边的变化就可以。正所谓“几何与力常相似，力变只需看边变” 所以，如果遇到无法用“旋转法”解决的三力动态问题，我们可尝试考虑用相似法。此即考法@的应用。我们通过例题练习一下：

原书第055页

例 2·如图所示，木板 B 放置于粗糙水平地面上，0 为光滑铰链，轻弹簧一端与铰链 0 固定连接，另一端系一质量为的小球现将轻绳一端栓在小球 A 上，另一端通过光滑的小滑轮 0’由力 F 牵引，定滑轮伊位于铰链 0 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力 F 的大小使小球从图示位置缓慢运动到伊点正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（） A.外力 F 逐渐减小 B.弹簧弹力大小始终不变 C.地面对木板的支持力逐渐减小 D.地面对木板的摩擦力逐渐减小丿 G 了 C$ ：敲殉能靴，忄月伺能

03. 怎样利用摩擦角巧解共点力平衡问题

原书第056页

、怎样利用摩擦角巧解共点力平衡问题当我们遇到物体受四个力时，通常采用分解方法解题。但如果我们仍希望用合成的方法》则需将四个力合成为三个力。但是，需要先合成哪两个力呢？本专题我们学习摩擦角及全反力的知识及方法，学完之后大家就知道应该怎样将四力转化为三力，又应该怎样用合成的方法解决四力的共点平衡问题了。我翁蝤先介绍一下摩擦角：如果一个物体受到摩擦力，必然会受到支持力，如果我们将支持力和摩擦力合成起来，会发现; -乛全反力合成的力称为全反力。 = 声 = t 皿不难发现与歹将会成比例的增加或减小，而全反力的方向始终保持不变。二叫摩擦角，其正切值为。合成之后的力称为“全反力” 需要注意的是，此处的歹需犭尺例 1·若用力 F 拉动放在水平面上质量为的小物块，求 9 为多大时，可以使得拉力 F 最小。〖解析〗本题传统解法通常采用建系分解，我们现在用合成的方法来试试。以小物块为研宄对象，做出受力分析图: 因为全反力的方向始终保持不变，故将重力翻上去》微信搜索公众号

原书第057页

所以，根据“垂直不变出最小”得： Fmin =mgsin9’且 t 9 = 声，易得， sin9 = 1 + jumg 1 + 总结:这样的做法要比分解简单不少，我们会在对应的专题中再用分解的方法做一遍。例 2·如图 2·3 巧所示，一物块置于水平地面上。当用与水平方向成 60。角的力拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成 30。角的力推物块时，物块仍做匀速直线运动。若和的大小相等，则物块与地面之间的动摩檫因数为（） A.一 1 C. B.2 一〈图 2·3 巧）如果们用摩擦角，则可以根据解三角形，求得摩擦角，瞬间得出摩擦因数做出两种状态下的受力分析如图所示，可以先将支持力和摩擦力合成为全反力根据结论，无论 F 为多大， R 总是保持方向不变。因此，我们将两图合成为一个图》可以看出; （图 2·3·7）

原书第058页

如图 2·3 乊所示，由题意：，则八 40 为等腰直角三角形。故 C = 45。，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，易得 OC = 巧。，： -巧。：2 一。《答案〗 B 点评 £ 本题利用摩擦角及三角形的几何知识快速解题，并且形成了一种相应的技巧方法，不得不说，的确是神来之笔。接下来我们介绍静摩擦角及死锁知〈图 2·3·11) 当支持力为确定值时，静摩擦力 0 亠，故此时的全反力可以形成一个范围角 OB ，也就是 0 为顶点，全反力所在的位置旋转而形成的一个圆锥角，我们称之为摩擦圆锥角。其侧视图如图 2·3·11 所示，当只要全反力在厶 OB 范围内，皆可以使物体保持静止。如果超过这个角度范围，则会使物体发生相对滑动}比如; 其中，肥在乙 40B 范围之外，通过将分解得、尸。此时歹 > 尸，已经超过此时物体的最大静摩擦力。故无法使物体达到平衡。不难发现，只要超过摩擦锥范围，则其相应的摩擦力超过此时的最大静摩檫力。反之》如果全反力在摩檫锥范围内，则必然不会滑动，如果当恰好达到最大静摩擦时，相应的最大静摩擦角也成为“死锁角” FN 容易看出:当 F 与 R 反向时，就算 F 取到无穷大，也不能将物体推动，即所谓死锁的含义。我们举个经典例题：

