第10章 电磁感应

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本章核心图谱

小专题索引

No	Topic	Page
1	楞次定律的理解和应用	304
2	B-t 图像类问题	306
3	线框穿磁场图像类问题	312
4	单个导体棒之三步六类法	318
5	线框穿磁场计算类模型	325
6	电容棒	330
7	双棒模型	333
8	如何用 v-r 图像通解旋转感应电动势	339

精修正文（对照原书逐页校订）

已精修范围：原书第 304-341 页。第十章先完成整章框架级精修：楞次定律、$B-t$ 图像、线框穿磁场图像、单棒三步六类法、线框穿磁场计算、电容棒、双棒模型、旋转感应电动势。后续可继续把每道原题补成“题干-图像-答案-复盘”。

01. 楞次定律的理解和应用

原书第304-305页：阻碍的是磁通量变化

楞次定律：

感应电流产生的磁场，总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。

“阻碍”不是阻止，而是负反馈。它可以表现为：

现象口诀	含义	适用提醒
增反减同	原磁通量增加则感应磁场反向，减少则同向	判断感应电流方向
增缩减扩	回路面积变化来阻碍磁通变化	适合可变形线圈
来拒去留	磁体靠近排斥、远离吸引	适合磁体与闭合回路相对运动
改变自己	线框受力运动以阻碍变化	常见安培力方向判断

标准四步：

1. 定原磁场方向。
2. 判断穿过回路的磁通量是增大还是减小。
3. 用“增反减同”定感应磁场方向。
4. 用右手螺旋定则定感应电流方向，再用左手定则定安培力。

例：直导线电流增大，右侧线框内磁通量增大。线框为阻碍增大，会远离直导线，合安培力指向远离导线方向。原书例题答案：B、D。

02. $B-t$ 图像类问题

原书第306-311页：斜率决定感应电动势

法拉第电磁感应定律：

$$\mathcal{E}=-n\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

若磁场垂直线框且有效面积 $S$ 不变：

$$\mathcal{E}=-nS\frac{\Delta B}{\Delta t}$$

所以 $B-t$ 图像题先看斜率。

$B-t$ 图像	感应电动势	电流
斜率为正	方向由“阻碍增大”决定	大小与斜率绝对值成正比
斜率为负	方向由“阻碍减小”决定	大小与斜率绝对值成正比
斜率为零	$\mathcal{E}=0$	$I=0$
斜率突变	$\mathcal{E}$ 突变	$I$ 突变

若回路电阻为 $R$：

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R}$$

安培力大小：

$$F=BIL$$

所以由 $B-t$ 作 $F-t$ 时，既要看感应电流由斜率决定，也要看当前磁场 $B$ 的大小。若 $dB/dt$ 为常量，则 $I$ 为常量，而 $F$ 与 $B$ 同比例变化。

图像题大招：

1. 先按题目规定定 $B$ 的正方向。
2. 用右手螺旋定则确定电流正方向是否与 $B$ 正方向匹配。
3. $I$ 的正负由 $-\frac{dB}{dt}$ 与正方向约定共同决定。
4. $F$ 的正负再用左手定则判定。

感应电动势计算类问题里，$S$ 必须是“磁场真正穿过的有效面积”，不是线框总面积。

03. 线框穿磁场图像类问题

原书第312-317页：有效长度决定图像形状

线框匀速穿过磁场时：

$$\mathcal{E}=BLv$$

其中 $L$ 是切割磁感线的有效长度。

解题四件事：

步骤	内容
1	画多状态图：未进、进入、全进、离开
2	判断有效长度 $L_{\text{eff}}$ 如何变化
3	用右手定则判电流方向和突变
4	由 $\mathcal{E}=B{L}_{\text{eff}}v$ 画图像

常见结论：

线框形状	匀速穿单一磁场图像
正方形	阶梯型，进出等大反向
三角形	三角形变化，进出反向
圆形	半圆弦长变化，图像呈弧形

反向磁场图像：

两同夹异中加倍。

线框跨过两个方向相反的磁场交界时，两侧切割边产生的电动势可能同向叠加，中间段电流或电动势变为单侧的 2 倍。

04. 单个导体棒之三步六类法

原书第318-324页：电磁感应题统一框架

导体棒切割磁感线：

$$\mathcal{E}=BLv,I=\frac{BLv}{R},F_A=BIL=\frac{B^2{L}^2}{R}v$$

三步：

1. 电路：$\mathcal{E}=BLv$，$I=\mathcal{E}/R$。
2. 受力：$F_A=BIL$，方向总阻碍相对运动。
3. 运动或能量：牛顿第二定律、动能定理、动量定理按关键词选。

六类关键词：

关键词	首选方程
速度、加速度、最大速度	牛顿第二定律
热量、焦耳热	动能定理或能量守恒
电量	$q=\int Idt=\frac{\Delta \Phi }{R}$
总时间、总位移	动量定理
功率	$P=I^{2}R=F_{A}v$
终端速度	合力为 0

能量关系：

$$W_{\text{外}}+\Delta E_p=\Delta E_k+Q$$

安培力做负功时，对应机械能转化为电热：

$$Q=-W_A$$

05. 线框穿磁场计算类模型

原书第325-329页：竖直下落线框

线框竖直进入磁场时，安培力方向通常向上，阻碍线框进入。

刚进入时：

$$\mathcal{E}=BLv,I=\frac{BLv}{R},F_A=\frac{B^2{L}^2}{R}v$$

运动方程：

$$mg-F_A=ma$$

终端速度：

$$v_m=\frac{mgR}{B^2{L}^2}$$

三类模型：

进入瞬间 $mg$ 与 $F_A$	运动趋势
$mg=F_A$	匀速进入
$mg>F_A$	加速进入，但加速度变小
$mg<F_A$	减速进入，安培力变小

完全进入匀强磁场后，磁通量不再变化，感应电流为 0，只受重力继续运动。离开磁场时安培力仍阻碍离开。

06. 电容棒

原书第330-332页：电容充电导致等效惯性

导体棒与电容器相连时，电流给电容器充电。若导轨电阻忽略：

$$U_C=\mathcal{E}=BLv$$

电容器电荷量：

$$Q=C{U}_C=CBLv$$

电流：

$$I=\frac{dQ}{dt}=CBL\frac{dv}{dt}=CBLa$$

安培力：

$$F_A=BIL=C{B}^2{L}^{2}a$$

若外力 $F$ 拉棒，忽略摩擦：

$$F-F_A=ma$$

代入得：

$$F=(m+C{B}^2{L}^2)a$$

所以：

$$a=\frac{F}{m+C{B}^2{L}^2}$$

大招理解：电容器充电让系统表现得像质量变大了，等效质量为 $m+C{B}^2{L}^2$。

07. 双棒模型

原书第333-338页：相对运动产生电动势

双棒在同一磁场、同一导轨上运动时，回路感应电动势来自相对速度：

$$\mathcal{E}=BL(v_1-v_2)$$

电流：

$$I=\frac{BL(v_1-v_2)}{R_{\text{总}}}$$

两棒受到大小相等、方向相反的安培力，促使相对速度减小。

常见情形：

情形	结论
等宽、光滑、初速度类	最终共速，类似完全非弹性碰撞
不等宽	两棒安培力可能不同，需分别列动量或牛顿方程
恒力拉一棒	最终相对速度恒定，电流恒定
有电阻分配	焦耳热按电阻比例分配