原书第059页

例 3·拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具〈如图）。设拖把头的质量为，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数，重力加速度为 g ，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为。设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为。已知存在一临界角，若 < ，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切。〖解析〗本题通过题干的理解，不论拖杆推力为多大，都不能让物体运动，故推力 F 应该着死锁角的方向。又由题意可知声 = 荪故 n = 。拖杆拖把头点评：通过合成的方法使一道计算题分析起来如此容易，值得大家认真学习并掌握。例 4·如图所示，质量为的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为 30。时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为 F 的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时》不论水平恒力 F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，则下列说法正确的是（ № 〉 A.物体与斜面间的动摩擦因数为·一 3 c.这一临界角的大小为 30。获取最新网谋及无’ 30。住涕：飚傩探蚌 @死锁时： R 与伍 B.物体与斜面间的动摩擦因数为一· 2 D.这一临界角的大小为 35 灬 9 = D9j

04. 做圆揭示受力规律

原书第060页

四、做圆问题及拉密定理之前三讲》我们学习了以“平移”为根本合成原则。通过旋转、相似、摩擦角将力的三角形与几何三角形建立联系》从而获得求解在本讲中，我们将会学习力之间新的制约关系，比如“某两力间夹角始终保持不变” 、 “某力的大小始终保持不变”等。举例说明: 例 1·如图所示，物体 G 用两根绳子悬挂，开始时绳水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过 90。始终保持。角大小不变，且物体始终静止，设绳的拉力为，绳 OB 的拉力为，则在此旋转过程 A.先减小后增大 C.逐渐减小〖法一〗做圆 B.先增大后减小 D.最终变为零先将三力平移，得力的矢量三角形，其中不变，故其锐角部分一保持不变。根据圆的结论一一· 同弧对等角，故可做出力的矢量三角形 ^ G 的外接圆，其中竖直边 G 对应甭度一。故在此外接圆中， G ·改取最新小，故先增后减小。 1 顺时针旋转时，逐渐变大直至圆的直径位置而后变而一开始便从直径位置顺时针旋转，故逐渐减小最终为零。故选 BCDO 总结：．当两力夹角始终不变时，做出力的三角形外接圆，应用“同弧对顶角”结论解题。〖法二〗拉密定理 = 亠·亠一鱼一包一-fE 拉密定理本质就是力的三角形中的正弦定理。如图所示，将、合成为力的矢量三角形，由正弦定理得化简得： sin 名 sin sin 微信搜索 9

原书第061页

对于本题亠：亠 Sin 9 Sin Sin 其中 G 与角不变》故当、按顺时针旋转时，从 90。开始增大，故 sin 变小，则变小；从钝角开始变小，故 sin 变大，直至 = 90。时，血最丸当 O > 9 俨时，血减小。故苤先增大后减小。故面对“特殊制约类图形” ，总结方法如下刍菊亠 @：省”小-当周砌小当。例 2．（2022 河北）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的 P 点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（3） A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B.圆柱体对木板的压力先增大后减小 C.两根细绳上的拉力均先增大后减小 D.两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变新网讠愾酩以与一例 3·如图所示，小球的质量为用一细线悬挂，现用一大小恒定的力 F 伊 < ），慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中》细线最大的偏角是多少？〖解析〗做出受力分析如图，由于 F 大小不变，故 F 的末端将落在以为圆心， F 为半径的圆周上。根据矢量三角形，当细线与该圆相切时，与竖直线的夹角最大。所以 = arcsin F 故 sine= 总结：有一个力大小始终不变。可以以力的支点当圆心，力的大小当半径做圆。微信搜索