等宽光滑、无外力时，系统动量守恒：

$$m_1{v}_{10}+m_2{v}_{20}=(m_1+m_2)v$$

机械能损失转化为电热：

$$Q=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{10}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{20}^2-\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2$$

08. 如何用 $v-r$ 图像通解旋转感应电动势

原书第339-341页：面积就是电动势

导体棒绕固定轴转动，距转轴 $r$ 处线速度：

$$v=\omega r$$

微元电动势：

$$d\mathcal{E}=Bvdr=B\omega rdr$$

所以从 $r_1$ 到 $r_2$ 的电动势：

$$\mathcal{E}={\int }_{r_1}^{r_2}B\omega rdr=\frac{1}{2}B\omega (r_2^2-r_1^2)$$

特殊情形：

转轴位置	感应电动势
棒一端为轴，棒长 $L$	$\mathcal{E}=\frac{1}{2}B\omega L^2$
转轴在棒内，左右长度分别 $a,b$	$\mathcal{E}=\frac{1}{2}B\omega (b^2-a^2)$，按代数面积
棒整体平移加转动	平动电动势与转动电动势代数叠加

大招句：画 $v-r$ 图，电动势就是 $B$ 乘以图像的代数面积。

原始 OCR 底稿（待逐页校订）

01. 楞次定律的理解和应用

原书第304页

第十过电磁感应 一、楞次定律的理解和应用 1、描述回路中感应电流所产生磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。 〖老王提醒〗楞次定律的本质是“阻碍” ，而“阻碍”的本质是能量守恒身满足自然．中的“负反馈”规律 2、应用: 感应电流以各种形式阻碍磁通量的变化，具体可表现为“改变外界”或“改变自身” 。比如“增反 减同” 、 “增缩减扩” 、 “来拒去留”等常见规律。 《老王提醒〗 “来拒去留” 、 “增缩减扩”须有一定的适用条件》不如直接使用本质。 例 1.如图所示，矩形导线框劢与无限长通电直导线 fl 在同一平面内，直导线中的电流方向 由 M 到，导线框的劢边与直导线平行·若直导线中的电流增大，导线框中产生感应电流，导线 框会受到安培力的作用，则以下关于导线框受到的安培力的判断正确的是（ ） A.导线框有两条边所受安培力的方向相同 B.导线框有两条边所受安培力的大小相同 C.导线框所受的安培力的合力向左 D.导线框所受的安培力的合力向右 〖解析〗 由右手定则判断通电直导线右侧磁场垂直纸面向里，当电流增大时，由增反减同可判断导线 框产生感应电流的方向为逆时针，则导线框四条边电流方向均不相同，故所受安倍力方向均不同， A 错 误；导线框上下两边电流大小相同，磁场大小相同，故所受安倍力大小相同， B 正确。 CD 、由于直导线中电流增大，则通过导线框的磁通量增大，为阻碍磁通量增大，所以导线框会远 离导线即“改变自己” ，故导线框所受的安培力的合力向右， D 正确》 c 错误。 〖答案〗 BD

原书第305页

例在沿水平方向的匀强磁场中，有一圆形金属线圈可绕沿其直径的竖直轴自由转动。开始时线 圈静止，线圈平面与磁场方向既不平行也不垂直，所成的锐角为佑在磁场开始增强后的一个极短时间 内，线圈平面（ B ） A.维持不动 B.将向使减小的方向转动 c.将向使增大的方向转动 D.将转动，因不知磁场方向，不能确定会增大还是会减小 勿喈潺一動亠 例 3· （2019 新课标 3）楞次定律是下列哪个定律在电磁感应现象中的具体体现？ （ D ） A.电阻定律 C.欧姆定律 B.库仑定律 D.能量守恒定律 无水 例 4· 〈2020 新课标 3）如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。 圆环初始时静止。将图中开关 S 由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到（ A.拨至 M 端或端，圆环都向左运动 B.拨至 M 端或端，圆环都向右运动 C.拨至 M 端时圆环向左运动，拨至端时向右运动 D.拨至 M 端时圆环向右运动，拨至端时向左运动 钹 e 鼎皿 0

02. B-t 图像类问题

原书第306页

、 B-t 图像类问题 我们可以将楞次定律与法拉第电磁感应定律融合在一起，得出感生感应电动势公式为《 c=-n—s 号其中一表示变化的斜率， “一”表示阻碍。 如图所示，圆导线上电流/增大，则磁感应强度 B 也增大。 由“增反减同”可得，感应电流的磁场为垂直纸面向里，则感应电流尸的方向与电流/相反，故实 际电流减小。 因为尸与/方向相反，即一尸，故 s= 〖老王提醒〗利用这个结论可以更帮助我们更快速的解题。 例 1·有一线框，线框中存在磁场， B 随时间’变化图像如图所示，规定磁场垂直骜艹为正方向， 回路中电流顺时针为正方向。请画出/随时间！变化的斗氵忝力 0 糹汝信 获取最新无水讲义 正方向 〖解析〗 传统做法由于 B 随时间’均匀变化，一为定值，故电流/为定值。 B 随时间增加，线框内“ × 多，则需要补“ · ” ，由右手螺旋定则可知，电流/为逆时针，故 7 为负。 可知图像斜率竺为正值，由公式 = 一则电流 I 为负值，故电路逆时针。图像 大招做法纩 如图

原书第307页

问题拓展：线框中存在磁场， B 随时间变化图像如图所示，规定磁场垂直纸面向里为正方向，回 路中电流顺时针为正方向。请画出/随时间 t 变化的图像。 〖解析〗 第一、四段竺为正值，由公式 = 一乩则电流丿为正值； 《老王大招〗 —S ，则电流为负值；第二 三段中一为负值，由公式 题目中的所给的电流/的正方向与磁场 B 的正方向满足右螺旋定则： 斜正电斜负电负。 例 2·初始电流方向如图 1 所示，磁场随时间的变化如图 2 所示，根据条件画出电流/随时间的变 化图像。 《解析〗 题目所给的电流/与磁场 B 的正方向不满足右手螺旋定则，故“斜正电正爹斜负电负” ， 所示。 图像如图