05. 如何通过独立方程法解决平衡类问题

原书第062页

五、如何通过独立方程法解决平衡类问题本专题是整个力学体系的核心独立方程组理论》我们可以应用独立方程理论解决共点力的平衡、匀加速、圆周运动问题等。每类题型区别在于建系准则和所列的方程：我们总结一下平衡类问题方法 1、选定研究对象〈有必要可选整体） 2、受力分析 3、建立坐标系（尽可能多的力落到轴上） 4、分解不在轴上的力 5、列方程例 1·用力 F 推动质量为的物块在粗糙的斜面上匀速运动，求力 F 的大小。受力分析如图所示： FN 口。、无水讲义资“ F ： s + /3 孕 Step2k- Ncos9=fsin9+mg ，歹 = 声 S 3：解方程： F s + 声 cos 两式相除．一 mg 佣 s9 一声 3 9 sin9+gcose 解得 F = c 佣 9 一 8 血 9 微信搜索公众号

原书第063页

例 2·若用力 F 拉动放在水平面上质量为冽的小物块，求 9 为多大时，可以使得拉力 F 最小。水彡讲义 0、例 3·若用力 F_质蕞为，小物块，求 9 为多大时， F 无论如何都无法推动小物块。嘲 F 一刍膶 F 乛凶

原书第064页

例 5· 〈2021 湖南）质量为 M 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点， B 为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力 F 推动小滑块由点向 B 点缓慢移动，力 F 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ C ） A.推力 F 先增大后减小 B.凹槽对滑块的支持力先减小后增大 c.墙面对凹槽的压力先增大后减小 D.水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 B 例 6· （2022 湖南）2022 年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细 0 致的鼠所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。产“ “ “一（）新网谋及水讠微信搜索公众号 C. D.

06. 如何通过独立方程法解决匀加速类问题

原书第065页

、如何通过独立方程法解决匀加速类问题上一讲，我们重点分析了如何用“建系法”解决将平衡类问题。类似的，同样的方法也可以分析非平衡类的物体，即具有加速度的物体或处在水平匀速圆中的物体（下一讲）。具有加速度类物体受力分析〖方法总结〗 1、选定研宄对象〈有必要可选整体（第三章：整体隔离法独立方程原理）） 2、受力分析 3、建立坐标系（尽可能多的力落到轴上〗 4、平行“ ，垂直或尽可能多的矢量落在轴上 EF = 0 EF = 5、列方程 EF = 0 EF = 忉口例 1·如图 2 1，质量 m=lkg 的物体沿倾角 = 37。的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速 v 成正比，比例系数用表示，物体加速度。与风速 v 的关系如图 2·6·2 所示。求: （1）物体与斜面间的动摩擦因数声；（2）比例系数（ sin37。 = 0·6， s37。 = 0，8，一用赤孜 u/(m•s2) （图 2· l) 5(m•s-l) （图 2·6·2）〖法一〗本题比较常见的思路是把两截距对应的平衡及与加速状态分别表现出来。对于（0，4）点，显然速度为零，风力为龜： g 血一声 gco ，代入数据，可解得 = 0·25 对于 00）点》显然加速度为零，此时物体处于平衡状态

原书第066页

mgsin9=kvcos9+f = s + gcos9，解得炝 0·84 [老王点评〗本题方法虽然易懂，但没有把图像的精髓表现出来，比如为何。 “图像是一条直线？因此我们可以考虑采用通解的方法，将“7 函数完整描绘出来。〖法二〗对于衽意状态。列 0 般类方程 0 g § in 一歹一 se ：忉 0 FI “ ：加 s + BCOS 解得 gs 血一 s 恤一 gcos9 一加 cos ：0 声 s + cos 孕化简得 0 = •v+gsin9—pgcos9 显然符合丿：一 + 方的图像形式接下来利用采用待定系数法: 斜率 5 纵截距 gs 9 一声 gc ：4 例 2。〈2m3 安徽）如图所示，细线的一端系一质量为的小球，另一端固定在倾角为的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度。水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力 T 和斜面的支持力分别为（重力加速度为纟）（ A ） T 1（ gs 9 + 0m8 刃，：（ c 孕一恤刃 T 刁 gs 血 + acos ，：（ gs 恤一 cos 刃 B. T=m(acose—gsin9)’ =m(gcos9+asine) T 底 as 血 9 一 g s 刃， =m(gsin9+acose) 微亻亡