原书第308页

若回路中磁场 B 在变化就会产生电流 I,由左手定则会产生安培力。 若磁场君均匀变化，则会产生恒定的电流/ 。 通过孕 £ 图像画出 F-t 图像，只需要规定从和的正方向，不给出电流的正方向。 B 变化 规定正方向 /产生 可不给 产生 例 3 孬在三角形线框中， B 随时间彳变化图像如图所示，规定垂直磁场纸面向里为正，边所受安 培力向外为正，请画出图像。 〖解析〗 传统做法:一 2 时间段内，为负值且在增加，所以当前磁场状态为“ ， “状且 4 撕出应该补 负值。一“ “离，与规定方向相反，故为 t) ，其中/ 、 L 为定值， B 随时间变化，所以也随时间 ` 变化。故（ t)与 B （0 样式相同，考虑到安培力的正负情形，则（ t)与 B(t)图像或者相同，或者关于横轴对称。 尝试用枚举法，穷举所有可能，看能否找出一些规律: B(t)图像为直线，无外乎四种可能， 正向增、正向减、负向减负向增 3 佣

原书第309页

题目中规定的 F 的正方向有两种可能：向内或向外为正。同样的 B 的正方向有两种可垂直纸面 向内或向外为正。 将可能出现的结果一一列举出来，有 4 × 2 × 2 = 16 种可能，故可得到最终结论 〖老王大招〗根据右手规定电流; 满足左手，斜称，斜负相同 不满足左手，斜正相同，斜负对称 大招做法: 6 磁场垂直纸面向里为正，则规定顺时针为电流正方向。 艹！最新叫谋及无水 根据培力向外为正，此时 B 、 、 /三者之间满足左手定则。由结论: “满足左手，斜正对 称，斜负相同” ，故的图像与的图像斜率为负的部分相同，与斜率为正的部分关于横轴对称。答 案如图

原书第310页

例 4·磁场垂直纸面向外为正，向内为正方向， B 随时间变化如图。画出随时间变化的图像。 根据磁场正方向，由右手螺旋定则判断电流/的正方向为逆时针，根据题意安培力方向向内，此时 从、 /三者之间不满足左手定则。根据大招结论: “不满足左手，斜正相同，斜负对称” 故斜率为正时与的图像相同，斜率为负时，的图像与晌的图像关于横轴对称，斜率为 零时， /为零，尸为零。答案如图三 图像也常考察计算类问题，需要注意的是在感生感应电动势中 = —S 中的 S 指的是恰好包围 磁场的有效面积。 彡讲义资料添加微信： 月输角 4 细线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直 例 5· （2022 径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化 径相等， 的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小 分别为 72 和/3。则〈 C ） B.着 > /3 > 72 由扣亠 60：以

原书第311页

例乱〈2022 河北）将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为，小圆面 积均为，垂直线圈平面方向有一随时间’变化的磁场，磁感应强度大小 B ：瑞 + ， BO 和均为常 量，则线圈中总的感应电动势大小为〈 P ） B.5 2 1 D. + 5s2） c.一 5s2） 山瓢亠虬一磊： 乞心 = k 中与 s 》 例 7· （2022 全国乙）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为/ ：! 《 g “的正方形金 属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平， “ ？韩摧艹’一。 。己知 构成金属框的导线单位长度自嫠次弓常 0“ ；在 = 0 到 = 3 ℃ s 时间内，磁感应强度大小 一取最新叫 1 随时间’的化关系为（0：03 一 O.1t(SI) 。求： （ D ’ = 2 时金属框所受安培力的大小# （2）在 t ：0 到’ ：2·0s 时间内金属框产生的焦耳热。 0 唣角：豇：云徊·固冲阝 4、

03. 线框穿磁场图像类问题

原书第312页

线框穿磁场的图像类问题 1、题型分类 线框可分为:方形、三角形、圆形等 穿磁场时的运动状态可分为：匀速、加速、减速等。 磁场可分为：单一磁场、反向磁场等。 图像可分为： ， F-b 一’图像。 2、解题方法 ．使用右手定刂判断电流的方向及突变。 @判断有效长度的变化，即垂直方向的长度。 O 理解正反电源：当有不止一条边进入磁场时，可以利用电源的叠加分析回路中电流变化。 O 描绘出线框穿越过程中的多状态图。 3、举例讨论: 例 1.如图所示，存在垂直纸面向里的磁场，规定电流逆时针为正。 1 获取最新叫课 状态一:当三角形线框未完全进入磁场时：两条边同时切割磁场，有效长度不断增大，电流不断增 大。由右手定则判断电源方向，为逆时针。 状态二：当三角形线框完全进入磁场时，切割磁感线的有效长度相互抵消， 、电流瞬间突变为零。 状态三当三角形线框向右移动出磁场时三条边同时切割磁场，有效切割长度不断增大·电流为 顺指针，不断增大。 答案如图。 〖老王大招〗 单一磁场区进出反向轴帽》线框图像一个样。 线框与图像同形状，即三角型的框，会形成三角形的图像，四边形的框，会形成四边形的图像。 微信搜索公众号

原书第313页

例规定逆时针为电流正方向。正方形线匀速穿过如图所示的磁场，画出电流随时间’变化的图 像。 《解析〗 状态一：当线框刚进入区域中时，有效长度不变，由右手定则判断线框中的电流方向为逆时针。 状态二：当线框完全进入在区域时，左右两边同时切割磁感线，电动势相互抵消，电流为 0。 状态三：当线框在区域交界处时，左右两边同时切割磁感线，电流均为顺时针，方向为负。且 电源为正向关系，相互叠加。电流为之前的两倍。 状态四：当线框在 B 区域中运动时，左右两边电动势相互抵消，电流为零。线框离开 B 区域时，有 效长度不变，由右手定则判断线框中的电流方向为逆时针为正。答案如图所示。 获取最新叫谋 一一一一有效长度变为原米的两倍 〖老王大招〗反向磁场图像:两同夹异中加倍 例 3·规定逆时针为电流正方向。三角形线框由左至右匀速穿过图所示的磁场，画出电流 i 随时 间 t 变化的图像。 《解析〗 根据大招结论： “反向磁场图像：两同夹异中加倍隽不难得出三角形线框进入区域中时，有效长 度不断变大，电流方向为逆时针。在区域交界处时，分界线左右两侧边边均在切割，有效长度均在 不断增加，且为之前同状态时的两倍，故图像斜率加倍。图像如图

原书第314页

同理若改为圆形线框，匀速穿过磁场，圆的直径恰好等于每个磁场区域的宽度，可利用结论得到 图像 例 4·规定逆时针为电流正方向。正方形线框由左至右匀加速穿越如图所示的磁场，线框与左右两 侧磁场等宽，画出电流氵随时间变化的图像。 7 获取最新网谋 〖解析〗 加。 斜率不变。 冫氵。加 4 t ，电流随时间线性增 状态一：线框进入区域中时，有效长度不变》但速度变大，由忙 状态二：当线框进入 B 交界区域时，有效长度变为之前的两倍，因此图像斜率变为原来的两倍。 Blat ，与时间 ` 是一次关系， 状态三：线框离开 B 区域时，由右手定则，电流方向为逆时针，忙 微信搜索 丿公夫．弓． ，

原书第315页

〖老王大招〗两同夹异中加倍，首尾相连要共线 Blat ．假设棒一直匀加速运动下去，两侧图像均满足忙 ，故两侧图像共线。 @线框进入厶 B 交界区域时，氵突变，有效长度加倍，斜率加倍，电流反向。 例规定逆时针为电流正方向。正方形线框由左至右匀加速穿越如图所示的磁场，线框与左右两 侧磁场等宽，画出电流氵随芤变化的图像。 〖解析〗由伊 = 2“ ，得： 、 ，由结论“两同夹异中加倍，首尾相连要共线” 。故只需画出 ： 、图像，再将中间部分翻折并将纵坐标变成原图像 2 倍即可。 足够长， 添加微信： 1 获取最新网谋及无’ 例 6·如图，导轨和导体棒上的单位长度电阻都为导体棒以速度％匀速向右切割磁感线，求回 路中的电流。 导体棒的有效长度为 2， 2tan9Bvo 为定值。 2 R (2tan9+ cos9 微信搜索 2％ ，则电流 则 = 2vo/tan 9Bvo ，又 = （2 + cose 3 巧

原书第316页

[老王总结〕 ．有效长度的变化：导体棒匀速运动，有效长度随贮的函数图像对应线框，磁场的形状。 0 根据有效长度的变化， E = B 加也在变化，式子中的丿为有效长度 O ：一，式子中的/为总长度（包含有效长度 1 或随有效长度沥变化） 线性 ：常数丬到飞 线性 轨 2 问题延伸：若导体棒做匀加速运动，初速度为 0，加速度为 的长度为一 2，有效长度就为 2 × 一六电动势为：石 = 2 × 一“2 tan9Bat ， 1 一 02 × 2 R ： （2 × 一“2 tan 有效长度） + 2 一一一一（两条斜边长） ， cos e 7 = 一“ （电动势尸，电阻 2） P-t 图像： 铲严 v B2/2 匀速运动：尹 = = 灭 灭 其中，衫为常数， ／为有效长度是时间的一次函数， R 随有效长度变化，也是时间的一次函数，因此 p 是时间的一次函数。 、宀、一’ 、与时间’的关系如图所示 E 之之

原书第317页

例 7。 〈2017 新课标 2）两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直。边长为 0． 、总电阻为 0·005Q 的正方形导线框位于纸面内， cd 边与磁场边界平行，如图(a)所示。己 知导线框一直向右做匀速直线运动，边于时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如 图(b)所示〈感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正） 。下列说法正确的是〈 ） A.磁感应强度的大小为 0·5T B.导线框运动速度的大小为 0·5 s c.磁感应强度的方向垂直于纸面向外 在·4s 至·6s 这段时间内，导线框所受的安培力大小为 0， IN O.OI 0 0．2 0．4：0，6：哧 -O.OI 例& （2018 新课标 2）如图，在同一平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁 场区域，区域宽度均为/ ，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为一/的正方形金属线框在 导轨上向左匀速运动，线框中感应电流随时间’变化的正确图线可能是〈 ）

04. 单个导体棒之三步六类法

原书第318页

四、单个导体棒之三步六类法 〈 “ ）电阻棒运动行为分析 v.F,P 如图导体棒接有电阻，磁场方向垂直纸面向里，导体棒向右运动，由右手定则可以判断电流方向为 逆时针，由左手定则可以判断导体棒受到向左的安培力的作用 结论: 无论磁场方向如何，在电阻棒类问题中安培力嗾永远是阻力（仪遣庸皂薛） 对于不同初始状态的导体棒，分类讨论： (1)初速度类 ，故速度减小安培力也减小。因此 由于初速度和安培力反向，导体棒做减速运动，由： 导体棒做加速度减小的减速运动。一纟图像如图所示。 （2）恒力类 B2 严 ，当速度增大时，安培力增大，加速度。减小。所以 导体棒的加速度。一一·遂，其中 导体棒会做加速度减小的加速运动。直到速度达到最大速度，此时 F ： ，加速度 = 0，最终导 体棒做匀速运动。

原书第319页

B 俨衫 尹 R v 一一一一，随着速度的增加，加速度减 小，最终会达到最大速度 〈3）匀加速类导体棒 则、 、尹安一 £ 若以恒定的功率 P 拉动导体棒，则尹： ， 。 = 一’图像均过原点，随时间一次变化 B ，2 直线过原点 召 2／20 @对于拉力 F 的图像： F 一： “ ，所以 F = ’ + “ ：故 F 一／图像并不过原点 图像 一 2，又厶 0：召： B ：引一“2，故 ^ 0 一 t 为二次函数 2 二次函数 B2/2 口 “ “河，故函数满足“2 + 的形式， OP-t 函数关系：拉力的功率 p = （ + “ 》 ’ ： （一一一 所以图像是过原点的二次函数·函数图像为下图： 对称轴

原书第320页

一、 “三步六类法” =BII STEPI ：推导安培力公式 = ，故： STEP2：在题千中匹配关键词 关键词见到“最大速度” 、 “最终速度” 、 “稳定” 、 “匀速”类关键词：列 关键词 2:见到“加速度” ：列： “ ； 关键词骁见到“功率’二热功率：列： ，电功率就是安培力的功率； 也可展开： ：严灭总 = 0 [老王提醒〗注意此处电功率为所有电阻的电功率，当求某一电阻的功率时，需按照电阻分配，比如： (i ）两电阻串联一功率比为电阻正比： ）两电阻并联一莖的· 2 〈茄）电阻混联》通常给定特殊值计算，例如：若： ： = 1：1：1，则功率比舀： 司 0 气 PF4Po ． P 》 ：内：卜十年 3 = 1：1：4 微信搜索