原书第067页

例 3。（2014 全国 1)如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态。现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度内）。与稳定在竖直位置时相比》小球的高度〈 A ） A.一定升高 B.一定降低 c.保持不变 D.升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定不皿：砌一例 4· （2022 全国乙）如图，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为忉的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两球间的距离等于绳长 LO 一大小为 F 的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直。当两球运动至二者相距一 L 时，它们加速度的大小均为〈）、加微信 A. D. 10 忉 ·上 5 镓与分鯽 F 5

07. 如何通过独立方程法解决水平匀速圆周类问题

原书第068页

七、如何通过独立方程法解决水平匀速圆周类问题类似的，本讲中我们归纳一下水平匀速圆的“建系分解”方法 1、选定研宄对象（有必要可选整体） 2、受力分析 3、建立坐标系 4、平行向心力，垂直向心力。 5、列方程举例细下: 例 1·小球在水平面中做圆周运动，悬点与水平面之间的高度差为求小球旋转的角速度。〖解析〗建立水平竖直建系如图， Tsin9= 02r ，两式相除得 Tcos9=mg tane= [老王点评〗由这个式子我们可以得到一系列技巧：利用这个结论，圆周运动的角速度只与高度差有关”可以直接秒杀多水平圆周运动的题目》此类题型会在后面的专题中有所体现。例 2·如图所示，粗糙滑竿，上面套有小环，滑杆与竖直方向的夹角为小环与滑竿的摩檫因数为声，为使小环和杆的相对位置不变（此时小环做圆周运动的半径为求的取值范围。 FN 〖解析〗当囫有最大值的时候，摩檫力方向沿杆向下，着提供向心力@灬

原书第069页

FNcosB+fsin9=mo FNsin9=fcos9+mg 丆 = 声 (gsin9+cos9)g 求解。冖 = （血 9 一声 cos 同理可求即 Fycos9—fsin9=mØmin r s 一声 s g s + / cos ： g ，解得 s 恤 + pcos9 r 我们总结一下，针对于不同运动状态的物体，讹建系法”的区别。使尽可能多的力落在坐标轴上。匀加速．平行加速度，垂直加速度 @使尽可能多的矢量落在坐标轴上；水讲 ` 资添、微信水平圆 O 水平竖直建系《圆周运动的临界问题〗例 1·如图所示，保证两绳都绷紧，，己知求的最大值和最小值。 3 俨 60。〖方法一〗分析临界状态: 分析临界间题，重点是找到临界状态。显然，最大的时候，小球处于起飞的状态，会使得上面的绳子没有拉力同理最小的时候，小球即将“耷拉”下来，下面的绳子没有拉力。（其中为旋转高度）利用上题的结论公式@ = tan 60。 tan 30。微信搜索

原书第070页

《方法二〗硬解通法：列出两绳均有拉力时的一般式： sin300 十 s 60。：02r s30。 + s60。：忉 g 〖老王点评〗硬解的方法“易列不易解” ，临界的方法“易解不易列” 。 TI ：詎鬥· 「孬 0 的讜可刂亠．例 2·如图 2·74 一半径为 R 的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为 q > 0）、质量为的小在哽的匀速圆周运动，圆心为伊。球心。 “ “ ，，，。（。 < “ ）为了使小球能够在该圆周一隳动强度大个的最小值及小球相应的速率。重力加速度为 go 〖解析〗本题出的很好且经典，受力分析如图；列出受力分析方程： B 一 9 = Rsin9 s = g 代入化简得 B 一一 Rsin9 结合本题需要表达出磁感应强度解得 B ：一亠 qO 血显然，该式是可以利用均值不等式找到极值〈一正二定三相等）故 B 2 mgtan9 mv m2gtane g Rsin9 根据基本不等式取等条件，当且仅当亠一刚时 B 存在最小值， Rs 血图 2·74 解得此时一 sin 微信搜索公众号