原书第321页

关键词见到“热量” ，列动能定理‰交一 = 茈 々 关键词见到“电量” ，列 q ： / = 一 ^ 。安培力做功转化为回路电热。 厶 0 ·一所以习一 导体棒运动一段时间后，产生电荷量厶 q = ’ = Blv BIAx 也可写为：卫． ：一一卣： 只适合切割模型》不适合其他模型，如：旋转模型） 〖老王提醒〗 = 注意：电量也要分配 ．串联时电量不分配； 新网讠 并联》孬电阻分配刍 O 混联时禀 因为和并联后与 R3 是串联，所以 冫尺亠添力。微信

原书第322页

关键词丘见到“总时间、总位移” ，列动量定理 F„除安 t 一 = ，其中俎安：羽· ： B / ，故安培力的冲量:习： B 习刂：坳/ B2/气 。艹(x 表示总位移） 对于初速度的类型，根据关键词结论，则 0 一“0： 对于恒力 F 的类型，设棒由静止运动到最大速度时，走过的时间为’荪则总路程 B212x 由动量定理得：一 B2 严 F （题目中己知可求携已知可求 D 由牛顿运动定律得： ．模型升华电源棒模型 (e-Blv) 如图，当回路中接有电源时》回路产生顺时针电流，使得安培力为动力： = BII = B 当达到最大速度时，由：0， üE=BIvm,可求 若刚达到的时闾为铷可求此时走过的总距离洫 由动量定理可得： ： “骁一 0；其中俎安： ；所以俎安 毋“ B2/2 化简得酊安： 0 一 B2/2 零通过累加后： ： =mvm ，则可求得总距离。

原书第323页

例 1.两平行导轨放在足够长的斜面上，导轨上、下两端分别接一电阻，有一导体棒垂直放在导轨 上，两电阻和导体棒的电阻均为忆斜面倾角为，导体棒与导轨间的动摩檫因数为斜面宽度为／ ， 导体棒长度为飛，现有垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为&求导体棒下滑过程中的最大 速度 y 灬是多少？ 〖解析〗根据关键词 1：求最大速度，列出受力平衡即可 根据电路分析，得：一灭， 9 B2 3 g （ s 9 一声 c R ” + 声 gco ，解得 y 一 达到最大速度时：血 = 例 2·如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，半径为， ，产生一个辐射状的磁场，磁场水 平向外，靠近圆柱形磁铁处的磁感应强度为 B.磁极狭缝间某点的磁感应强度与该点到圆柱形磁极中心 轴的距离成反比·用横截面积为 s 的细金属丝制成的圆形单匝线圈，线圈半径近似为， ，制成线圈的材 料的密度为 D ，电阻率为从某高度无初速释放，线圈在磁极狭缝间下落的过程中，线圈平面始终水 平且保持与圆柱形磁极共轴·线圈被释放后达到的最大速度为多少？ 〖解析〗 根据关键词心题干中出现“最大速度” ，列出受力平衡得： ： p ，2“ 00、 ！ ， “ 、 、 、 、 “ a543 解得一 例 3。图中和为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距为 0·4》电阻不计。导轨所在平 面与磁感应强度 B 为 0，50T 的匀强磁场垂直。质量为 6·0 × 1 俨 kg 、电阻为 I.OQ 的金属杆始终垂直 于导轨》并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为 3·00 的电阻。当杆达到稳 定状态时以速率匀速下滑，整个电路消耗的电功率 p 为 0．27w ，重力加速度取 10 s2，试求速率 v 和 滑动变阻器接入电路部分的阻值 R20 X X 亩溺巛陪

原书第324页

例 4·如图所示，平行金属导轨与水平面成 9 角，导轨与固定电阻和&相连，匀强磁场垂直穿 过导轨平面，有一导体棒，质量为导体棒的电阻与固定电阻&和的阻值均相等，与导轨之间的 动摩擦因数为导体棒劢沿导轨向上滑动，当上滑的速度为渺时，受到安培力的大小为 F.则（ ） A.电阻消耗的热功率为 6 B.电阻粕消耗的热功率为 3 C.整个装置因摩擦而消耗的热功率为声 c 。 D.整个装置消耗的机械功率为俨 + 声“ ” 0 一经 № 嘈 虎 09 例 5·如图所示，两根足够长的直金属导轨、 PQ 平行放置在倾角为的绝缘斜面上，两导轨间 距为 I. M 、尸两点间接又阻值为的电阻。一根质量为的均匀直金属杆放在两导轨上，并与导轨 垂直。整套装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中》磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽 略。导轨和金属杆之间的摩擦因数为。让 ab 杆沿导轨由静止开始下滑 （ I)当达到最大速度时，下落的高度为求电阻 R 上笮 。水讲义资料氵。 （2）求这个过程中安培力的冲 廴’ R 喋 0 R 卩

05. 线框穿磁场计算类模型

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五、线框穿磁场计算类模型 模型一过如图所示，粗细均匀的正方形导线框，质量为，边长为 l,电阻为 R 。静止释放导线框，可 以匀速进入磁场区域，试分析导线框的完整运动行为。 过程一：线框自由落体 过程二：线框刚进入磁场，下边框切割磁感线：匀速得： g ： 过程三线框完全进入磁场，继续自由落体。 过程四：线框下边刚出磁场，上边框切割磁感线：由 < 籼，则出 > 进，故出 > mg 。 由楞次定律可判断安培力方向竖直向 ， ，课及无水 故线羲减速运动。一 t 图像如下： 模型二:线框进入磁场时做减速运动，且 = 。 1

原书第326页

过程一:线框自由落体。 过程二线框刚进入磁场，下边框切割磁感线， = ；线框做加速度 减小的减速运动。 过程三线框完全进入磁场，继续自由落体。 过程四:线框下边框刚出磁场，上边框切割磁感线：由：崛，则出：进，故出 > g 。 尹出一 g B2/与出—mg ，故线框做加速度减小的减速运动，且运 故线框加速度： ：一一： 訁则 ～ 出 动情况与过程二完全相同。 线框一《图像如下： 例 I.匀强磁场的上下两条边界线之间的距离为磊。竖直面内有正方形闭合线 场上边界为阢由静止释放。当线框刚进入匀强磁场区域、 ：車力刁喽力，且线框进出磁 B ，空气谊采讠簿 4 磁场中运动的最小速度。 〖解析〗由模型二结论可得，线框完全进入磁场与完全离开磁场时速度最小，如下图所示 X × 进入磁场: ，@+ l)一一 由动能定理可得： 离开磁场： 由模型二中一图可得#佐： 由@可得： g 必： X 只 X × 代入数据解得:如一一

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模型三 线框进入磁场区域时所受重力小于所受安培九且 < 。 过程一：线框自由落体。 过程二：线框刚进入磁场，下边框切割磁感线，线框做加速度减小的减速运动。 过程三：线框完全进入磁场，继续自由落体。 过程四：线框下边框刚出磁场，上边框切割磁感线，由楞次定律可判断安培力方向竖直向上，由 < ，则进 < 出，故羽 g < 出，线框做加速度减小的减速运动。 线框 v 一 t 图像如下 2·线框进入磁场区域时所受重力小于所受安培力，且 > “出。 过程一：线框自由落体。 过程二：线框刚进入磁场，下边框切割磁感线，线框做加速度减小的减速运动 35 过程三：线框完全进入磁场，继续自由落体。 稚粉磁线，由楞次定律可判断安培力方向竖直向上，由 安进安出， 一出 @堠出：呕: = O 出 > 羽 g ： = 线框 v 一’图像如下 mg 一 B2/与 出，故线框做加速度减小的加速运动。 = 0，故线框匀速运动。 B2 严”出—mg ，故线框做加速度减小的减速运动。

原书第328页

3·线框进入磁场区域时所受重力大于所受安培力。 过程一：线框自由落体。 过程二线框刚进入磁场，下边框切割磁感线，由楞次定律可判断安培力方向竖直向上，故线框加 故线框做加速度减小的加速运动。 速度：0 = 过程三：线框完全进入磁场，继续自由落体。 过程四：线框下边框刚出磁场，上边框切割磁感线，由楞次定律可判断安培力方向竖直向上，由： 由 < “出，则 Fi 安进 < 出，故有三种情况： @嗾出 = g 芸 = 出一喏 @嗾出 >mg ： = v—t 图像如下: ，故线框做加速度减小的加速运动。 = 0，故线框匀速运动。 B2 严—mg ，故线框做加速度减小的减速运动。 获取最新网发无，巛 安 > 例 2·如图所示，将边长为质量为羽、电阻为的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为 b 、 感应强度为 B 的匀强磁场区域，磁场的方向垂直纸面向里，线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场 时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场。整个运动过程中始终存 在着大小恒定的空气阻力，且线框不发生转动。求： （1）线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度”2； （2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度 （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热 0。

原书第329页

例 3。 〈2021 全国甲）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质 量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的 2 倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同 时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。 不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上 边进入磁场前，可能出现的是（ 〉 A.甲和乙都加速运动 B.甲和乙都减速运动 C 甲加速运动，乙减速运动 D.甲减速运动，乙加速运动 P Pf• 添田同葫制汕各·被雪司力同以同菊与也 甲囗囗乙 例 4· （2021 湖南）两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为通过长为的绝缘轻质杆相连， 构成如图所示的组合体。距离组合体下底边处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强。磁场区域上 下边界水平，高度为 0 左右宽度足够大。把该组合《舁场羊内以度’ 。水平无旋转抛出， 彡讲义 0、 设置合适的磁感应客夼内 4 糞益过监场，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A. B 》 。无关，与妞成反比 B.通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变 c.通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等 D.调节、 ％和 B,只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变 暂。氅 v 分髒勿端切勺 0 巛新 嗎 0 阝 ～

06. 电容棒

原书第330页

六、电容棒 一《恒力类充电导@ 如图所示，电容为 C 电容器初始带电量为零，磁场方向垂直纸面向里，导体棒受水平向右的恒力 F ， 分析棒的运动状态。 〖解析〗由右手定赃可判断电流方向逆时针，故导体棒充当电源给电容器充由左手定则，导体 棒受水平向左的安培力。 由安培力表达式： ： B. ；注意电路非纯电阻电路，故求解电流须用电流强度定义式。 =CBLa ；解得/ = F—F± 安 F—B2L2Ca 》化简得尹一 B2L?C 。 ： 。 解得携 = 礻故导体棒做匀加速运动 羽 + B2L?C 二、放电式电容棒 获取最新网谋无’1 加微信： 如图所示，磁场方向垂直纸面向里，开始时电容器带电量为 QO ，求棒达到最大速度时， 」余电量的 大小及导体棒的最大速度。 《解析〗电容器相当于电源，回路产生顺时针方向电流，由左手定则得出棒上的安培力向右，导体棒 n 速运动。设导体棒处于最大速度时产生的感应电动势为伊。 由动量定珐 B.兀 = “一 0 式：定裎迹趣 ，解得： / ：一 0 自电流定义/ = 由蓉是叉 0 = C 俨：灬 代入化简得“ ： B ： B@一： B@一 B00 儿

• B2L 解得 0：加
• CB2 儿 2 3

原书第331页

例 1·如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨厶、儿 2，其间距 = 0·5》左端接有容量 C ：2000 F 的电容。质量 = 20g 的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个 空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度 B=2T 。现用一沿导轨方向向右的恒力 一 0·作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动， ．经 t 时间后到达 B 处，速度” = 5/此时，突 然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为，又经 2 时间后导体棒返到初始位置处，整个过程电容 器未被击穿。求 (1)导体棒运动到 B 处时，电容 c 上的电量； （2） t 的大小： （3）的大小。 〖解析〗 (I)当导体棒运动到 B 处时，由法拉第电磁感应定律 U = B ： 由电容定义式，电容器的带电量 0 = CU ： CB 砌；代入数据得 0：1 × 1 俨 c （2）导体棒由运动至 B 过程中 由牛顿第二定律：一 B. ：刍 一 A(CBdv) ： C.召一之： CB 刍 由电流定义式： / = 代入数据解得刍 = 导体棒加速度为。 ！的匀加速运动，此过程经历时间为仁 = 0．25s （3）导体棒由 B 返回至过程中 由结论得导体棒加速度。2 一一一亠，方向向左 讵 + CB2d2 由题意知：一 2：一[·一一（2D2] ，0 的力遴 亻弋入数据得 = 0·55 2《 例（2017 天津）电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器 和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为电容器的电容为 CO 两根固定于水平面 内的光滑平行金属导轨间距为/ ，电阻不计。炮弹可视为一质量为忉、电阻为灭的金属棒，垂直放在两 导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触·首先开关接 1，使电容器完全充电·然后将 s 接至 2，导轨间 存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场（图中未画出), fl 开始向右加速运动。当上 的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，达到最大速度，之后离开导轨。问：