原书第071页

例 3．（2021 河北）如图，矩形金属框 eP 竖直放置，其中、 PQ 足够长，且 PQ 杆光滑》一根轻弹簧一端固定在 M 点，另一端连接一个质量为的小球，小球穿过 PQ 杆》金属框绕垡烈轴分别以角速度毋和匀速转动时，小球均相对尹 0 杆静止，若 > 则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（ D ） A.小球的高度一定降低 B.弹簧弹力的大小一定不变 c.小球对杆压力的大小一定变大 D.小球所受合外力的大小一定变大住] ，禍勿圆前町分坷加苑丐啦@：：艹倦疒囝，：一

08. 如何利用共交力系解决多体平衡类问题

原书第072页

八、如何利用共交力系解决多体平衡类问题〖前提交代〗所谓共力系其实就是课本中写到的共点力，分析有共同交点上的力的平衡。为什么需要强调要“共交”呢？因为对于广义的平衡，要满足两个条件：〗 F ：0 且乥 M ：0，即合外力与合力矩均为零。从而使物体既不发生平动，也不发生转动。高中阶段我们对于力矩的考察不做要求，故为了有效规避在题目中对力矩的相关讨论，所以我们在平衡的条件前加了一个条件一一共点力。如果物体所受的力共点，则不用考虑转动的问题。结论:若一个物体平衡且不转动，则其所受到的所有力定是共点的。例如图所示，一’卯，， “ · “ ，请找亠杆的重心。获取最新网讠初中阶段》我们用寻找物体的几何中心或采用悬挂法来寻找重心，但很显然在此题中，这两种方法都不奏效，所以采用图示法来寻找其重心。做出受力分析，杆受到的重力、杆与碗沿交点处受到的垂直杆的支持力垂直碗面切线向上的 2，这三个力必有共同交点。故重力与杆的交点即为重心。重心

原书第073页

例 2·如图所示，小球的半径为当置于水平地面时接触点为 A 点。现将小球放置在摩擦系数足够大的倾 = 30。的斜面上，小球仍能保持静止，且连线处于水平位置，请找出小球重心。〖解析〗当小球处于水平地面时，其重心一定在连线上。当小球处于斜面上时，做出受力分析如图所示，注意沿斜面向上的摩擦力歹的作用点为 B 点。 e mg 则三力汇交于点。由几何关系，得 0 伊 = 2 例 3·如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平， q 心，、声匍滑，一根轻加。质杆的两端固定有两个小球，一小艹球心的连线跟水平面分成。。、岳譜勺质量之比为（） A.1：2 c.1 B. ：1 D. ：2 侔飭分。矬渺作级灿和，咿喃焦 6

09. 如何解决滑轮模型中的受力问题

原书第074页

九、如何解决滑轮模型中的受力问题对于滑轮模型，本质上是研宄绳的受力特点： (1）绳上受力处处相等。（2）绳上每一点在相同时间通过的距离都一致，每点沿绳速度相等。（3）绳的内力对系统不做功。其中特点 2 和 3 我们在功能章节讲述，本讲我们重点学习绳力处处相等这个特点。例 1.如图所示，钉在墙面上 B 点两的细绳通过滑轮下方悬挂着质量为的物体，若上下移动厶 B 点，试分析晾衣绳形成的夹角与拉力 T 如何变化。〖解析〗此题为晾衣模型母题。做出受力分析，设、与竖直方向夹角为。、绳长为层 Tsina= sin 由物体平衡得： 2TS = 过点義助线 0，得八 4C0 一厶 BDO ， CO 0 CO ，由比例的关系可得： DO BO CO+DO 0 + BO CO 磊设 CO 十 DO ：磊，0 + BO = ，则 cos 乙亻 OC = 一为定值，因与儿的大小均不变，故厶 OC 也为定值。则 9 不变、 T 不变。结论：（1)绳上力都相等。〈2）侧角相等。（3）晾衣上、卞点，角、力不变。