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(1)磁场的方向《 （2〉杰 N 刚开始运动时加速度。的大小《 〈3）离开导轨后电容器上剩余的电荷量是多少。 〖解析〗 (I)受到向右的安培力，由左手定则，磁场方向垂直纸面向里 （2）电容器完全充电， S 接至 2 瞬间两极板间电压为君 由牢顿第二定律： BIL = “ BLE 由闭合向路欧姆定律： / = 一解得 = （3）由电容定义电容器完全充电后所带电荷量％ ： CE 。 达到最大速度时，由法拉第电磁感应定律，上感应电动势为： B 加冖，电容器所带电荷量 为 q ： C 彦： CB 冖。 由动量定理： BILAt = v 灬一 0 渺、犬 由电流定义式： / = ；可得（ C 一 CB. v B2L2C2E 殄 IV ， BCEL 解得” CB2L2 + 冽 + CB2 窘 例 3·如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的一 虽度头为 B ，导轨间距最窄 与导轨左· 、 ．豪轨与轴垂直，在外力 F 作用下从点开始以速度向右匀速运动，忽 略所有电阻，下列说法正确的是〈 ） A.通过金属棒的电流为 2B02 t 雌 B.金属棒到达时，电容器极板上的电荷量为 BCvxo tan9 C.金属棒运动过程中，电容器的上极板带负电 D.金属棒运动过程中，外力 F 做功的功率恒定 龀挚 0 鳶巾怕 0 C 微信搜索公众号

07. 双棒模型

原书第333页

七、双棒模型 情形一:双棒等宽，地面光滑，初速度类， （类似于电容棒） 解决该类型的题目，可以采用微元方法 微观 正向电流 × 主动棒 反向电流，从动棒 2 解析： 1 棒（主动棒）以速度向右运动，受到向左的安培力，1 棒做减速，产生顺时针的电动势，流经 2 棒，对其产生向右的安培力，使得 2 棒开始做加速运动，从而 2 棒（即从动棒）产生逆时针的反电动势。 B212v 一 B2/2 为 在减小，在增加） 加速度可表达为：口 = 最终逐渐变小，两棒趋于稳定，达到共速状态其”一 t 图： B 》 加微信： 取最新叫谋及无水 1 我们可以从动量及能量的角度继续分析;两棒动量守恒，且符合类完全非弹性碰撞的模型，损失的 动能转化为系统中的电热能：1 1 2 2 2 2 1 2 解：一 2 十

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情形二 8 双棒不等宽，地面光滑，初速度类， 2 棒 类似的，1 棒做减速运动，2 棒做加速运动，但由于两棒不等宽，故产生的安培力大小不同。 回路电流：一 B02 当二者加速度为零时，回路电流/ = 0，即：和 1： /2：即： 达到稳定状态。用图像表示如下 2 2 2 ，添力。微信 〖老王口诀〗主棒长图交叉；主棒短》图分开（长叉短分 宏观角度:由于安培力大小不相等，所以动量不守恒，对此，我们可以列出二者动量定理的独立方 程： 1 棒：一埠： “1 一 0 ；化简得:上 = 2 棒： B 鷄 t = “2 一 0 2 〖老王总结〗动量变化之比与棒切割磁场的有效长度成正比 系统产生的热量一 0：一 + 一 2 一一 微信搜索

原书第335页

情形三恚双棒等宽，地面光滑，恒力类 运动状态：1 棒受到恒力 F 向右运动，根据右手定则，1 棒受到向左的安培力，回路产生顺时针感 BIVI —BlV2 应电流，故 2 棒会受到向右的安培力。当两棒运动时，回路电流为/ = 故两棒的加速度 刚开始时，因为小，所以刍较大，随着 2 棒开始运动，二者速度差增大，增大，故 1 棒作 减小的加速运动，2 棒做。增大的加速运动。 当到达某一速度后，在很小的时间&内，电流的变化：尸 = BlAv 两棒在恒定的安培力作用下做匀唑 5 当刍：口 2 时，电流恒定。此时 用图像表示： 获取量前尹 羽 å 例 1. （2020 新课标 D 如图所示， U 形光滑金属框。 b 置水平绝缘平台上，和边平行，和 边垂直。劢、足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用 水平恒力 F 向右拉动金属框，运动过程中、 ，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，与金属框保持良 好接触，且与 bc 边保持平行。经过一段时间后〈 ） A.金属框的速度大小趋于恒定值 B.金属框的加速度大小趋于恒定值 c.导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D.导体棒到金属框 bc 边的距离趋于恒定值 × Mx X × × X × Fx 〖解析〗 AB 、由结论可知，本题属于恒力等宽类双棒，故最终两棒最共加速运动， B 对， A 错 、运动状态稳定时，两棒间的相对加速度为零，相对速度不为零，故回路电流 C 不变， c 对。爿反 D 、框与棒相对做匀速运动，故框至 bc 距离逐渐增大， D 错。 〖答案〗 BC

原书第336页

例 2．如图所示，两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度 B = 0·5T 的匀强磁场与轨 道所在的平面垂直，导轨的电阻忽略不计，导轨间的距离为 = 0·1 两根质量均为 = 0，1 的平行金 属杆甲乙可在导轨上无摩擦的滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属棒的电阻均为灭 = 0·50。 在 = 0·时刻两棒均处于静止状态，现有与导轨平行，大小为尸 = 0·2 的恒定外力作用于金属棒甲 上，使金属杆在导轨上滑动，经过 t = 0，5 金属杆甲的加速度。 = 1·37/2 问此时金属杆的速度各是 多少？ 〖解析〗 乙棒 对甲棒受力分析得： F 一 B.刀 = 磊． 回路电流： / = 甲棒 ` 义资料添加辑：下瞒 对两棒列系动量定理《 ： “甲 + 汔 O 2 灭伊一“ ） = 佑化简得： 2R 1 2R(F 一刁 2R(F 一刁 由 O+O 可得:一 + 代入 O 解得吃 1 0·2 × 5 代入数据得: = 2 0·1 吃：一（10 一 6·3） ： L85 忉 〖答案〗 ： &巧/ ，圪：1，85 = 加甲，解得： B2 尸 2 × 0·5（0，2 一 0·1 × L37） 0·52 × 0·22 1 一（10 + 6·3） ： &巧/ 2 微信搜索公众号

原书第337页

例 3。如图所示，足够长的光滑水平轨道，左侧轨道间距为 0·4，右侧轨道间距为 0·2 冽。空间存 在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 0．2T 。质量均为 0·01 的金属棒 M 、垂直导轨放置在轨 道上，开始时金属棒 M 、均保持静止，现使金属棒 M 以 5/ s 的速度向右运动，两金属棒在运动过程 中始终相互平行且与导轨保持良好接触， M 棒总在宽轨上运动，棒总在窄轨上运动。己知两金属棒接 入电路的总电阻为 0·2 灭，轨道电阻不计， g ：10/2，下列说法正确的是（ ） A, M 、棒在相对运动过程中，回路内产生顺时针方向的电流（俯视） B.棒最后都以 2·5/ s 的速度向右匀速运动 c ·从开始到最终匀速运动电路中产生的焦耳热为 6·25 × 1 俨丿 D ·在两棒整个的运动过程中，金属棒 M 、在水平导轨间扫过的面积之差为 0．5 〖解析〗 A.根据楞次定律可得回路内产生顺时针方向的电流（俯视） ， A 正确。 B.由双棒模型结论可得，当取棒稳定时时： B 只山： -BIIMAt ： mvM 一％ 故 2 罗“ ： 。 0 材 ；化简得：亠 = 规定水平向右为正，由动量定理得: 对 N: BIlNAt ：一 0 取不 代入数据得：0：一 × 0·01 × 52 一（一 × 0·01 × 12 + 一 × 0·01 × 22） ：0· IJ ，故 C 错误。 ^ 0 厶 0 BAS D ，根据电磁感应定律得： ；化简得： / = RAt RAt AS 2 对棒动量定理: B. & ：一化简得芸 0·2 × 0·01 × 2 代入数据得： = 22 × 2 = 0，5/ s2，故 D 正确。 〖老王提醒〗此处同样可对 M 棒列动量定理。 〖答案〗 AD

原书第338页

例 4。 〈2022 辽宁）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为。劢区域有匀强磁 场，磁感应强度大小为 B,方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆 M 以初速度％向右运动，磁场 内的细金属杆 N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均 为在导轨间的电阻均为 R ，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。 （1)求 M 刚进入磁场时受到的安培力 F 的大小和方向 （2）若两杆在磁场内未相撞且出磁场时的速度为，求# ．在磁场内运动过程中通过回路的 电荷量@初始时刻到劢的最小距离 〈3）初始时刻，若 N 到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为厩@> 1) ，求 M 出磁场后不与 N 相撞条件下的取值范围。 辫，吻 M 恚匪心巛为 5cd 能匝 S S 詭 耦以菸懿則誓 3 鋁

08. 如何用 v-r 图像通解旋转感应电动势

原书第339页

八、如何用 v-r 图像通解旋转感应电动势 对于旋转感应电动势，我们可以利用图像推导其表达式： 情形一:转轴在棒的一端 画出艹图(v=ar)9 求图像下方的面积 情形二：转轴在棒的延长线上 原点 以 0 为旋转中心，记一门， OB = ，图像如右图所示 图像面积： $ = 2 化简得：一 B / + 叼一召帱 情形三．转轴在棒上某点 代数

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以上某点 0 为旋转中心，记： n 》 OB - ，图像如图： 分析：从实例中可发现，感应电动势方向相反，故面积应计算代数值。 1 所以对于右侧图像的面积有 S ：一殇一 2 《则一一 o 一十 B ： 化简： = 一何一幻，则悔：之彐·故： B 〖老王结论〗无论转轴在棒或其延长线的哪个位置，转电动势： ，驴表示中点的线速度。 例 1· （2014 新课标 2）半径分别为 r 和 2r 的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为 r ，质量为 m 且质量分布均匀的直导体棒置于圆导轨上面，的延长线通过圆导轨中心装置的俯视图如图 所示·整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度大小为 B ，方向竖直向下，在内圆导轨的 C 点和外圆导 轨的 D 点直接接有一阻值为 R 的电阻（图中未画出),直导体棒在水平外力作用下以速度绕 0 逆时针 匀速转动，转动过程中始终与导轨保持良好接触》设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为，导体棒和导 轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为 g’求: （1)通过电阻 R 的感应电流的方向和大小； （2）外力的功率· 〖解析〗 （1)因为旋转感应电动势可以等效为中点的感应电动势，所以： B 代入数值得： B 一， ， “解 在运动的过程中所消耗的能量，包括产生的电热能和摩擦热能。 9。2B2r4 go ，2 = 一流 gor 电热能 =12R= ；摩擦热能弓： 2 902B2／ 所以吆：十弓一一 g “ + 例 2· （20 巧新课标 2）直角三角形金属框 abc 放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为 B ，方向平行 于劢边向上·当金属框绕边以角速度逆时针转动时，山 b, c 三点的电势分别为， ‰ ， ·已知边的长度为/ ，下列判断正确的是（ ） A, > 咗，金属框无电流 B. ‰ > 咗，金属框中电流方向沿一 B 1 一别，金属框中无电流 2 D. UBC ：一。 ，金属框中电流方向沿 微信搜索 —C—A

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〖解析〗 BD ·当三角形金属框转动时，边切割磁感线，产生感应电动势，同理“边的水平切割 分量也会产生感应电动势。其正极均指向 c ，且 Uac=Uhc,线框内没有磁通量，故不产生感应电流，所 以感应电动势必抵消，而劢边与磁感线平行，故不会产生感应电动势。 BD 错误。 AC.根 AC 据切割磁感线和右手定则，可知 =-Bfi=-—B120，故 C 正确 例&法拉第圆盘发动机的示意图如图所示·铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片 P 、0 分别与圆 盘的边缘和铜轴接触·圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场 B 中．圆盘旋转时，关于流过电阻 R 的电流， 下列说法正确的是〈 ） A.若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定 B.若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿到 b 的方向流动 c.若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化 D.若圆盘转动的角速度变为原来的两倍。则电流在上的热功率也变为原来的 2 倍 〖解析〗 AB 、根据旋转感应电动势结论，铜盘产生的感应电动势为霆： —B120，其中／可以理解铜 盘上的辐条。又 B ， / ， ·不变，则电流大小恒定不变；圆盘顺时针转动，由右手定则可知，电流沿。 到 b 的方向流动，故 A ， B 正确。 c 、圆盘转动方向不变，电流方向不变，故 c 错误。 霆 2 B2 严 02 D 、根据 P = 〖答案〗 AB 例 4·021 广东）如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨劢 c 和，劢与平行， bc 是以 0 为圆心的圆弧导轨，圆弧左侧和扇形 0 内有方向如图的匀强磁场，金属杆 OP 的 0 端与 e 点用导 线相接，尹端与圆弧 bc 接触良好，初始时，可滑动的金属杆静止在平行导轨上，若杆 OP 绕 0 点 在匀强磁场区内从 b 到 c 匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（ A D) A.杆 OP 产生的感应电动势恒定 B.杆 OP 受到的安培力不变 c.杆做匀加速直线运动 D.杆中的电流逐渐减小 赫 sa 忄 1 0 M b