原书第075页

例 2·如图所示，厶孬两物体的质量分别为和砌，且 > 砌，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计·如果绳一端由 0 点缓慢地向左移到 P 点，整个系统重新平衡后，物体的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角 9 如何变化？〈 C ） A.物体的高度升高，9 角变大 B,物体的高度降低， e 角变小 0 物体的高度升高，孕角不变 D.物体的高度不变，角变小〖解析〗由于物块质量不变，故绳上拉力始终为物体的重力。当 0 点缓慢移动时，沿绳的拉力始终不变，因为 B 物体始终保持平衡状态，则不变。一一八由于 0 点移至尹点，会使得左侧绳长变长，故物块冈升高。选 C 〖答案〗 C 例 3。如图所示，一条细绳跨过定滑轮连接两个小球厶 B ，它们都穿在一根光滑的竖直杆上，不计绳与滑轮间的摩擦，当两球平衡时似绳与水平方向的夹角为 OB 绳与水平方向的夹角为 2 则球 B 的质量之比为（） A.2cos 1 C.加 n 1 T ： B. I:2cos9 D.1：2 sin

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第2章 相互作用

第2章 相互作用

本章核心图谱

小专题索引

精修正文（对照原书逐页校订）

01. 如何通过旋转三角形方法解决力的合成

原书第050页：力的合成与力的矢量三角形

原书第051页：动态平衡四种入口

原书第051-052页：旋转三角形口诀

原书第052页：例1 光滑球、斜面与旋转挡板

原书第052-053页：例2 圆筒中两个光滑小球

原书第053页：例3 松鼠沿轻杆缓慢上爬

02. 如何通过相似三角形方法解决力的合成

原书第054页：相似法的题型入口

原书第054页：例1 带电小球与悬线拉力

原书第055页：例2 弹簧、轻绳与小球缓慢移动

03. 怎样利用摩擦角巧解共点力平衡问题

原书第056页：全反力与摩擦角

原书第056-057页：例1 拉动物块时拉力最小

原书第057-058页：例2 拉推同一物块求动摩擦因数

原书第058-059页：静摩擦角与死锁

原书第059页：例3 拖把临界角

04. 做圆揭示受力规律

原书第060页：做圆法的题型入口

原书第060-061页：例1 两绳同时转过 90°

原书第061页：例2 2022 河北圆柱体与转动木板

原书第061页：例3 恒力拉悬挂小球求最大偏角

05. 如何通过独立方程法解决平衡类问题

原书第062页：平衡类独立方程模板

原书第062页：例1 水平力推粗糙斜面物块匀速上滑

原书第063页：例2 拉水平面物块的最小力

原书第063-064页：死锁与缓慢移动类例题

06. 如何通过独立方程法解决匀加速类问题

原书第065页：有加速度时的建系原则

原书第065-066页：例1 风力作用下粗糙斜面滑块

原书第066页：例2 加速斜面上小球

原书第067页：例3 橡皮筋悬球与小车加速

07. 如何通过独立方程法解决水平匀速圆周类问题

原书第068页：水平圆周建系

原书第068页：例1 圆锥摆秒杀公式

原书第068-069页：例2 粗糙斜杆套环的角速度范围

原书第069-071页：圆周临界题

08. 如何利用共交力系解决多体平衡类问题

原书第072页：为什么强调“共交”

原书第072-073页：用共交反推重心

原书第073页：斜面静止小球找重心

09. 如何解决滑轮模型中的受力问题

原书第074页：滑轮模型三条基本事实

原书第074页：例1 晾衣绳母题

原书第075页：例2 动滑轮平衡后高度与角度

原书第075页：例3 两小球穿在竖直杆上

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

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第2章相互作用

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